曲线拟合的最小二乘法

数学分析,插值和拟合

问题的提出

插值法是利用函数在一组节点上的值， 插值法是利用函数在一组节点上的值，构造一 个插值函数来逼近已知函数， 个插值函数来逼近已知函数，并要求插值函数P(x) 与已知函数f(x)在节点处满足插值条件 P(xi)=f(xi)(i=0,1,2,...,n)。在实际应用中往往会遇到这 。 种情况：节点上的函数值并不是很精确， 种情况：节点上的函数值并不是很精确，这些函数 值是由测量或实验得来的，不可避免地带有误差， 值是由测量或实验得来的，不可避免地带有误差， 如果插值会保留这些误差，影响精度;另外若要预测 如果插值会保留这些误差，影响精度 另外若要预测 以后某点的函数值,插值的误差也会较大 插值的误差也会较大.为了尽量减 以后某点的函数值 插值的误差也会较大 为了尽量减 少这些误差的影响，从总的趋势上使偏差达到最小， 少这些误差的影响，从总的趋势上使偏差达到最小， 这就提出了曲线拟合的最小二乘法。 这就提出了曲线拟合的最小二乘法。

数学分析,插值和拟合

实例讲解

某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系， 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表给出 个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。 的是实际测定的24个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录 的是实际测定的 个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。 提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在 标纸上标出各点， 提示：将拉伸倍数作为 强度作为 在坐标纸上标出各点，可 发现什么? 以发现什么

编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拉伸倍数 x 1.9 2.0 2.1 2.5 2.7 2.7 3.5 3.5 4.0 4.0 4.5 4.6 强度 y 2 kg /mm 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3.0 2.7 4.0 3.5 4.2 3.5 编号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 拉伸倍数 x 5.0 5.2 6.0 6.3 6.5 7.1 8.0 8.0 8.9 9.0 9.5 10.0 强度 y 2 kg /mm 5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1

数学分析,插值和拟合

实际测定的24个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录 实际测定的 个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录

数据表格

编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拉伸倍数 x 1.9 2.0 2.1 2.5 2.7 2.7 3.5 3.5 4.0 4.0 4.5 4.6 强度 y kg /mm2 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3.0 2.7 4.0 3.5 4.2 3.5 编号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 拉伸倍数 x 5.0 5.2 6.0 6.3 6.5 7.1 8.0 8.0 8.9 9.0 9.5 10.0 强度 y kg /mm2 5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1

数学分析,插值和拟合

y

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

δi=yi*-yi

yi

.y*

i

2

4

xi

x

6 8 10 12

从上图中可以看出纤维的强度与拉伸倍数大致成线 性关系，可用一条直线来表示两者之间的关系。 性关系，可用一条直线来表示两者之间的关系。 解：设 y*=a0+a1x ，令δi= yi*-yi=a0+a1xi-yi ， 根据最小二乘原理，即使误差的平方和达到最小， 根据最小二乘原理，即使误差的平方和达到最小， n 也就

数学分析,插值和拟合

数学分析,插值和拟合

数学分析,插值和拟合

数学分析,插值和拟合

数学分析,插值和拟合

数学分析,插值和拟合

数学分析,插值和拟合

数学分析,插值和拟合

数学分析,插值和拟合

数学分析,插值和拟合

数学分析,插值和拟合

数学分析,插值和拟合

数学分析,插值和拟合

数学分析,插值和拟合

数学分析,插值和拟合

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/l7pi.html