直线与方程-知识点总结-例题习题精讲-详细答案-提高训练

课程星级：★★★★

知能梳理 【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角

①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x轴相交；2、x轴正向；3、直线向上方向。 ②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 ③倾斜角?的范围00???1800 （2）直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为90的直线斜率不存在. 记作k?tan?(??90)

0 ⑴当直线l与x轴平行或重合时, ??0,k?tan0?0

0000 ⑵当直线l与x轴垂直时, ??90,k不存在.

0y2?y1)x1?x2）②经过两点P的直线的斜率公式是k?1(x1,y1),P(x2,y2（x2?x1③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法：

①已知直线上两点，根据斜率公式k?

y2?y1(x2?x1)求斜率；

x2?x1②已知直线的倾斜角?或?的某种三角函数根据k?tan?来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法：

已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，若x1?x2?x3或kAB?kBC，则有A、B、C三点共线。 【知识点二：直线平行与垂直】

（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为k1,k2，则有l1 // l2?k1?k2 特别地，当直线l1,l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行 （2）两条直线垂直：如果两条直线l1,l2斜率存在，设为k1,k2，则有l1 ? l2?k1?k2?-1

注：两条直线l1,l2垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；

由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果l1,l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2互相垂直. 【知识点三：直线的方程】 （1）直线方程的几种形式 需要更多的高考数学复习资料

请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答) 或者搜.店.铺..： 龙奇迹【学习资料网】

名称 ①点斜式 方程的形式 已知条件 局限性 不包括垂直于x轴的直线 不包括垂直于x轴的直线 不包括垂直于x轴和 y?y1?k(x?x1) (x1,y1)为直线上一定点， k为斜率 ②斜截式 y?kx?b k为斜率，b是直线在y轴 上的截距 ③两点式 y?y1x?x1?y2?y1x2?x1经过两点(x1,y1),(x2,y2) 且(x1?x2,y1?y2)y轴的直线 ④截距式 xy??1ab a是直线在x轴上的非零截距，不包括垂直于x轴和b是直线在y轴上的非零截距 A,B,C为系数 y轴或过原点的直线 无限制，可表示任何位置的直线 ⑤一般式 Ax?By?C?0 (A2?B2?0) 问题：过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【不一定】 (1)若x1?x2且y1?y2，直线垂直于x轴,方程为x?x1； (2)若x1?x2且y1?y2，直线垂直于y轴,方程为y1?y2； (3)若x1?x2且y1?y2，直线方程可用两点式表示

直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式； 利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.

用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为a?0,b?0，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.

截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。距离的值是非负数。截距是实数，不是“距离”，可正可负。 截距式方程的应用

①与坐标轴围成的三角形的周长为: |a|+|b|+a2?b2； ②直线与坐标轴围成的三角形面积为: S=

1|ab| ； 2③直线在两坐标轴上的截距相等，则k??1或直线过原点，常设此方程为x?y?a或y?kx （2）线段的中点坐标公式

若点P 1,P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)，x1?x2?x???2

且线段PP12的中点M(x,y)的坐标为??y?y1?y2??2【知识点四 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点

设两条直线的方程是l1:A1x?B1y?C1?0, l2:A2x?B2y?C2?0

?A1x?B1y?C1?0两条直线的交点坐标就是方程组?的解。

Ax?By?C?0?222①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）几种距离

两点间的距离：平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式

|PP12|?(x2?x1)2?(y2?y1)2

特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|?x2?y2 点到直线的距离：点P0(xo,y0)到直线Ax?By?C?0的距离

d?|Ax0?By0?C|A?B22

两条平行线间的距离：两条平行线Ax?By?C1?0与Ax?By?C2?0间的距离

d?|C1?C2|A?B22

注:1求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

2求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。 需要更多的高考数学复习资料

请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答) 或者搜.店.铺..： 龙奇迹【学习资料网】

精讲精练 【例】已知

取值范围是（ ）

A 答案：B

，直线l过原点O且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的

，

B C D

分析：由于直线l与线段AB有公共点，故直线l的斜率应介于OA，OB斜率之间． 解：由题意，

，

，由于直线l与线段AB有公共点，

所以直线l的斜率的取值范围是

考点：本题主要考查直线的斜率公式，考查直线l与线段AB有公共点，应注意结合图象理解． 【例】在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（ ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 答案：B

分析：由题意，A、B到直线距离是1和2，则以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线的条数即可．

解：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求． 考点：本题考查点到直线的距离公式，考查转化思想

【例】将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角为（ ） A 30° B 60° C 120° D 150° 答案：A

分析：结合图象，由题意知直线l1l3互相垂直，不难推出l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角．

解：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k3=﹣1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30° 需要更多的高考数学复习资料

请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答) 或者搜.店.铺..： 龙奇迹【学习资料网】

考点：本题考查直线与直线所成的角，涉及到角公式 【例】方程x?y?1所表示的图形的面积为_________。 答案：2

解：方程x?y?1所表示的图形是一个正方形，其边长为2

【例】设a?b?k(k?0,k为常数)，则直线ax?by?1恒过定点 ． 答案：(,)

解：ax?by?1变化为ax?(k?a)y?1,a(x?y)?ky?1?0, 对于任何a?R都成立，则?11kk?x?y?0

?ky?1?0【例】一直线过点M(?3,4)，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是__________． 答案：4x?y?16?0，或x?3y?9?0 解：设y?4?k(x?3),y?0,x??4?4?3;x?0,y?3k?4;?3?3k?4?12 kk413k??11?0,3k2?11k?4?0,k?4,或k??

k3【例】已知A（1，2），B（3，4），直线l1：x=0，l2：y=0和l3：x+3y﹣1=0、设Pi是li（i=1，2，3）上与A、B两点距离平方和最小的点，则△P1P2P3的面积是________ 答案：

分析：设出P1，P2，P3，求出P1到A，B两点的距离和最小时，P1坐标，求出P2，P3的坐标，然后再解三角形的面积即可．

解：设P1（0，b），P2（a，0），P3（x0，y0） 由题设点P1到A，B两点的距离和为

显然当b=3即P1（0，3）时，点P1到A，B两点的距离和最小，同理P2（2，0），P3（1，0），所以

考点：本题考查得到直线的距离公式，函数的最值，考查函数与方程的思想，是中档题．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/l795.html