人教新课标版数学高二- 人教数学必修五 2.3等差数列的前n项和(第2课时)

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精校版 第2课时 等差数列的综合应用

1．复习巩固等差数列的定义、通项公式和前n 项和公式．

2．掌握等差数列前n 项和的性质及其应用．

3．能够利用等差数列的前n 项和公式解决实际应用问题．

等差数列

(1)定义：一般地，如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的__都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的____，公差通常用字母d 表示．

(2)公式：数列{a n }是公差为d 的等差数列，则有a n ＝a 1＋______，S n ＝na 1＋________＝________.

【做一做1－1】 等差数列{a n }的公差d ＝2，a 1＝1，则( )

A ．a n ＝2n ，S n ＝n 2

B ．a n ＝n ，S n ＝n 2＋n

C ．a n ＝2n －1，S n ＝n 2

D ．a n ＝2n －1，S n ＝n 2－n 【做一做1－2】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( )

A ．1

B.53 C ．－2 D ．3

答案：(1)2 差 公差 (2)(n －1)d

n (n －1)2d n (a 1＋a n )2 【做一做1－1】 C

【做一做1－2】

C

等差数列前n 项和的性质

剖析：数列{a n }是公差为d 的等差数列，其前n 项和具有下列性质：

(1)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，

S 2n －S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ，

S 3n －S 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n ，

则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 是公差为n 2d 的等差数列，且有S n ＋S 3n －S 2n ＝2(S 2n －S n )．

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S n ，S 2n ，S 3n 不一定成等差数列，这一点要切记！

(2)若项数为2n ，则

S 偶－S 奇＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n －a 1－a 3－a 5－…－a 2n －1＝d ＋d ＋…＋d ＝nd ，

S 奇S 偶＝n 2(a 1＋a 2n －1)n 2(a 2

＋a 2n )＝2a n 2a n ＋1＝a n a n ＋1. (3)若项数为2n －1，则

S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n －2＝n －12(a 2＋a 2n －2)＝n －12

×2a n ＝(n －1)a n ， S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝n 2

×2a n ＝na n ， S 奇－S 偶＝na n －(n －1)a n ＝a n (这里a n ＝a 中)，

S 奇S 偶＝na n (n －1)a n ＝n n －1

. (4)如果等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则有

a n

b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2(2n －1)(b 1＋b 2n －1)2

＝S 2n －1T 2n －1

.

题型一 等差数列前n 项和的性质应用

【例题1】 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求其前110项之和．

分析：本题基本解法是求a 1，d 或令S n ＝an 2＋bn ，先求S n ，再求S 110，或利用性质． 反思：(1)利用已知求出a 1，d ，然后再求所求的量，是基本解法，有时运算量大些，如本题解法一．

(2)我们也可以利用等差数列前n 项和的性质，或利用等差数列通项公式的性质，这两种解法可简化运算，为最优解法，如本题解法三和解法四．

题型二 实际应用问题

【例题2】 某长江抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达．为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的部队指战员和当地干部群众连续奋战外，还需用20台同型号的翻斗车，平均每辆车要工作24小时才能完成任务．但目前只有一辆车投入施工，其余的需从附近高速公路上抽调，每隔20分能有一辆车到达，且指挥部最多还可调集24辆车，那么在24时内能否构筑成第二道防线？

分析：这25辆车分别完成的工作量按从小到大排起来，组成一个等差数列，计算出这

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精校版 25辆车可以完成的工作量，即这个等差数列的前25项和，如果大于或等于总共需要完成的工作量，就能构筑成第二道防线，否则不能．

反思：有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：

(1)问题中所涉及的数列{a n }有何特征？

(2)是求数列{a n }的通项还是求其前n 项和？

(3)列出等式(或方程)求解．

(4)怎样求解？

(5)答案是怎样的？

题型三 易错辨析

【例题3】 已知两个等差数列{a n }，{b n }，它们的前n 项和分别记为S n ，T n ，若S n T n ＝n ＋3n ＋1

，求a 10b 10

. 错解：a 10b 10＝S 10T 10＝10＋310＋1＝1311

. 错因分析：事实上a 10b 10≠S 10T 10，应是a 10b 10＝S 19T 19

. 反思：两个等差数列第n 项的比等于它们前2n －1项和的比，不等于它们前n 项和的比．

答案：【例题1】 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，

则S n ＝na 1＋n (n －1)2

d . 由已知，得??? 10a 1＋10

×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10， ①②

解得d ＝－1150

. 代入①，得a 1＝1 099100

， 则S 110＝110a 1＋110×1092

d ＝110×1 099100＋110×1092

×????－1150 ＝110×? ??

??1 099－109×11100＝－110.

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精校版 故此数列的前110项之和为－110.

解法二：设此等差数列的前n 项和为S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，

∴????? 102a ＋10b ＝100，

1002a ＋100b ＝10，解得??? a ＝－11100，b ＝11110.

∴S n ＝－11100n 2＋11110n . ∴S 110＝－11100×1102＋11110

×110＝－110. 解法三：数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列． 设其公差为D ，则前10项的和为

10S 10＋10×92

·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22， ∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.

解法四：∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100

＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2

， 又S 100－S 10＝10－100＝－90，∴a 1＋a 110＝－2.

∴S 110＝110(a 1＋a 110)2

＝－110. 【例题2】 解：设第n 辆车工作的时间是a n 小时，

则有a n －a n ＋1＝2060＝13

(小时)， 所以数列{a n }是等差数列，公差d ＝－13

，a 1＝24. 如果把所有的25辆车全部抽调到位，所用的时间是2060

×24＝8(小时)＜24小时， 则这25辆车可以完成的工作量为

S 25＝a 1＋a 2＋…＋a 25

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精校版 ＝25a 1＋25×(25－1)2

d ＝25×24＋25×242

×????－13 ＝500(小时)．

总共需要完成的工作量为24×20＝480(小时)．

由于500＞480，

所以，在24小时内能构筑成第二道防线．

【例题3】 正解：a 10b 10＝a 10＋a 10b 10＋b 10＝a 1＋a 19b 1＋b 19

＝19(a 1＋a 19)219(b 1＋b 19)2

＝S 19T 19＝19＋319＋1＝1110

.

1在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 7＝10，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( )

A ．45

B ．50

C ．55

D ．60

2一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( ) A.12，12 B. 12，1 C.12，2 D ．1，12

3现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )

A ．9

B ．10

C ．19

D ．20

4等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，且5523a b =，则99

S T ＝__________. 5等差数列{a n }的前m 项和为3，前2m 项和为10，求它的前3m 项和．

答案：1．C 2.A 3.B 4.

23

5．解：S m ＝3，S 2m ＝10，

又2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，

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高中数学-打印版∴2×(10－3)＝3＋(S3m－10)．∴S3m＝21.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/l76e.html