万喜人老师的几个平面几何问题

万喜人老师的几个平面几何问题

潘成华

万喜人老师提出了几个关于三角形内切圆的几个问题，笔者在这里做出解答如下

引理

已知 三角形ABC内切圆切BC于D,切AB,AC分别于H,I,点E在AD上，线段BE,CE分别交圆于F,G,AD交三角形ABC内切圆于令一点J

求证：线段AD,CF,BG共点，过J的切线，直线HI,FG,BC交于一点

证明 设BC交过J点的切线于K,则HI必过K,易知D,K调和分割BC

A因为B,C,D,K是调和点列，设CF交AD于L, 因此EB,EC,ED,EK是调和线束，设BL交FK 于S,根据调和性质,点S在EC上， AD是点K极线,因此S点在圆上， 所以S,G重合，因此结论得证

图1

问题1：已知：如图，△ABC的内切圆I与边BC,CA,AB分别切于D,E,F。联AD，

FHJEIG（S)KLBDC在AD上有两点M,N,CN,BN分别交圆I于G,H,直线FM,EM分别交圆I于L,Q,过L,Q作圆I切线交BC于R,S联GR、HS,求证：RH,GS交点在AD上

ANEGLRYIFMQDSX HC BP Z图2 证明：根据引理得：EF,GH,CB共点，设为P,M在P的极线AD上，于是直线LQ必过P 根据Desargues定理：在三角形GLR,HQS中，设GL,HQ交点Z,GR,HS交点Y, LR,QS交点

X,则X,Y,Z共线，

根据Maclaurin定理，圆内接四边形ELQF,点A,M,X,D共线，圆内接四边形GLQH, GQ,LH的交点（必在AD上），X,Z共线，且这条直线就是点P的极线是AD， X,Z,必在点P极线AD上，GY，YH,YN,YP是调和线束， 因此RH,GS,交点在AD上

问题2：已知：如图，△ABC的内切圆I与边BC,CA,AB分别切于D,E,F。联AD，

在AD上有两点M,N,CN,BN分别交圆I于G,H,直线FM,EM分别交圆I于L,Q,连接EL,FQ交BC于R,S联HR、GS,求证：RH,GS,交点在AD上

AEGLINMQSFHBP

RD C证明 设EF,BC交于P, X AD是P的极线，根据引理 ：LH必过P,于是LQ必过P,直线GQ, RH交点 在AD上，所以GL,HQ交点设为X,点X在AD上，根据Desargues定理： Y 在三角形GLR,HQS中，GL,HS交点X,GR,HS交点设为Y, LR,QS交点设为Z, 则X,Y,Z共线，也就是直线AD,在三角形YGH中根据完全四边形性质RH,GS, 交点在AD上

图3

Z问题3：已知：如图，△ABC的内切圆I与边BC,CA,AB分别切于D,E,F。联AD，

在AD上有两点M,N,CN,BN分别交圆I于G,H,直线FM,EM分别交圆I于L,Q,K是AD上一点，连接KL,KQ交BC于R,S联HR、GS,求证：RH,GS交点在AD

A上

证明 设直线EF,BC交于P,则 K LQ必过P,设直线GL,HQ交于Y,GR,HS交于X,有上题可知K,Y,X共线,， 根据完全四边形性质，RH,GS交点在AD上

ENILMDYQSFHBPGCRX图4

问题4：已知：如图，△ABC的内切圆I与边BC,CA,AB分别切于D,E,F。联AD，

在AD上有两点M,N,CN,BN分别交圆I于G,H,直线FM,EM分别交圆I于L,Q,连接AG,AH交BC于R,S联QR、LS,求证：RQ,LS交点在AD上

证明 证法与前面差不多 AEGLRINMXDY图5

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