2005—2008年江苏专转本高数真题（打印版）

A、2??(cosxsiny)dxdy B、2??xydxdyD1D1

2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.）

C、4??(xy?cosxsiny)dxdy D、0

D15、设u(x,y)?arctan，v(x,y)?lnxyx2?y2，则下列等式成立的是A

1、x?0是f(x)?xsin1的 A xA、

?u?v? ?x?yB、

?u?v?u?v?u?v??? C、 D、 ?x?x?y?x?y?yA、可去间断点 B、跳跃间断点 C、第二类间断点 D、连续点

6、正项级数(1)

12、若x?2是函数y?x?ln(?ax)的可导极值点，则常数a?C

211A、?1 B、 C、? D、1

223、若

?un?1?n、(2)

?un?1?3n，则下列说法正确的是C

A、若（1）发散、则（2）必发散 B、若（2）收敛、则（1）必收敛 C、若（1）发散、则（2）不定 D、若（1）、（2）敛散性相同

?f(x)dx?F(x)?C，则?sinxf(cosx)dx?D

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

A、F(sinx)?C B、?F(sinx)?C C、F(cos)?C D、?F(cosx)?C 4、设区域D是xoy平面上以点A(1,1)、B(?1,1)、C(?1,?1)为顶点的三角形区域，区

域

7、

limx?0ex?e?x?2x? 2 ；

x?sinxD1是

D

在第一象限的部分，则

：8、函数f(x)?lnx在区间?1,e?上满足拉格郎日中值定理的?? e-1 ；

9、

??(xy?cosxsiny)dxdy?D

?1?x?11?x2?1? π/2 ；

A

10、设向量5 ；

1

???3,4,?2?、???2,1,k?；?、?互相垂直，则k?

11

1、交

y?1换二次积分的次序

?dx??101?x2x?1f(x,y)dy? 18、求过点A(3,1,?2)且通过直线L:

x?4y?3z??的平面方程. 521?dy?f(x,y)dx ；

0?1?y2x219、把函数f(x)?展开为x的幂级数，并写出它的收敛区间.

2?x?x220、求微分方程xy'?y?ex?0满足yx?1?e的特解.

12、幂级数

?(2n?1)xn?1?n的收敛区间为 (-1,1) ；

三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）

四、证明题（本题8分）

321、证明方程：x?3x?1?0在??1,1?上有且仅有一根. ?f(x)?2sinxx?0?13、设函数F(x)?? 在R内连续，并满足：f(0)?0、xx?0?a?五、综合题（本大题共4小题，每小题10分，满分30分）

22、设函数y?f(x)的图形上有一拐点P(2,4)，在拐点处的切线斜率为?3，

f'(0)?6，求a.

x?cost?dyd2y14、设函数y?y(x)由方程?所确定，求、. 2dxdx?y?sint?tcost315、计算tanxsecxdx.

''又知该函数的二阶导数y?6x?a，求f(x).

?

16、计算

?arctanxdx

01223、已知曲边三角形由y?2x、x?0、y?1所围成，求：

2?z?2z、曲边三角形的面积； 17、已知函数z?f(sinx,y)，其中f(u,v)有二阶连续偏导数，求、 （1）?x?x?y（2）、曲边三角形饶X轴旋转一周的旋转体体积.

2

24、设f(x)为连续函数，且f(2)?1，F(u)??uu1dy?yf(x)dx，(u?1)

（1）、交换F(u)的积分次序； （2）、求F'(2).

3

??2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学参考答案

1、A 2、C 3、D 4、B 5、A 6、C

1y?1?7、2 8、e?1 9、 10、5 11、?dy?f(x,y)dx 12、(?1,1)

0?1?y2213、因为F(x)在x?0处连续，所以limF(x)?F(0)，

x?01?ln2 42?z?2z'''''?cosx?f1，17、 ?cosx(f12?2y)?2ycosxf12?x?x?y18、l??5,2,1?，B??4,?3,0?，AB??1,?4,2?

ij2k1??8,?9,?22?

??l?AB?51?42平面点法式方程为：

limx?0F(x)?limx?0f(x)?2sinxf(x)?f(0)?lim?2?f'(0)?2?6?2?8xxx?08(x?3)?9(y?1)?22(z?2)?0，即8x?9y?22z?59.

F(0)?a，故a?8.

dydydtcost?cost?tsintd2y(y')t'?114、????t，2?'??csct.

dxdx?sint?sintdxxtdt15、原式

x211x21x21(?)????19、f(x)?

x32?x1?x631?x1?2x2?3'?(?1)n?n??n?1?1?x，收敛域为?1?x?1. n?0?2??1??(secx?1)dsecx??secxdsecx?secx?sec3x?secx?C.

3221ex20、y??y?，通解为

xx

11xxdx?eCe?xdx????exdx?C??? y?e?x?xx???x?11d(1?x2)16、原式?xarctanx?? dx???01?x20421?x2101??4?1ln(1?x2)10 24

ex因为y(1)?e，e?e?C，所以C?0，故特解为y?.

x（1）F(u)???Df(x)d???dx?f(x)dy??(x?1)f(x)dx；

111uxu21、证明：令f(x)?x3?3x?1，x???1,1?，且f(?1)?3?0，f(1)??1?0，（2）F'(u)?(u?1)f(u)，F'(2)?(2?1)f(2)?f(2)?1.

f(?1)?f(1)?0，

由连续函数零点定理知，f(x)在(?1,1)上至少有一实根. （提醒：本题亦可用反证法证明）

22、设所求函数为y?f(x)，则有f(2)?4，f'(2)??3，f''(2)?0. 由y''?6x?a，y''(2)?0得a??12，即y''?6x?12.

因为y''?6x?12，故y'?3x2?12x?C'1，由y(2)??3，解得C1?9. 故y?x3?6x2?9x?C2，由y(2)?4，解得C2?2. 所求函数为：y?x3?6x2?9x?2. 23、（1）S??11y2dy?131026y0?16 11（2）Vx???22)dx??(x?x20(1?2x)2??

0424、解：积分区域D为：1?y?u，y?x?u

2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学参考答案

1、C 2、B 3、C 4、C 5、C 6、A

7、2 8、f(x0) 9、?1 10、1 11、exy(ysinx?cosx) 12、1

14x?313、原式?lim32x?11?1?

22x31dydyy'1?214、ttd2y()'11?dx?x'?1?tt2t?2，dx2t2dx2?x'?2t?4t 1?t2t1?t2315、原式??1?lnxd(1?lnx)?23(1?lnx)2?C

???16、原式??2220xdsinx?xsinx?2?02?2?20xsinxdx?4?2?20xdcosx5

??24???2xcosx20?2?cosxdx?20?24?2

21、令f(x)?3x?x3，x???2,2?，f'(x)?3?3x2?0，x??1，

17、方程变形为y'?yy?y????，令p?则y'?p?xp'，代入得：xp'??p2，故?2?f(x)?2，即3x?x3?2.

2f(?1)??2，f(1)?2，f(2)??2，f(?2)?2；所以fmin??2，fmax?2，

x?x?x分离变量得：

??111xp2dp??xdx，故p?lnx?C，y?lnx?C. 18、令g(x)?ln(1?x)，g(0)?0，g'?(x)??(?1)nxn?dx?(?1)nn?2n?0?x，n?0n?1?n故f(x)??(?1)?1xn?2，?1?x?1.

n?0nijk19、n1?1,?1,1?、n2?4,?3,1?，l?n1?n2?3?11?2i?3j?k

4?31直线方程为

x?3y?1z?2?3?21. 20、?z?y?x2f'2， ?2z?2xf'f''''''''2?x2(21?2x?f22?y)?2xf'2?2x3f2?y?x21?xyf22. 22、y'?2x?y，y(0)?0

通解为y?(?2x?2)?Cex，由y(0)?0得C?2，故y??2x?2?2ex.

23、（1）S??22264?2(8?x?x)dx?3 （2）V???480(y)2dy???4(8?y)2dy?16?

24、

??f(x)dxdy??tdx?t00f(x)dy?tD?t0f(x)dx

tg(t)??????t0f(x)t?0

?at?0（1）limtt?0g(t)?limt?0?0f(x)dx?0，由g(t)的连续性可知

a?g(0)?limt?0g(t)?0 （2）当t?0时，g'(t)?f(t)，

h当t?0时，g'(0)?limg(h)?g(0)h?0h?lim?0f(x)dxh?0h?limh?0f(h)?f(0) 综上，g'(t)?f(t).

6

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高等数学

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.）

f(x1、若lim2)x?0x?12，则limxx?0? f(x3)A、12 B、2 C、3 D、13

?2、函数f(x)???x2sin1x?0在x?0处

?0x?x?0A、连续但不可导 B、连续且可导 C、不连续也不可导 D、可导但不连续 3、下列函数在??1,1?上满足罗尔定理条件的是

A、y?ex B、y?1?x C、y?1?x2 D、y?1?1x 4、已知?f(x)dx?e2x?C，则?f'(?x)dx?

A、2e?2x?C B、12e?2x?C C、?2e?2x?C D、?12e?2x?C

?5、设

?un为正项级数，如下说法正确的是

n?1 ?A、如果limn?0un?0，则

?un必收敛

n?1B、如果limun?1?n??u?l(0?l??)，则n?un必收敛

n?1????C、如果

?un，则

u2n必定收敛 D、如果

n?1?n?1?(?1)nun，则n?1?un必定收敛

n?16、设对一切x有f(?x,y)??f(x,y)，D?{(x,y)|x2?y2?1,y?0}，

D1?{(x,y)|x2?y2?1,x?0,y?0}，则??f(x,y)dxdy?

DA、0 B、

??f(x,y)dxdy C、2??f(x,y)dxdy D、4D??f(x,y)dxdy

D11D1二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

7、已知x?0时，a(1?cosx)与xsinx是等级无穷小，则a? 8、若limx?xf(x)?A，且f(x)在x?x0处有定义，则当A? 时，f(x)0在x?x0处连续.

9、设f(x)在?0,1?上有连续的导数且f(1)?2，?10f(x)dx?3，则

?1'0xf(x)dx? 10、设a?1，a?b，则a?(a?b)?

7

11、设u?esinx，12、

xy321、证明：当x?2时，3x?x?2. D . 其中为以点、、为顶点的三O(0,0)A(1,0)B(0,2)dxdy????u? ?x四、证明题（本题满分8分）.

D角形区域.

五、综合题（本大题共3小题，每小题10分，满分30分）

三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）

322、已知曲线y?f(x)过原点且在点(x,y)处的切线斜率等于2x?y，求此曲线方程.

13、计算limx?1x?1x?1.

?x?ln(1?t2)dyd2y14、若函数y?y(x)是由参数方程?所确定，求、. 2dxdx?y?t?arctant15、计算

23、已知一平面图形由抛物线y?x2、y??x2?8围成. （1）求此平面图形的面积；

（2）求此平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积.

??1?lnxdx. xx2cosxdx.

2'216、计算

?2017、求微分方程xy?xy?y的通解.

?1f(x)dxdyt?0?24、设g(t)??t??，其中Dt是由x?t、y?t以及坐标轴围Dt?at?0?成的正方形区域，函数f(x)连续. （1）求a的值使得g(t)连续； （2）求g(t).

'1?x)展开为x的幂函数（要求指出收敛区间）. 18、将函数f(x)?ln(19、求过点M(3,1,?2)且与二平面x?y?z?7?0、4x?3y?z?6?0都平行的直线方程.

220、设z?xf(x,xy)其中f(u,v)的二阶偏导数存在，求

?z?z、. ?y?y?x8

2

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高等数学

???2n1?(?1)n(?1)nnA、?2 B、? C、? D、?

nn?1nn?1nn?1n?1n?1?二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.）

1?x?7、设函数f(x)??(1?kx)?2?f(2x)1?2，则limxf()? 1、若limx?0x??x2x11A、 B、 C、2 D、4

42n2、已知当x?0时，x2ln(而sinx又是1?cosx1?x2)是sinnx的高阶无穷小，

x?0，在点x?0处连续，则常数k?

x?08、若直线y?5x?m是曲线y?x2?3x?2的一条切线，则常数m? 9、定积分

?2?24?x2(1?xcos3x)dx的值为

?的高阶无穷小，则正整数n?

A、1 B、2 C、3 D、4

3、设函数f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3)，则方程f(x)?0的实根个数为 A、1 B、2 C、3 D、4 4、设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则A、cos4x?C B、5、设f(x)?4??110、已知a，b均为单位向量，且a?b?，则以向量a?b为邻边的平行四边

2???'形的面积为 11、设z?x，则全微分dz? y2x?f'(2x)dx?

12、设y?C1e?C2e3x为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分

1cos4x?C C、2cos4x?C D、sin4x?C 2方程为

?x21sint2dt，则f'(x)?

224三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）

A、sinx B、2xsinx C、2xcosx D、2xsinx 6、下列级数收敛的是

9

13、求极限limex?x?1x?0xtanx.

214、设函数y?y(x)由方程ex?ey?xy确定，求dydydxx?0、dx2x?0.

15、求不定积分?x2e?xdx.

16、计算定积分

?11?x22x2dx. 2z?f(2x?3y,xy)其中f具有二阶连续偏导数，求?217、设z?x?y.

18、求微分方程xy'?y?2007x2满足初始条件yx?1?2008的特解.

19、求过点(1,2,3)且垂直于直线??x?y?z?2?0的平面方程.

?2x?y?z?1?0

20、计算二重积分??x2?y2dxdy，其中D??(x,y)|x2?y2?2x,y?0?.

D

四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、设平面图形由曲线y?1?x2（x?0）及两坐标轴围成.

（1）求该平面图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积；

（2）求常数a的值，使直线y?a将该平面图形分成面积相等的两部分.

22、设函数f(x)?ax3?bx2?cx?9具有如下性质：

（1）在点x??1的左侧临近单调减少； （2）在点x??1的右侧临近单调增加； （3）其图形在点(1,2)的两侧凹凸性发生改变. 试确定a，b，c的值.

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）

23、设b?a?0，证明：?bdy?bf(x)e2x?ydx??b(e3x?e2x?aaya)f(x)dx.

24、求证：当x?0时，(x2?1)lnx?(x?1)2.

10

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高等数学参考答案

1、B 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、ln2 8、1 9、2? 10、

16、解：令x?sint，则

?12221?x2cost?2dx?dt?1?. ??4sin2t4x2??z?2z''''''''''?2f1?yf2，17、解：?2(f11?3?f12?x)?f2'?y(f21?3?f22?x) ?x?x?y''''''?6f11?(2x?3y)f12?xyf22?f2'

3 218、解：原方程可化为y?'11?y?2007x，相应的齐次方程y'??y?0的通xx11、

1xdx?2dy12、y''?5y'?6y?0 yy解为y?Cx.可设原方程的通解为y?C(x)x.将其代入方程得

ex?x?1ex?x?1ex?1ex1?lim?lim?lim?. 13、解：lim2x?0xtanxx?0x?0x?022x2x14、解：方程ex?ey?xy，两边对x求导数得ex?ey?y'?y?xy'，故

C'(x)x?C(x)?C(x)?2007x，所以C'(x)?2007，从而

C(x)?2007x?C，故原方程的通解为y?(2007x?C)x. 又y(1)?2008，

所以C?1，于是所求特解为y?(2007x?1)x.

（本题有多种解法，大家不妨尝试一下）

dyex?y?y'?y. dxe?x19、解：由题意，所求平面的法向量可取为

?dyd2y又当x?0时，y?0，故?1、2??2.

dxx?0dxx?015、解：

2?x2?x2?x?x2?x?xxedx??xd(e)??xe?2xedx??xe?2xd(e) ????ij1k1?(2,1,?3).

n?(1,1,1)?(2,?1,1)?12?11故所求平面方程为

2(x?1)?(y?2)?3(x?3)?0，即

??x2e?x?2xe?x?2e?x?C.

11

2x?y?3z?5?0.

20、解：

?于是，当0?x?1时，F(x)?F(1)?0，即lnx?2cos???Dx2?y2dxdy????2d?d???2d??D01220816?2d???2cos3?d??.

309?x?12，又x?1?0，故x?1(x2?1)lnx?(x?1)2；

当x?1时，F(x)?F(1)?0，即lnx?8?21、解：（1）V???(1?x)dx?；

015（2）由题意得

x?12，又x?1?0，故x?1?a0(1?y)dy??(1?y)dy. 由此得(1?a)?1??(1?a). 解

a121123232(x2?1)lnx?(x?1)2.

综上所述，当x?0时，总有(x2?1)lnx?(x?1)2.

得a?1?().

22、解：f(x)?3ax?2bx?c，f(x)?6ax?2b.

'2''1413

由题意得f'(?1)?0、f''(1)?0、f(1)?2，解得a??1、b?3、c?9

?a?y?b?a?x?b23、证明：积分域D：?，积分域又可表示成D：?

y?x?ba?y?x??

bbbxbx dyf(x)e2x?ydx?dxf(x)e2x?ydy?f(x)e2xdxe2ydy ayaaaa

bb ?f(x)e2x(ex?ea)dx?(e3x?e2x?a)f(x)dx. aa x?1

24、证明：令F(x)?lnx?，显然，F(x)在?0,???上连续. 由于

x?1

x2?1'F(x)??0，故F(x)在?0,???上单调递增， 2????????x(x?1) 12

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高等数学

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、设函数f(x)在(??,??)上有定义，下列函数中必为奇函数的是 A、y??f(x) B、y?x3f(x4) C、y??f(?x)

D、y?f(x)?f(?x)

2、设函数f(x)可导，则下列式子中正确的是

A、

limf(0)?f(x)f(x0?2x)?fx?0x??f'(0) B、lim(x)x?0x?f'(x0)

C、

limf(x0??x)?f(x0??x)?x?f'(x0)

?x?0D、

limf(x0??x)?f(x0??x)?x?0?x?2f'(x0)

3、设函数f(x)??122xtsintdt，则f'(x)等于

A、4x2sin2x B、8x2sin2x C、?4x2sin2x D、?8x2sin2x

????4、设向量a?(1,2,3)，b?(3,2,4)，则a?b等于

A、（2，5，4） B、（2，－5，－4） C、（2，5，－4） D、（－2，－5，4）

5、函数z?lnyx在点（2，2）处的全微分dz为 A、?12dx?12dy B、1111112dx?2dy C、2dx?2dy D、?2dx?2dy

6、微分方程y''?3y'?2y?1的通解为 A、y?c2x11e?x?c2e?2x?1 B、y?cx1e??c2e??2 C、y?c1ex?c2e?2x?1

D、y?cx?2x1e?c2e?12 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

7、设函数f(x)?x2?1x(x?1)，则其第一类间断点为 . a?x,x?0,8、设函数f(x)??tan3x在点x?0处连续，则a＝ x,x?0, . 9、已知曲线y?2x3?3x2?4x?5，则其拐点为 . 10、设函数f(x)的导数为cosx，且f(0)?12，则不定积分?f(x)dx＝ .

13

11、定积分

2?sinx??11?x2dx的值为 .

120、求微分方程xy,?2y?x2的通解.

xn12、幂函数?的收敛域为 . nn?2n?1?四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、求曲线y?三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限：lim(x??1(x?0)的切线，使其在两坐标轴上的截距之和最小，并求此xx?23x) x最小值.

14、设函数y?y(x)由参数方程??x?t?sint,dydy,2 求t?2n?,n?Z所决定，

dxdx?y?1?cost,222、设平面图形由曲线y?x2，y?2x2与直线x?1所围成.

15、求不定积分：

1x?x?1dx.

x3（1）求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.

（2）求常数a，使直线x?a将该平面图形分成面积相等的两部分.

16、求定积分：

?e0dx.

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）

17、设平面?经过点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，5），求经过点P（1，2，1）且与平面?垂直的直线方程.

23、设函数f(x)在闭区间?0,2a?(a?0)上连续，且f(0)?f(2a)?f(a)，证明：在开区间(0,a)上至少存在一点?，使得f(?)?f(??a).

y?2z18、设函数z?f(x?y,)，其中f(x)具有二阶连续偏导数，求.

x?x?y19、计算二重积分

2??xdxdy，其中D是由曲线y?D1，直线y?x,x?2及y?0x24、对任意实数x，证明不等式：(1?x)e?1.

x所围成的平面区域.

14

2008年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学参考答案

1—6 B、A、D、C、A、B 7、0 8、3 9、（2，17）

10、?cosx?12x?c 11、? 12、??2.2?

x13、limx?2)3x2?6x??(x?limx??(1?2x)3x?lim2，令x??(1?x)y??x2，那么 limx?2x??(x)3x?lim?(1?11y)?y?6x??e6.

14、y‘(t)?sint，x’(t)?1?cost，y‘’(t)?cost，x‘’(t)?sint.

dyy’(t)sint2，，，，‘’dx?dyy(t)x?(t)?y(t)x(t)?1x，(t)?1?cost，dx2?x‘(t)?3?(1?cost)2.

15、?x3x3x?1dx???1x?1dx??d(x?1)x?1dx??(x2?x?1)dx?lnx?1?Cx3x2?3?2?x?lnx?1?C. 16

1111111?1x21x22211x222111x222x21111x220edx??0ed(x)?2?0e?xdx?2?0ede?2(xe0??0edx)11＝2e?2?1x1220edx?2e?2ex210?2e?2e?2?2.

?，?17、由题意得：AB?(－23，0)，AC?(?2,0,5)，那么法向量为 ?n?AB?AC???30－2－2?2?2????(15,10,6).?05，－05，30? ??zy218、，?x?f‘1?xf，2.?z?x?y?f，11＋12f，，y‘’1’212－x2(f21?xf‘22) ＝f，，?1xf‘’y’y‘’12－x2f‘21?x3f22 19、

??2?1x1xdxdy22x2D?0dx?0xdy??1dx?0xdy ??1320xdx???x41?x221xdx4021?14?32?74 20、积分因子为?(x)?e??2xdx?elnx?2?1x2. 化简原方程xy，?2y?x2为

dydx?2yx?x. 15

在方程两边同乘以积分因子

1dy2y1??. ，得到23xx2xdxx3?x522、（1）V???(4x?x)dx?0514410?3?. 5d(x?2y)1d(x?2y)1?.等式两边积分得到通解???dx. 化简得：

dxxdxx故通解为y?x2lnx?x2C

（2）由题意得到等式：化简得：

?a0(2x?x)dx??(2x2?x2)dx

a221?a0x2dx??x2dx.

a11131?1a?a?. 解出a，得到：，故21、令F(x,y)??y，那么x和y的偏导分别为Fx(x0,y0)?2，12xx023Fy(x0,y0)??1.

所以过曲线上任一点(x0,y0)的切线方程为：

23、令g(x)?f(x?a)?f(x)，那么g(a)?f(2a)?f(a)，

x?x0y?y0??0. 21x0g(0)?f(a)?f(0).

由于g(a)g(0)?0，并且g(x)在?0，a?上连续.

故存在??(0，a)，使得g(?)?0，即f(?)?f(??a).

x24、将e用泰勒公式展开得到：e?1?x当X＝0时，y轴上的截距为y?1?y0. x02当y＝0时，x轴上的截距为x?x0y0?x0.

11x?x2???? 1!2!12令F(x0,y0)??y0?x0y0?x0，那么即是求F(x0,y0)的最小值.

x0111而F(x0,y0)??x0??x0?2(?x0)?4，故当x0?y0?1时，

x0x0x0取到最小值4.

代入不等式左边：

(1?x)ex?(1?x)(1?

1111x?x2????)?1?x2?x3?????1 1!2!23 16

在方程两边同乘以积分因子

1dy2y1??. ，得到23xx2xdxx3?x522、（1）V???(4x?x)dx?0514410?3?. 5d(x?2y)1d(x?2y)1?.等式两边积分得到通解???dx. 化简得：

dxxdxx故通解为y?x2lnx?x2C

（2）由题意得到等式：化简得：

?a0(2x?x)dx??(2x2?x2)dx

a221?a0x2dx??x2dx.

a11131?1a?a?. 解出a，得到：，故21、令F(x,y)??y，那么x和y的偏导分别为Fx(x0,y0)?2，12xx023Fy(x0,y0)??1.

所以过曲线上任一点(x0,y0)的切线方程为：

23、令g(x)?f(x?a)?f(x)，那么g(a)?f(2a)?f(a)，

x?x0y?y0??0. 21x0g(0)?f(a)?f(0).

由于g(a)g(0)?0，并且g(x)在?0，a?上连续.

故存在??(0，a)，使得g(?)?0，即f(?)?f(??a).

x24、将e用泰勒公式展开得到：e?1?x当X＝0时，y轴上的截距为y?1?y0. x02当y＝0时，x轴上的截距为x?x0y0?x0.

11x?x2???? 1!2!12令F(x0,y0)??y0?x0y0?x0，那么即是求F(x0,y0)的最小值.

x0111而F(x0,y0)??x0??x0?2(?x0)?4，故当x0?y0?1时，

x0x0x0取到最小值4.

代入不等式左边：

(1?x)ex?(1?x)(1?

1111x?x2????)?1?x2?x3?????1 1!2!23 16

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