2018最新高等数学期末考试卷复习题

大学高等数学期末考试卷复习题及答案详解

一、选择题 1、极限lim(x??x2?x?x) 的结果是 （ ）

? （C）

12 （D）不存在

（A）0 （B） 2、方程x3?3x?1?0在区间(0,1)内 （ ）

（A）无实根 （B）有唯一实根 （C）有两个实根 （D）有三个实根 3、

f(x)是连续函数, 则 ?f(x)dx是

f(x)的 （

）

（A）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数； 4、由曲线

y?sinx(0?x??)和直线y?0所围的面积是 （

）

（A）1/2 (B) 1 (C) 2 (D) ? 5、微分方程

3y??x2满足初始条件y|x?0?2的特解是 ( )

11?x3 （C）x3?2 （D）x3?2 331x?2(x?0?) (C) cosx (x?0) (D) 2(x?2) xx?4（A）x （B）

6、下列变量中，是无穷小量的为（ ） (A) lnx(x?1) (B) ln7、极限lim(xsinx?011?sinx) 的结果是（ ） xx1 （C） ?1 （D）不存在

（A）0 （B） 8、函数

y?ex?arctanx在区间??1,1?上 （ ）

（A）单调增加 （B）单调减小 （C）无最大值 （D）无最小值 9、不定积分

?xdx= （ 2x?12 ）

(A)arctanx11?C (B)ln(x2?1)?C (C)arctanx?C (D) ln(x2?1)?C

2210、由曲线

y?ex(0?x?1)和直线y?0所围的面积是 （ ）

（A）e?1 (B) 1 (C) 2 (D) e

11、微分方程

dy?xy的通解为 （ ） dx2x （A）

y?Ce （B）

y?Ce12x2Cxx （C）y?e （D）y?Ce2

12、下列函数中哪一个是微分方程

y??3x2?0的解( )

（A）

y?x2 （B） y??x3 （C）y??3x2 （D）y?x3

y?sinx?cosx?1 是 （ ）

13、 函数

(A) 奇函数； (B) 偶函数； (C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数. 14、当x?0时， 下列是无穷小量的是 （ ）

x?1（A） e (B) ln(x?1) (C) sin(x?1) (D) x?1

15、当x??时，下列函数中有极限的是 （ ） （A）

x?11 (B) (C) cosxx2?1ex3 (D)arctanx

16、方程x?px?1?0(p?0)的实根个数是 （ ）

（A）零个 （B）一个 （C）二个 （D）三个

1(?1?x2)?dx?（ ） 11?C （C） arctanx （D） arctanx?c （A） （B）221?x1?x17、18、定积分

?baf(x)dx是 （ ）

f(x)的的一个原函数 （C）一个常数 （D）一个非负常数

（A）一个函数族 （B）19、 函数

y?lnx?x2?1??是（ ）

（A）奇函数 （B）偶函数 （C） 非奇非偶函数 （D）既是奇函数又是偶函数 20、设函数

(A)

f?x?在区间?0,1?上连续，在开区间?0,1?内可导，且f??x??0，则( )

f?0??0 (B) f?1??f?0? (C) f?1??0 (D)f?1??f?0?

y?21?e?x221、设曲线

则下列选项成立的是（ ） ，(A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 22、

?(cosx?sinx)dx?( )

?cosx?C （B） sinx?cosx?C ?cosx?C （D） sinx?cosx?C

（A） ?sinx（C） ?sinxn?(?1)n}的极限为（ ） 23、数列{n （A）1

(B) ?1

(C) 0

(D) 不存在

24、下列命题中正确的是（ ）

（A）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D）两无穷大量的差为零

25、若

f?(x)?g?(x)，则下列式子一定成立的有（ ）

f(x)?g(x) (B)?df(x)??dg(x)

(A)

(C)(?df(x))??(?dg(x))? (D)f(x)?g(x)?1

26、下列曲线有斜渐近线的是 ( )

(A)(C)

二、填空题 1、 lim2、 若3、 4、

y?x?sinx (B)y?x2?sinx y?x?sin112 (D)y?x?sin xx1?cosx? x?0x2f(x)?e2x?2，则f'(0)? (x3cosx?5x?1)dx?

t?1?1?edx?

y??y?0满足初始条件y|x?0?2的特解为

5、微分方程

x2?4? 6、 limx?2x?3x2?x?2?7、 极限 lim2x?2x?48、设9、

?y?xsinx?1,则f?()?

21?1?(xcosx?1)dx?

10、

3?1?x2dx?

11、微分方程

ydy?xdx的通解为

12、

?1?15x4dx?

x?sin2x?

x13、 limx??14、设15、设

y?cosx2，则dy?

y?xcosx?3,则f?(?)?

16、不定积分

?exdex?

17、微分方程

y??e?2x的通解为 dy1?y2e2x?2dy?e2xdxdxy

y??y2e2x??1112x2xdy?edx???e?C2?yy2112x?e或者y??2e?2xy2x?0,y??2代入上式可得到C?0所求的特解为?18、微分方程lny??x的通解是

19、lim(1?x??23x)＝ x

20、设函数y?xx,则y??21、lim(n??12n????)的值是 222nnn22、limx(x?1)(x?2)?

3x??2x?x?3

23、设函数y?xx,则dy?2x2?3x?1?24、 limx?0x?425、若

f(x)?e2x?sina?2??6，则

f'(0)?

26、

?a(1?sin5x)dx? (a为任意实数).

27、设

y?ln(ex?1)，则微分dy?________________.

?228、

x3???2(cosx?1?x2)dx? .

三、解答题

1、（本题满分9分）求函数 2、（本题满分10分）设

y?x?1?62?x 的定义域。

(x?2014)，求f?(0)。

f(x)?x(x?1)(x?2)y?3、（本题满分10分）设曲线方程为

1312x?x?6x?1,求曲线在点(0,1)处的切线方程。 324、（本题满分10分）求由直线

y?x及抛物线y?x2所围成的平面区域的面积。

5、（本题满分10分）讨论函数

? x?2 x?1 在 x?1 处的连续性。 f(x)???3x x?1?dy??2x?36、（本题满分10分）求微分方程?dx的特解。

??y|x?1?37、（本题满分9分）求函数 8、（本题满分10分）设

y?2x?4?cos5?x 的定义域。

(x?n)(n?2)，求f?(0)。

f(x)?x(x?1)(x?2)9、（本题满分10分）设平面曲线方程为10、（本题满分10分）求由曲线

x2?2xy?3y2?3，求曲线在点（2，1）处的切线方程。

． y?ex及直线y?1和x?1所围成的平面图形的面积（如下图）

11、（本题满分10分）讨论函数

?x x?0f(x)??x 在 x?0 处的连续性。

?e?1 x?012、（本题满分10分）求方程(1?13、（本题满分10分）证明方程14、（本题满分10分）设

y2)dx?(1?x2)dy?0的通解。

x5?7x?4在区间(1,2)内至少有一个实根。

f(x)?x(x?1)(x?2)y(x?2015)，求f?(0)。

15、（本题满分10分）求曲线e16、（本题满分10分）求曲线

?xy?e在点（0，1）处的法线方程。

及y轴所围成平面图形的面积。

2?cosx x?0 在 x?0 处的连续性。 f(x)???x?1 x?0y?cosx与直线y?2,x??17、（本题满分10分）讨论函数

?dy22??1?x?y?xy18、（本题满分10分）求微分方程?dx??y|x?0?119、（本题满分20分）

的特解。

曲线a2y?x2(0?a?1)将边长为1的正方形分成A、B两部分(如图所示)，其中A绕x轴旋转一周得到一旋转体,记其体积为VA，B绕y轴旋转一周得到另一旋转体,记其体积为VB.问当a取何值时,VA?VB的值最小.

20、（本题满分20分） 假定足球门的宽度为4米，在距离右门底线的方向带球前进，问：该球员应在离底线多少米处射门才

ya2y?x21BoAa1x柱6米处一球员沿垂直于能获得最大的射门张角

?？若球员以5.2米每秒的速度沿垂直于底线的方向向球门前进，求在距离底线2米处，射门张角的变化率。

21、（本题满分10分）设

f(x)??x1ln(1?t)1dt(x?0)，求f(x)?f(). tx22、证明题（本题满分10分）

设函数f(x)在

?0,3?上连续,在?0,3?内可导, f(0)?f(1)?f(2)?3，f(3)?1。试证

f?????0.

必存在一点???0,3?，使得

23、（本题满分20分）一火箭发射升空后沿竖直方向运动，在距离发射台4000m处装有摄像机，摄像机对准火箭。用h 表示高度，假设在时刻t0 ，火箭高度h=3000m，运动速度等于300m/s,（1） 用L表示火箭与摄像机的距离，求在t0时刻L的增加速度. （2） 用?表示摄像机跟踪火箭的仰角（弧度），求在t0时刻?的增加速度.

《高等数学（一）》期末复习题答案

一、选择题

1、C 解答：第一步，先分子有理化；第二步，分子利用平方差公式，第三步，分子分母同时除以x；第四步化简即可。 lim(x?x?x)?limx??2(x2?x?x)(x2?x?x)(x?x?x)2x???lim(x2?x?x2)(x?x?x)2x???limx(x?x?x)2 x???limx??1x2?x(?1)x2?lim11?

x??21(1??1)x内存在实数根，又因f(0)?1,f(1)??1，有零点定理得f(x)在区间(0,1)3 2、B 解答：设f(x)?x?3x?1，则

f?(x)?3x2?3?0，可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。

3、C 本题考察不定积分的概念，不定积分是所有原函数的全体。

4、C解答：利用定积分的几何意义，所求面积为

??0sinxdx?2

5、D 解答：直接积分法

y?13x?C，代入已知点坐标可得C?2 3 6、A解答：因为limlnx?1x?ln1?0，所以此时是无穷小量。

7、C 解答：lim(xsinx?011?sinx)?0?1??1 xx 8、A 解答：因为

y??ex?1?0，所以单调增加。

1?x2 9、D 解答：

?x11111222dx?dx?d(x?1)?ln(x?1)?C 222??x?12x?12x?1210、A解答：利用定积分的几何意义，所求面积为11、B 解答：先分离变量，两端再积分

?10exdx?ex1?e?1 0dy111?xy?dy?xdx??dy??xdx?lny?x2?C1 dxyy2所求通解为

y?Ce12x2

12、D 解答：直接积分法13、C 解答：

y?x3?C，当C?0时有y?x3

y?sinx?cosx?1 是奇函数加上偶函数 ，所以是非奇非偶函数。

14、B 解答：limln(x?1)?x?0ln1?0，所以此时是无穷小量。

15、A 解答：limx?1x?11?lim?lim?0 其它三项极限都不存在。

x??x2?1x??(x?1)(x?1)x??(x?1)，

f(0)?1,f(?1)??p?0，有零点定理得f(x)在区间(?1,0)内存在实数根，又因

16、B 解答：设f(x)?x3?px?1，则

f?(x)?3x2?p?0，可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。

17、B 解答：求导与求积分是互逆的运算，先求导再求积分，是所有原函数所以选B

18、C 解答：考察定积分的概念，定积分计算完以后是一个确切的常数，可能是正数，也可能是0，还可能是负数。 19、 A 解答：由函数的奇函数和偶函数的定义去判断即可，设

y?f(x)?lnx?x2?1??，则

f(?x)?ln?x?x?1?2??x???lnx2?1????x2?1?xx?1?x2???ln?x?1?x??x?1?x?222

?ln?1x?1?x2???lnx?x2?1??f(x)

??20、B 解答：由于21、C 解答：limx??f??x??0所以f?1??f?0?

21?e?x2=2?y?2 是水平渐近线；limx?021?e?x2=??x?0

是铅直渐近线。

22、D 考查定积分的性质与基本的积分表

?(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?C

n?(?1)n?123、A 解答：分子分母同时除以n可以得到limn??n

24、B 解答：考查无穷小量的重要性质之一，有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量，其它选项都不一定正确。 25、C 解答：

f?(x)?g?(x)?df(x)?dg(x)?(?df(x))??(?dg(x))?，其它选项都有反例可以排除。

26、C解答：有求解斜渐近线的方法可得

1y?k?lim?limx??xx??x求斜渐近线为y?x。其它选项都没有。 y?x?sin二、填空题

x?sin1x?lim1?0?1b?lim(y?kx)?lim(x?sin1?x)?limsin1?0，所

x??x??x??x??xxx12x11?cosx1121、 解答：1?cosx~x2?lim ?lim?22x?02 2xx2

x?0或者用罗比达法则也可以求解。 2、 2 解答：

f(x)?e2x?2，则f?(x)?2e2x?f?(0)?2

113、 2 解答：应用奇函数在关于原点对称区间上的积分为0

?1

?1(xcosx?5x?1)dx??(0?5x?1)dx=?(0+0?1)dx=?1dx=2

?1?1?1t314、e5、

x?C 分析：被积函数et 相对于积分变量来说是常数，所以?etdx?etx?C

y?2ex 解答：y??y?0?y?Cex，代入初始条件y|x?0?2得到2?Ce0?C?2 所求特解为y?2ex

x2?422?406、0 解: lim?lim?lim?0

x?2x?3x?22?3x?2537、

4x2?x?2(x?2)(x?1)(x?1)2?13 解:lim?lim?lim?lim?x?2x?2(x?2)(x?2)x?2(x?2)x?22?2x2?44

8、 1 解:

????y?xsinx?1?y??sinx?xcosx则f?()?sin?cos?12222

9、 2 解：应用性质，奇函数在对称区间上的积分为0

?1?1(xcosx?1)dx?0??1dx?2

?1110、3arctanx?C解：由基本的积分公式

3?1?x2dx?3arctanx?C

11、

y2?x2?C解：对方程 ydy?xdx两端积分?ydy??xdx?y2?x2?C

141451?2 12、 2解：利用偶函数的积分性质?5xdx?2?5xdx?2x?10013、1 解： limx??2x?sin2x?limx??x1?sin2xx?lim1?0?1x??11

14、?2xsinxdx解：由微分的定义dy?y?dx，先求出导数，再求微分

y?cosx2?y???sinx2?2x??2xsinx2?dy??2xsinx2dx

15、?1 解：

y?xcosx?3?y??cosx?xsinx?f?(?)?cos???sin???1

16、

112xe?C 解：将ex看成一个整体，利用凑微元法得?exdex?e2x?C

221y??e?2x?C解：先分离变量，再积分得通解

2

17、

y??e?2x?18、

dy1?e?2x?dy?e?2xdx??dy??e?2xdx?y??e?2x?C dx2y?ex?C 解：先整理，再分离变量求通解

lny??x?y??ex??y?dy??exdx?y?ex?C

19、

e?6x)?(?6)23x2(?2 解：利用重要极限进行恒等变形，再求解lim(1?)?lim(1?)?e?6 x??x??xx20、xx(lnx?1) 解：本题是幂指函数，利用对数求导法来求导数

y?1x?lnx?x??1?lnx?y??y(1?lnx)?x(1?lnx) yxy?xx?lny?xlnx?121、

2lim(n?? 解：分母相同，分子先通分，分子分母最高次幂都是2次幂，自变量趋于无穷大，极限等于最高次幂的系数之比

12??n2n2(1?n)nn1?2?3?...?n12 ?2)?lim?lim?n??n??nn2n22x??22、

12 解：分子分母最高次幂都是3次幂，自变量趋于无穷大，极限等于最高次幂的系数之比limx(x?1)(x?2)1? 32x?x?3223、 xx(lnx?1)dx解：由微分的定义dy?y?dx，先求出导数，再求微分，本题是幂指函数可以利用对数求导法来求导数

y?xx?lny?xlnx?y?1x?lnx?x??1?lnx?y??y(1?lnx)?x(1?lnx) yx?dy?xx(1?lnx)dx

124、

42x2?3x?10?11 解： lim?lim?

x?0x?0x?40?4425、2 解：先求导数，再代入具体数值

f?(x)?2e2x?f?(0)?2e0?2

26、2? 解：利用奇函数与偶函数的积分性质

?a?2?a(1?sinx)dx??5a?2?a1dx?2?

exdx 解：由微分的定义dy?y?dx，先求出导数，再求微分 27、xe?1exexy?ln(e?1)?y??x?dy?xdx

e?1e?1x28、 2 解：利用奇函数与偶函数的积分性质

??3x??2?2(cosx?1?x2)dx???2?2cosxdx?2?02cosxdx?2. ?

三、解答题

1、（本题满分9分）

?x?1?0解：由题意可得，?

2?x?0? 解得??x?1

?x?2所以函数的定义域为 [1，2]

2、（本题满分10分） 解：

f?(0)?limx?0x?0f(x)?f(0)

x?0(x?2014)?2014!

?lim(x?1)(x?2)

3、（本题满分10分） 解：方程两端对x求导，得将

y??x2?x?6

(0,1)x?0代入上式，得y??6

从而可得：切线方程为

4、（本题满分10分）

y?1?6(x?0) 即y?6x?1

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