全国高中数学联赛模拟试题(十)

全国高中数学联赛模拟试题(十)

一、选择题：(每小题6分，共36分)

1、设集合M={-2,0,1}，N={1,2,3,4,5}，映射f：M N使对任意的x M，都有x+f(x)+xf(x)是奇数，则这样的映射f的个数是

(A)45 (B)27 (C)15 (D)11

2、已知sin2q=a，cos2q=b，0 q ，给出值的五个：

① ; ② ; ③ ; ④ ;

⑤ .

其中正确的是：

(A)①②⑤ (B)②③④(C)①④⑤ (D)③④⑤

1/ 8

3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是

(A)64 (B)66 (C)68 (D)70

4、递增数列1,3,4,9,10,12,13, ，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为

(A)729 (B)972 (C)243 (D)981

5、 (其中，[x]表示不超过x的最大整数)的值为

(A) (B) (C) (D) 6、一个五位的自然数称为凸数，当且仅当它满足a b c，c d e(如12430，13531等)，则在所有的五位数中凸数的个数是

(A)8568 (B)2142 (C)2139 (D)1134

二、填空题：(每小题9分，共54分)

2/ 8

1、过椭圆上任意一点P，作椭圆的右准线的垂线PH(H为垂足)，并延长PH 到Q，使得HQ=lPH(l 1).当点P在椭圆上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围是 .

2、已知异面直线a、b所成的角为60 ，过空间一点P作与a、b都成角a(0 a 90 )的直线l，则这样的直线l的条数是f(a)= .

3、不等式的解集为 .

4、设复数z满足条件|z-i|=1，且z 0，z 2i，又复数w使得为实数，则复数w-2的辐角主值的取值范围是 .

5、设a1,a2, ,a2002均为正实数，且，则a1a2 a2002的最小值是 .

6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为优选数码(如12883，787480889等)，否则称它为非优选数码(如2348756，958288等)，则长度不超过n(n为自然数)的所有优选数码的个数之和为 .

三、(20分)

3/ 8

已知数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，且前n项和为Sn.

(1) 用Sn表示Sn+1;

(2) 是否存在自然数c和k，使得 2成立.

四、(20分)

设异面直线a、b成60 角，它们的公垂线段为EF，且|EF|=2，线段AB的长为4，两端点A、B分别在a、b上移动.求线段AB中点P的轨迹方程.

五、(20分)

已知定义在R+上的函数f(x)满足

(i)对于任意a、b R+，有f(ab)=f(a)+f(b);

4/ 8

(ii)当x 1时，f(x)

(iii)f(3)=-1.

现有两个集合A、B，其中集合A={(p,q)|f(p2+1)-f(5q)-2 0，p、q R+}，集合B={(p,q)|f( )+ =0，p、q R+}.试问是否存在p、q，使，说明理由.

第二试

一、(50分)

如图，AM、AN是⊙O的切线，M、N是切点，L是劣弧MN上异于M、N的点，过点A平行于MN的直线分别交ML、NL于点Q、P.若，求证： POQ=60 .

M

A

5/ 8

P

Q

N

L

O

二、(50分)

已知数列a1=20，a2=30，an+2=3an+1-an(n 1).求所有的正整数n，使得

1+5anan+1是完全平方数.

三、(50分)

设M为坐标平面上坐标为(p 2002,7p 2002)的点，其中p为素数.求满足下列条件的直角三角形的个数：

6/ 8

(1) 三角形的三个顶点都是整点，而且M是直角顶点;

(2) 三角形的内心是坐标原点.

参考答案

第一试

一、选择题：

题号123456

答案ACBDDB

二、填空题：

1、 ;

2、 ;

7/ 8

3、 ;

4、 ;

5、40022002;

6、 .

三、(1) ; (2)不存在.

四、 .

五、不存在.

第二试

一、证略;

二、n=3.

三、 p 2,7,11,13时，324个;p=2时，162个;p=7,11,13时，180个.

8/ 8

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/l7iq.html