2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列 - 图文

2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列

一、选择题

1 ．（2013年高考上海卷（理））在数列{an}中,an?2n?1,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素

ai,j?ai?aj?ai?aj,(i?1,2,?,7;j?1,2,?,12)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )

(A)18 (B)28 【答案】A.

(C)48

(D)63

2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知数列

?an?满足

4,则?an?的前10项和等于 31?10?10?10?10(A)?6?1?3? (B)?1?3? (C)3?1?3? (D)3?1+3?

93an?1?an?0,a2??【答案】C

3 （．2013年高考新课标1（理））设?AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,?AnBnCn的面积为Sn,n?1,2,3,?,

若b1?c1,b1?c1?2a1,an?1?an,bn?1?cn?anb?an,cn?1?n,则( ) 22

A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列

C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 【答案】B

4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））函数y=f(x)的图像如图所示,

在区间?a,b?上可找到n(n?2)个不同的数x1,x2...,xn,使得

f(x1)f(x2)f(xn)==,则n的取值范围是 x1x2xn

(A)?3,4? (B)?2,3,4? (C) ?3,4,5? (D)?2,3?

【答案】B

5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知等比数列{an}的公比为q,

记bn?am(n?1)?1?am(n?1)?2?...?am(n?1)?m,

cn?am(n?1)?1?am(n?1)?2?...?am(n?1)?m(m,n?N*),则以下结论一定正确的是( )[来源:12999数学网]

A.数列{bn}为等差数列,公差为q B.数列{bn}为等比数列,公比为qm2m

C.数列{cn}为等比数列,公比为q

【答案】C

m2 D.数列{cn}为等比数列,公比为q

mm

6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等比数列?an?的前n项

和为Sn,已知S3?a2?10a1,a5?9,则a1? (A)

(D)?111 (B)? (C) 3391 9【答案】C

7 ．（2013年高考新课标1（理））设等差数列

?an?的前n项和为Sn,Sm?1??2,Sm?0,Sm?1?3,则m?

( )

A.3 B.4 【答案】C

C.5 D.6

8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））下面是关于公差d?0的等差数列

?an?的四个命题:

p2:数列?nan?是递增数列； p1:数列?an?是递增数列；?a? p4:数列?an?3nd?是递增数列； p3:数列?n?是递增数列；?n?其中的真命题为

(A)p1,p2 (B)p3,p4 (C)p2,p3 (D)p1,p4

【答案】D

9 ．（2013年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于

A.-24 B.0 C.12 D.24 【答案】A

二、填空题

10．（2013年高考四川卷（理））在等差数列{an}中,a2?a1?8,且a4为a2和a3的等比中项,求数列{an}的

首项、公差及前n项和.

【答案】解:设该数列公差为d,前n项和为sn.由已知,可得

2a1?2d?8,?a1?3d???a1?d??a1?8d?.

所以a1?d?4,d?d?3a1??0,

解得a1?4,d?0,或a1?1,d?3,即数列?an?的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.

23n2?n所以数列的前n项和sn?4n或sn?

211．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等差数列?an?的前n项

和为Sn,已知S10?0,S15?25,则nSn的最小值为________.

【答案】?49

12（．2013年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,

第n个三角形数为

n?n?1?121?n?n.记第n个k边形数为N?n,k??k?3?,以下列出了部分k边形222121n?n 222数中第n个数的表达式: 三角形数 N?n,3??正方形数 N?n,4??n 五边形数 N?n,5??321n?n 222六边形数 N?n,6??2n?n

可以推测N?n,k?的表达式,由此计算N?10,24??___________. 选考题

【答案】1000

13．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在正项等比数

列{an}中,a5?_____________.

【答案】12

1,a6?a7?3,则满足a1?a2???an?a1a2?an的最大正整数n 的值为214．（2013年高考湖南卷（理））设Sn为数列

?an?的前n项和,Sn?(?1)nan?2n,n?N?,则

1(1)a3?_____; (2)S1?S2?????S100?___________.

【答案】?111;(100?1) 163215．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））当x?R,x?1时,有如下表达

式:1?x?x2?...?xn?...?1. 1?x1202120n120两边同时积分得:

?1201dx??xdx??xdx?...??xdx?...??1201dx. 1?x从而得到如下等式:1?111211311??()??()?...??()n?1?...?ln2. 22232n?12请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:

11112121311n?1n???()??()?...??()?_____ Cn22Cn23Cn2Cnn?120【答案】

13[()n?1?1] n?1216．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知

?an?是等差数列,a1?1,公差

d?0,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8?_____

【答案】64

17．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和Sn=__________.

【答案】

527n?n 6618（．2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））在等差数列

?an?中,已知a3?a8?10,

则

3a5?a7?_____.[来源:www.12999.com]

【答案】20

19．（2013年高考陕西卷（理））观察下列等式:

12?1

12?22??3 12?22?32?6

12?22?32?42??10

（-1)n?1（-1）n?n(n?1)____. 照此规律, 第n个等式可为___1-2?3-??2222n-12（-1)n?1（-1）n?n(n?1) 【答案】1-2?3-??2222n-1220．（2013年高考新课标1（理））若数列{an}的前n项和为Sn=

21an?,则数列{an}的通项公式是33an=______.

【答案】an=(?2)n?1.

21．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,互不-相同的点A1,A2?,Xn,?和B1,B2?,Bn,?分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn?1An?1的面积均相等.设

OAn?an.若a1?1,a2?2,则数列?an?的通项公式是_________.

【答案】an?3n?2,n?N*

22．（2013年高考北京卷（理））若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_______;前n项和

Sn=___________.

【答案】2,2n?1?2

23．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知等比数列

2?an?是递增数列,Sn是?an?的前n项和,若a1，a3是方程x?5x?4?0的两个根,则S6?____________.

【答案】63 三、解答题

24．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设函数

x2x2xnfn(x)??1?x?2?2???2(x?R,n?Nn),证明:

23nn(Ⅰ)对每个n?N,存在唯一的xn?[,1],满足fn(xn)?0;

23n(Ⅱ)对任意p?N,由(Ⅰ)中xn构成的数列?xn?满足0?xn?xn?p?1.[来源:12999数学网] n

xnx2x3x4xn【答案】解: (Ⅰ) ?当x?0时，y?2是单调递增的?fn(x)??1?x?2?2?2???2是

n234nx的单调递增函数,也是n的单调递增函数. 且fn(0)??1?0,fn(1)??1?1?0.

?存在唯一xn?(0,1],满足fn(xn)?0，且1?x1?x2?x3?xn?0

x2x3x4xnx21?xn?1x21当x?(0,1).时,fn(x)??1?x?2?2?2???2??1?x????1?x??41?x41?x2222x12?0?fn(xn)??1?xn?n??(xn?2)(3xn?2)?0?xn?[,1]

41?xn3n综上,对每个n?N,存在唯一的xn?[,1],满足fn(xn)?0;(证毕)

223(Ⅱ) 由题知1?xn?xn?pxxxx?0,fn(xn)??1?xn?n2?n2?n2???n2?0

234n234n

fn?p(xn?p)??1?xn?p?减

xn?p222?xn?p323?xn?p424???xn?pn32n?xn?pn?12(n?1)4???xn?pn?p2(n?p)?0上式相

:

234nxn?pxn?pxn?pxn?pxn?pxn?pxnxnxnxnxn?2?2?2???2?xn?p?2?2?2???2????234n234n(n?1)2(n?p)22nn?1n?pxn-xn?p?（xn?p-xn2222?xn?p-xn3233?xn?p-xn4244???xn?p-xnn2nn）?（xn?pn?12(n?1)???xn?pn?p2(n?p) ）?1111???xn-xn?p?. nn?pnn法二:

25．（2013年高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)给定常数c?0,定义函数f(x)?2|x?c?4|?|x?c|,

数列a1,a2,a3,?满足an?1?f(an),n?N*.

(1)若a1??c?2,求a2及a3;(2)求证:对任意n?N*,an?1?an?c,;

(3)是否存在a1,使得a1,a2,?an,?成等差数列?若存在,求出所有这样的a1,若不存在,说明理由.

【答案】:(1)因为c?0,a1??(c?2),故a2?f(a1)?2|a1?c?4|?|a1?c|?2,

a3?f(a1)?2|a2?c?4|?|a2?c|?c?10

(2)要证明原命题,只需证明f(x)?x?c对任意x?R都成立,

f(x)?x?c?2|x?c?4|?|x?c|?x?c

即只需证明2|x?c?4|?|x?c|+x?c

若x?c?0,显然有2|x?c?4|?|x?c|+x?c=0成立;

若x?c?0,则2|x?c?4|?|x?c|+x?c?x?c?4?x?c显然成立 综上,f(x)?x?c恒成立,即对任意的n?N,an?1?an?c

(3)由(2)知,若{an}为等差数列,则公差d?c?0,故n无限增大时,总有an?0 此时,an?1?f(an)?2(an?c?4)?(an?c)?an?c?8 即d?c?8

故a2?f(a1)?2|a1?c?4|?|a1?c|?a1?c?8, 即2|a1?c?4|?|a1?c|?a1?c?8,

当a1?c?0时,等式成立,且n?2时,an?0,此时{an}为等差数列,满足题意; 若a1?c?0,则|a1?c?4|?4?a1??c?8,

此时,a2?0,a3?c?8,?,an?(n?2)(c?8)也满足题意; 综上,满足题意的a1的取值范围是[?c,??)?{?c?8}.

26．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分

*10分.

k个?????????k-1k-1k，?，（-1）k1，-2，-2,3,3,3，-4，-4，-4，-4，?，（-1）?an?：设数列,即当

（k?1）k（kk?1）k?1k?N??时,an??n?（-1）k,记Sn?a1?a2??an?n?N??,对于l?N?,定义?22?集合Pl?nSn是an的整数倍，n?N，且1?n?l

??(1)求集合P11中元素的个数; (2)求集合P2000中元素的个数.

【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析

解决问题能力及推理论证能力. (1)

解

:

由

数

列

?an?的定义

得:a1?1,a2??2,a3??2,a4?3,a5?3,a6?3,a7??4,a8??4,a9??4,a10??4,a11?5 ∴S1?1,S2??1,S3??3,S4?0,S5?3,S6?6,S7?2,S8??2,S9??6,S10??10,

S11??5

∴S1?1?a1,S4?0?a4,S5?1?a5,S6?2?a6,S11??1?a11 ∴集合P11中元素的个数为5

(2)证明:用数学归纳法先证Si(2i?1)??i(2i?1) 事实上,

① 当i?1时,Si(2i?1)?S3??1?(2?1)??3 故原式成立

② 假设当i?m时,等式成立,即Sm(2m?1)??m?(2m?1) 故原式成立 则:i?m?1,时,

S(m?1)[2(m?1)?1}?S(m?1)(2m?3}?Sm(2m?1)?(2m?1)2?(2m?2)2??m(2m?1)?(2m?1)2?(2m?2)2 ??(2m2?5m?3)??(m?1)(2m?3)

综合①②得:Si(2i?1)??i(2i?1) 于是

S(i?1)[2i?1}?Si(2i?1}?(2i?1)2??i(2i?1)?(2i?1)2?(2i?1)(i?1)

由上可知:Si(2i?1}是(2i?1)的倍数

而a(i?1)(2i?1}?j?2i?1(j?1,2,?,2i?1),所以Si(2i?1)?j?Si(2i?1)?j(2i?1)是

a(i?1)(2i?1}?j(j?1,2,?,2i?1)的倍数

又S(i?1)[2i?1}?(i?1)(2i?1)不是2i?2的倍数, 而a(i?1)(2i?1}?j??(2i?2)(j?1,2,?,2i?2)

所以S(i?1)(2i?1)?j?S(i?1)(2i?1)?j(2i?2)?(2i?1)(i?1)?j(2i?2)不是a(i?1)(2i?1}?j(j?1,2,?,2i?2)的

倍数

（2i-1）?i 故当l?i(2i?1)时,集合Pl中元素的个数为1?3???于是当l?i(2i?1)?j（时,集合Pl中元素的个数为i2?j 1?j?2i?1）2（2?31?1）?47 又2000?31?故集合P2000中元素的个数为31?47?1008 [来源:www.12999.Com]

27．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在公差为d的等差数列{an}中,

2已知a1?10,且a1,2a2?2,5a3成等比数列.

(1)求d,an; (2)若d?0,求|a1|?|a2|?|a3|???|an|.

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:

(2a2?2)2?5a1a3?4(a1?d?1)2?50(a1?2d)?(11?d)2?25(5?d)

?d?4?d??1; ?121?22d?d?125?25d?d?3d?4?0??或??an?4n?6?an?11?n22(Ⅱ)由(1)知,当d?0时,an?11?n,

①当1?n?11时,

n(10?11?n)n(21?n) an?0?|a1|?|a2|?|a3|?????|an|?a1?a2?a3?????an??22②当12?n时,

an?0?|a1|?|a2|?|a3|?????|an|?a1?a2?a3?????a11?(a12?a13?????an)11(21?11)n(21?n)n2?21n?220?2(a1?a2?a3?????a11)?(a1?a2?a3?????an)?2???222

?n(21?n),(1?n?11)?2?所以,综上所述:|a1|?|a2|?|a3|??; ???|an|??2?n?21n?220,(n?12)??228．（2013年高考湖北卷（理））已知等比数列?an?满足:

a2?a3?10,a1a2a3?125.

(I)求数列?an?的通项公式; (II)是否存在正整数m,使得

111?????1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由. a1a2am【答案】解:(I)由已知条件得:a2?5,又a2q?1?10,?q??1或3,

n?2所以数列?an?的通项或an?5?3(II)若q??1,

1111??????或0,不存在这样的正整数m; a1a2am5m1119??1??9若q?3,??????1?????,不存在这样的正整数m.

a1a2am10???3???1029．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列

?an?的前n项和为Sn,

且S4?4S2,a2n?2an?1. (Ⅰ)求数列?an?的通项公式;

(Ⅱ)设数列?bn?前n项和为Tn,且 Tn?项和Rn.

[来源:12999.Com]

【答案】解:(Ⅰ)设等差数列

an?1??(?为常数).令cn?b2n(n?N*).求数列?cn?的前nn2?an?的首项为a1,公差为d,

由

S4?4S2,a2n?2an?1得

4a1?6d?8a1?4d???a1?(2n?1)?2a1?2(n?1)d?1,

解得,

a1?1,d?2

*a?2n?1(n?N) n因此

(Ⅱ)由题意知:

Tn???n2n?1

n2n?1?n?12n?2

所以n?2时,

bn?Tn?Tn?1??故,

cn?b2n?2n?21n?1?(n?1)()*(n?N) 22n?14

11111Rn?0?()0?1?()1?2?()2?3?()3?????(n?1)?()n?144444所以, 111111Rn?0?()1?1?()2?2?()3?????(n?2)?()n?1?(n?1)?()n44444 则4

311111Rn?()1?()2?()3?????()n?1?(n?1)?()n44444 两式相减得411n?()1?44?(n?1)()n141?4

13n?1Rn?(4?n?1)94整理得

13n?1R?(4?)nn?1cn??94所以数列数列的前n项和

30．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分

16分.设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d?0),Sn是其前n项和.记bn?为实数.

*(1)若c?0,且b1，b2，b4成等比数列,证明:Snk?n2Sk(k,n?N);

nSn*,n?N,其中c2n?c(2)若{bn}是等差数列,证明:c?0.

【答案】证明:∵{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d?0),Sn是其前n项和

∴Sn?na?n(n?1)d 2(1)∵c?0 ∴bn?Snn?1?a?d n22123d)?a(a?d) 22112111∴ad?d?0 ∴d(a?d)?0 ∵d?0 ∴a?d ∴d?2a 24222n(n?1)n(n?1)d?na?2a?n2a ∴Sn?na?22∵b1，b2，b4成等比数列 ∴b2?b1b4 ∴(a?∴左边=Snk?(nk)2a?n2k2a 右边=n2Sk?n2k2a ∴左边=右边∴原式成立

(2)∵{bn}是等差数列∴设公差为d1,∴bn?b1?(n?1)d1带入bn?nSn得: n2?cb1?(n?1)d1?nSn1132?(d?d)n?(b?d?a?d)n?cdn?c(d?b)n?N ∴对恒成立 111111222n?c1?d??12d?0??b?d?a?1d?0∴?1 12??cd1?0?c(d?b)?0?11由①式得:d1?1d ∵ d?0 ∴ d1?0 2由③式得:c?0

法二:证:(1)若c?0,则an?a?(n?1)d,Sn?当b1，b2，b4成等比数列,b2?b1b4,

2n[(n?1)d?2a](n?1)d?2a,bn?.

22d?3d???2即:?a???a?a??,得:d?2ad,又d?0,故d?2a.

2?2???由此:Sn?n2a,Snk?(nk)2a?n2k2a,n2Sk?n2k2a. 故:Snk?n2Sk(k,n?N*).

2(n?1)d?2anS2(2)bn?2n?, 2n?cn?c(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2an2?c?c222 ?2n?c(n?1)d?2ac(n?1)d?2a2. (※) ??22n?cn2若{bn}是等差数列,则bn?An?Bn型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2a2c?0故有:,即,而≠0, ?022n2?c故c?0.

c经检验,当c?0时{bn}是等差数列.

31．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））等差数列

?an?的前n项

和为Sn,已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列,求?an?的通项式.

【答案】

32．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为

3的等比数列{an}不是2递减数列, 其前n项和为Sn(n?N*), 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 设Tn?Sn?【答案】

1(n?N*), 求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. Sn

33．（2013年高考江西卷（理））正项数列{an}的前项和{an}满足:sn2?(n2?n?1)sn?(n2?n)?0

(1)求数列{an}的通项公式an; (2)令bn?5n?1*,数列{b n}的前n项和为T.证明:对于任意的n?N,都有Tn?n2264(n?2)a22S?(n?n)??(n2?n?1)Sn?(n2?n)?0,得?n??(Sn?1)?0.

【答案】(1)解:由Sn由于?an?是正项数列,所以Sn?0,Sn?n2?n.

于是a1?S1?2,n?2时,an?Sn?Sn?1?n2?n?(n?1)2?(n?1)?2n. 综上,数列?an?的通项an?2n. (2)证明:由于an?2n,bn?n?1. 2(n?2)2an则bn?n?11?11?. ??22?4n2(n?2)216?n(n?2)??Tn?1?111111111? 1??????…?????222222222?16?32435(n?1)(n?1)n(n?2)?

?1?111?115. 1????(1?)?222?216?2(n?1)(n?2)16264??2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*. n3334．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设数列

?an?的前n项和为Sn.

已知a1?1,

(Ⅰ) 求a2的值;

(Ⅱ) 求数列?an?的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数n,有

【答案】.(1) 解:?

1117?????. a1a2an42Sn12?an?1?n2?n?,n?N?. n3312? 当n?1时,2a1?2S1?a2??1??a2?2

33又a1?1,?a2?4 (2)解:?

2Sn12?an?1?n2?n?,n?N?. n33n?n?1??n?2?12 ① ? 2Sn?nan?1?n3?n2?n?nan?1?333?当n?2时,2Sn?1??n?1?an??n?1?n?n?1? ②

3由① — ②,得 2Sn?2Sn?1?nan?1??n?1?an?n?n?1?

?2an?2Sn?2Sn?1

?2an?nan?1??n?1?an?n?n?1?

?an?1ana?a???1 ?数列?n?是以首项为1?1,公差为1的等差数列. n?1n1?n??an?1?1??n?1??n,?an?n2?n?2? n当n?1时,上式显然成立. ?an?n2,n?N* (3)证明:由(2)知,an?n2,n?N* ①当n?1时,

17?1?,?原不等式成立. a141117??1??,?原不等式亦成立. a1a2442②当n?2时,

③当n?3时, ?n??n?1???n?1?,?11 ?2n?n?1???n?1??1111111111 ?????2?2???2?1??????a1a2an12n1?32?4n?2?nn?1?n?1??????1?11?1?11?1?11?1?11?1?11??1??????????????????????

2?13?2?24?2?35?2?n?2n?2?n?1n?1?1?1111111111??1??????????????

2?132435n?2nn?1n?1?1?1111?71?11?7?1?????????????

2?12nn?1?42?nn?1?4?当n?3时,,?原不等式亦成立.

综上,对一切正整数n,有

1117?????. a1a2an435．（2013年高考北京卷（理））已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an?1,an?2,的最小值记为Bn,dn=An-Bn .

(I)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N,an?4?an),写出d1,d2,d3,d4的值;

*

(II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列;

(III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.

【答案】(I)d1?d2?1,d3?d4?3.

(II)(充分性)因为?an?是公差为d的等差数列,且d?0,所以a1?a2???an??. 因此An?an,Bn?an?1,dn?an?an?1??d(n?1,2,3,?). (必要性)因为dn??d?0(n?1,2,3,?),所以An?Bn?dn?Bn. 又因为an?An,an?1?Bn,所以an?an?1. 于是An?an,Bn?an?1. 因此an?1?an?Bn?An??dn?d,即?an?是公差为d的等差数列.

(III)因为a1?2,d1?1,所以A1?a1?2,B1?A1?d1?1.故对任意n?1,an?B1?1. 假设?an?(n?2)中存在大于2的项.

设m为满足an?2的最小正整数,则m?2,并且对任意1?k?m,ak?2,. 又因为a1?2,所以Am?1?2,且Am?am?2.

于是Bm?Am?dm?2?1?1,Bm?1?min?am,Bm??2. 故dm?1?Am?1?Bm?1?2?2?0,与dm?1?1矛盾.

所以对于任意n?1,有an?2,即非负整数列?an?的各项只能为1或2. 因此对任意n?1,an?2?a1,所以An?2. 故Bn?An?dn?2?1?1. 因此对于任意正整数n,存在m满足m?n,且am?1,即数列?an?有无穷多项为1.

36．（2013年高考陕西卷（理））

设{an}是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 导{an}的前n项和公式;

【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论.

(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列{an?1}不是等比数列.

{an}是首项为a1的常数数列，所以Sn?a1?a1???a1?na1. ①当q?1时，数列②当q?1时，Sn?a1?a2???an?1?an?qSn?qa1?qa2???qan?1?qan.

（1-q)Sn?a1?(a2?qa1)?(a3?qa2)??(an?qan?1)?qan?a1?qan. 上面两式错位相减:

a1?qana1(1?qn)?Sn??..

1-q1-q?na1,?③综上,Sn??a1(1?qn)?1?q,?(Ⅱ) 使用反证法.

(q?1)(q?1)

设{an}是公比q≠1的等比数列, 假设数列{an?1}是等比数列.则 ①当?n?N*，使得an?1=0成立,则{an?1}不是等比数列.

na?1aq?1?1n?1?恒为常数 ②当?n?N*，使得an?1?0成立,则n?1an?1a1q?1?a1qn?1?a1qn?1?1?当a1?0时,q?1.这与题目条件q≠1矛盾.

③综上两种情况,假设数列{an?1}是等比数列均不成立,所以当q≠1时, 数列{an?1}不是等比数列.

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