图形运动中的值不变问题(强烈推荐)

中考热点11——图形运动中的值不变问题

图形运动类问题中的图形以点、直线以及圆为主，而运动则以常见的平移、旋转和翻折为主。宇宙万物也有平衡，运动中的不变性很好得体现了这一规律。常见的如：两条线段的长度都在改变而它们的和、差或者积却不变；当几条线段都同时运动时，它们围成的三角形的周长或者面积不变等等；善于观察、分析的同学定能够静中找动，动中找静，动静合一，感受到数学的巨大魅力，体会到学习数学的乐趣。 【例1】已知：在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，点P从点B出发，沿

Q D 射线BC方向以每秒2cm的速度移动，同时，点Q从点D出发，沿线段DAA 以每秒1cm的速度向点A方向移动（当点Q到达点A时，点P与点Q同时

停止移动），PQ交BD于点E．假设点P移动的时间为x（秒）求证：在点P、Q的移动过程中，线段BE的长度保持不变；

【思路分析】在矩形ABCD中，QD∥BP，在“8”字型基本图形中利用平行

B 线之比等于上比下证得线段BE的长度保持不变。

证明：∵DQ∥BP

∴

E P

C

BEBP?． DEDQ∵BP=2x，DQ=x，∴

BE2?2．∴BE?BD． DE3∵∠A=90°，AB=6，AD=9，∴BD?313． ∴BE?213，

即在点P和点Q的移动过程中，线段BE的长度保持不变．

点评：在平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形中必有“A”字型“8”字型等基本图形，抓住图形的这一特征是解题的关键。

【例2】如图，在梯形ABCD中，AD//BC， E、F分别是AB、DC边的中点，AB=4，∠B=60． （1）求点E到BC边的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥BC，垂足为M，过点M作MN//AB交线段AD于点N，联结PN．探究：当点P在线段EF上运动时，△PMN的面积是否发生变化？若不变，请求出△PMN的面积；若变化，请说明理由．

【思路分析】图形运动中点P是的主动点，M、N是从动点，在△PMN的运动过程中，形状始终不变，所以面积也不会改变。求三角形的面积可考虑用三角形的面积公式底乘以高的一半进行计算。 解：（1）过E作EG⊥BC，垂足为G， 由AB=4，E为AB的中点，得BE=2 Rt△EBG中， sin?B?（2）不变

在梯形ABCD中，由AD∥BC，MN∥AB，得MN=AB=4 过点P作PH⊥MN，垂足为H

由MN∥AB得?NMC=?B=60 所以?PMH=30

???A P N D

F

E B M C

EG?，EG?EG?sin?B?2sin?60?3 EBE A P N D

F

H

B G

M

C

由E、F是AB、DC边的中点 得EF∥BC，由EG⊥BC，PM⊥BC，得EG∥PM ∴PM = EG=3

在Rt△PMH中，sin?PMH?PH3?，所以PH=PM?sin30? PM2∴S?PMN?113PH?MN??4??3 222点评：本题还有一种解法：延长MP与射线DA交于点Q， NQ的长度为定值，△PMN的面积可以看作以

PM为底，NQ为高。

B

【例3】已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8。点P是边AB的中点，以P为顶点，作∠MPN=∠A，∠MPN的两边分别与边AC交于点M、N；当∠MPN绕点P转动时， CN·AM的值是否保持不变？若保持不变，试证明你的结论，并求出这个不变的值。若变化，请说明理由。

【思路分析】CN·AM的特殊值可以把点M移动至C的位置理由特殊方法求得，已知直角三角形斜边上的中点，所以联结斜边上的中线。CN所在的

三角形是△CPN，AM所在的三角形是△APM，所以从证明△PMA和△CPN相似入手。 解：联结CP，Rt△ABC中，∠C=90°，点P是边AB的中点 ∴CP=AP ∴∠PCA=∠A

∵∠PNM=∠A+∠NPA，∠MPA=∠MPN+∠APN 又∵∠MPN=∠A ∴∠PNM =∠MPA ∴△PMA∽△CPN ∴

C

M

N

A

P

CPCN? AMPA∴CN·AM=CP·AP=25

点评：因为要求的是两条线段的乘积是定值，所以△PMA和△CPN对应边成比例，CN和AM一定是比例式中的内项或者外项，而非对应边。

强化训练：

1. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上动点，PE⊥AC于E，

PF⊥BD于F， PE+PF的值是否保持不变？若保持不变，试证明你的结论，并求出这个不变的值。若变化，请说明理由。

2. 已知：如图，扇形OAB的半径OA?3，圆心角?AOB?90?，点C是AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，联结DE，点G、H在线段DE上，且DG?GH?HE.

E

H G O

D A C B B A E P F C D ?（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；

（2）当点C在AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度．

3. 如图曲线为y??288和y?在第一象限的图象。P点在y?的图xxx2象上，其横坐标为m（m?0），PQ平行于y轴交y?的图象于

x28Q，RP、QT均平行于x轴，分别交y?和y?图象于R、T

xxy R y?8x P （1）用m表示P、Q、R、T的坐标

8（2）当点P在y?的图象上运动时，梯形RQTP的面积是否会

x发生变化？若不变，请给出证明并求出这个定值；若变化请说明理由。

4. 在△ABC中，AB＝AC，三条高AD、BE、CF相交于点H。 （1）求证：△BDH∽△ADC

Q O y?2xT x A

（2）如果在底边BC上保持不变的情况下，让顶点A到底边BC的距离逐渐变小，这时△BCH和△ABC的面积之积S?ABC?S?HBC的值将如何变化？并证明你的结论。

F B

H D

E C

5. 如图：已知⊙O的直径AB=15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在AmB上滑动（点C与A，点D与B不重合）且CE⊥CD交AB于点E，DF⊥CDA E 交AB于点F，在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明并求出这个定值；若不是请说明理由。

6. 如图：已知等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两

C 点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，

Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交与点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．

E

7. 将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，

交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．

（1）如果M为CD边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；

EO ．F B Q m D D C A DP MB C（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点

GM的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．

AFB8. 如图：正方形ABCD中，M是BC中点，E是AB上一个动点，MF⊥ME，

交射线CD于点F，AB＝4，BE＝x，CF＝y。（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）点F在边CD上时，四边形AEFD的周长是否随着点E的运动而发生变化？请说明理由

9. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，联接AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点

A Q，设CP=x，DQ=y．

（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

（2）当点P运动时，△APQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请求出△APQ的面积S关于x的函数解析式，并写出定义域；如果不发生变化，B 请说明理由．

10. 已知在正△ABC中，AB=4，点M是射线AB上的任意一点（点M

与点A、B不重合），点N在边BC的延长线上，且AM = CN．联结MN，交直线AC于点D．设AM = x，CD = y．

（1）如图，当点M在边AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

（2）过点M作ME⊥AC，垂足为点E．当点M在射线AB上移动时，线段DE的长是否会改变？请证明你的结论．

11. 已知过y轴上一点A(0,2)点直线与抛物线y?

B M A D F

E B M Q D E C

图

C

P

A

D C y N

图1

12x?1交于P、Q两点 4

P A Q B O 图1 y P F O 图2 A D M E A Q x C x （1）求证：以P为圆心，PA为半径的圆与x轴相切

（2）如图1：过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为B、C求证：△ABC

为直角三角形

（3）如图2：过点P、Q分别作y轴的垂线，垂足分别为E、F，当点P在

抛物线上运动时（点P与抛物线顶点不重合）求PE?QF的值

?A??B?90?，AB?4，12. 如图10，已知AM//BN，点D是射线AM上的一个动点（点D与点A不重合），点E是线段AB上的一个动点（点E与点A、B不重合），联结DE，过点E作DE的垂线，交射线BN于点C，E 联结DC．设AE?x，BC?y．如果动点D、E在运动时，始终满足条件AD?DE?AB，那么请探究：?BCE的周长是否随着动点D、E的运动而发生变化？请说明理由．

B C 图10

N 13. 如图，已知AB⊥MN，垂足为点B，P是射线BN上的一个动点，AC

⊥AP，∠ACP=∠BAP，AB=4，BP=x，CP=y，点C到MN的距离为线段CD的长．在点P的运动过程中，点C到MN的距离是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示这段距离；如果不发生变化，请求出这段距离．

14. 如图，点P是反比例函数y?M

A C B P

图10

D N

1图像上在第一象限内的一个动点，一个一次函数y??x?1的图像与2xy 图10 B N O D P C M A x x轴、y轴交于A、B两点，过点P作PM⊥x轴、PN⊥y轴，垂足为M、N，且分别与直线AB交于点C、D，当点P在反比例函数的图像上运动时，点M、N、C、D随之移动，若点P的坐标为（a，b）

（1） 用含a的代数式表示C点的坐标，用含b的代数式表示D点的坐标； （2） 试探究△OAD与△OBC之间的关系，并加以证明；

（3） 试探究△OCD中是否存在大小始终保持不变的角？如果存在，要加以

证明，并指出这个角的大小；如果不存在，要说明理由.

15. 在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分

别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y?x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y?x于点M，BC边交x轴于点N（如图）.设?MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

y y?x A M B O C (第26题)

N x

16. 如图A、B、C、D四点在一直线上，且AB=BC=CD，P是

图10 该直线外一动点，满足∠BPC=90°，当点P在直线外运动

时，tan∠APB·tan∠CPD的值是否会变化？如果不变，求出这个定值；如果改变，请说明理由。 A B

17. 如图3-6在半径为6，圆心角为90度的扇形OAB的AB弧上，有一个动点P，

PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G.. 当点P在AB弧上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；

P

C

BD

EGD图3-6HPOA

答案：

1. 联结PO，过D作DH⊥AC于H点

S?APO?111AO?PE，S?DPO?DO?PF，S?AOD?AO?DH 222A E B P F H D ∵S?AOD?S?APO?S?DPO

O 111AO?DH?AO?PE+DO?PF 22212∴PE+PF=DH?

5∴

?C 2. 解：(1) ∵?AOB?90, CD⊥AO, CE⊥BO∴四边形ODCE为矩形 联结OC，交ED于F，则OF=FC，EF=FD

∵DG=GH∴HF=FG ∴四边形OGCH是平行四边形

（2）当点C在AB上运动时，线段DG的长度不变 联结OC

??∵点C在AB上运动，∴OC=OA=3 ∵四边形ODCE为矩形∴ED=OC=3

∵DG=GH=HG∴DG?1DE∴DG=1 33. 解：（1）由题意知，P?m,??8?2??m8??2??，，，R,Qm,T4m,???????； m?m??4m??m??453m61（2）证明：由 ⑴ 知，PR=，QT?3m，PQ?∴S梯形ABCD??PR?QT??PQ=

44m2 即梯形ABCD的面积是定值.

4. 解：（1）∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠EBC +∠ACB=90°，∠DAC+∠ACB=90°

∴∠EBC=∠DAC∵∠BDH=∠ADC=90°∴△BDH∽△ADC （2）∴

DHBD11?即DH?AD?DC?BD∵S?ABC?BC?AD，S?HBC?BC?HD DCAD221112∴S?ABC?S?HBC=BC?AD?BC?HD=BC?DC?BD

224∵线段BC、DC、BD的长度不变∴S?ABC?S?HBC的值不会变化

5. 联结OC，过O点作OH⊥CD于H点

∵OH⊥CD，OH过圆心∴CH=DH

∵EC∥OH∥DF∴

A E O ．F H C m D B HDFO?∴点O是EF中点 CHEO∴OH是梯形ECDF中位线

∵Rt△OCH中OH?OC2?CH2?6

S梯形ECDF?OH?CD?6?9?54

6. 当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变

过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M易证△APE≌△QCM

∴AE=PE=CM=QM=2t∴四边形PEQM是□，

且DE是对角线EM得一半又∵EM=AC=102 ∴DE=52 ∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变 7. 解：（1）先求出DE=

A E P D Q C M 135AD，DM?AD，EM?AD后证之.

288B （2）可证△DEM∽△CMG，求出△CMG的周长等于4a，从而它与点M在CD边上的位置无关.

8. 在正方形ABCD中，∵∠B=∠C=∠EMF=90°，∴∠EMB+∠CMF=90°，∠CMF+∠CFM=90°．

CFBM． ?CMBEy24

∵CM=BM=2，∴?，即所求的函数解析式为y?（0?x?4）

x2x∴∠EMB=∠CFM．∴△EMB∽△MFC．∴（2）不变．理由如下：作EH⊥CD于点H．那么

A D

E B M H C

EF?(y?x)2?42?y2?2xy?x2?16

?y2?8?x2?(x?y)2?x?y．

∴四边形AEFD的周长=AE+EF+DF+AD=4?x+x+y+4?y+4=12．

9. 解：（1）在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠APB=∠DAP．

又由题意，得∠QAD=∠DAP，∴∠APB =∠QAD．∵∠B=∠ADQ=90°，∴△ADQ∽△PBA．

∴

DQADy412，即?．∴y?．（x?0）． ?ABBP3x?4x?4114812xQE?AD?QE?PC???12． 22x?4x?4 （2）不发生变化． ∵∠QAD=∠DAP，∠ADE=∠ADQ=90°，AD=AD，∴△ADE≌△ADQ．

∴DE=DQ=y．∴S?S?AQE?S?PQE?10. 解：（1）过点M作MP∥AC，交BC于点P．

在正△ABC中，∵AB=BC，MP∥AC，∴PC=AM=x．又∵AM=CN，∴PC=CN． ∵MP∥AC，∴∠MPB=∠ACB=60°．而∠B=60°，∴∠MPB=∠B．

∴MP=BM= 4-x． ∴y?11． (4?x)，即y??x?2（0

22（2）线段DE的长不会改变．

（i）当点M在边AB上时，点D在边AC上．∵∠AEM=90°，∠A=60°，AM=x， ∴AE?1111x．∴DE?4?x?y?4?x?(?x?2)?2． 2222（ii）当点M在边AB的延长线上时，点D在边AC的延长线上．

过点M作MP∥AC，交直线BC于点P．

111x?2∴AD?4?x?2?x?2．

222111又∵AE?x，∴DE?AD?AE?x?2?x?2．

222∴MP=BM=BP=x-4．∴CP=CN=x．∴CD?综上所述，DE=2，即线段DE的长不会发生改变．

11. 解：（1）∵P(x,12111x?1)，A(0,2)∴r?PA?x2?(x2?1)2?x2?1，d?Py?x2?1 4444∵d?r∴以P为圆心，PA为半径的圆与x轴相切

（2）由（1）得PA=PB∴∠PAB=∠PBA

∵PB∥AO∴∠PBA=∠BAO∴∠PAB=∠BAO同理∠QAC=∠OAC

∵∠PAB+∠BAO+∠QAC+∠OAC=180°∴∠BAO+∠OAC=∠BAC=90°即△ABC为直角三角形 （3）由（2）得PE=BO，FQ=OC ∵Rt△ABC中AO⊥BC，AO?BO?CO?4∴PE·QF=4 12. ?△BCE的周长不变，理由如下：

2C?AED?AE?DE?AD?4?x,BE?4?x，设AD?m，则DE?4?m， ??A?90?16?x2 ?DE?AE?AD即，（4-m）?x?m?m?8222222△AED∽△BCE?C?ADEC?BCE16?x2AD4?x88?C?BCE??C?ADE??(4?x)?8 ??8?4?x4?xBE4?x8?△BCE的周长不变.

13. 证明：CD的长不会发生变化． 延长CA交直线MN于点E． ∵AC⊥AP，∴?PAE??PAC?90?．

∵∠ACP=∠BAP，∴?APC??APE．∴?AEP??ACP．∴PE?PC．∴AE?AC． ∵AB?MN，CD?MN，∴AB//CD．∴

ABAE1??．∵AB=4，∴CD?8 CDCE214. 解：（1）点C（a，1－a），点D（1－b，b）

（2）易得△ABO是等腰直角三角形，故∠BAO＝∠ABO＝45°；由P在双曲线上，所以由两点距离可求得AD＝2b，BC＝2a，

得AD?BC?2ab?1?OA?OB，易证得△OAD与△OBC相似； 由（2）中的相似可得∠AOD＝∠BCO，

又因为∠AOD＝∠COD＋∠AOC；∠BCO＝∠DAO＋∠AOC 所以∠COD＋∠AOC＝∠DAO＋∠AOC，故∠COD＝∠DAO＝45°

15. 答：p值无变化.证明：延长BA交y轴于E点，则?AOE?45??AOM， 0ab?1， 2yEy?xA M B ?CON?90?45??AOM?45??AOM，∴?AOE??CON. 又∵OA?OC，?OAE?180?90?90??OCN. ∴?OAE??OCN.∴OE?ON,AE?CN.

0000000O C 第26题

N x又∵?MOE??MON?45,OM?OM, ∴?OME??OMN.∴MN?ME?AM?AE.

∴MN?AM?CN，∴p?MN?BN?BM?AM?CN?BN?BM?AB?BC?4. ∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化. 16. 过B作BE⊥BP交AP于E点，过C作CF⊥CP交

DP于F点 可证BE?P

E A

B

C

F

D

11PC,CF?BP设BE=x，CF=y， 22则PC=2x，PB=2y Rt△ABP中，tan∠APB=

y1x同理tan∠CPD=∴tan∠APB·tan∠CPD=

2x42y221HE=?OP=2 33217. 解：（1）延长HG交OP于点E，PG交OH于点D，

由重心定理得：GH=

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