相似三角形导学案

3.1.1 比例的基本性质

【学习目标】：

1. 理解比例的基本性质，并会进行简单变形.

3. 通过现实情境，培养应用意识，了解数学、自然、社会的密切联系. 【体验学习】：

一、新知探究

请认真阅读教材第62-63页的内容，回答下列问题 1. 比例的基本性质是什么？

2．通过研究教材62-63页，试探究：如何由

二、基础演练

根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1.若b,c,d,a成比例，则这个比例式为（ ） A.

acaba?bc?d?，得到?和＝？ bdcdbdacbdabba? B.? C.? D.? bdcacddcxmnyx2. 若?，则? ，? ，? . ynyxm3. 当比例式为2:x?5:9，则x?__________. 4. 已知四个数a,b,c,d成比例， 若a??3,b?9,c?4,求d； 若a??3,b?3,c?5,求d.

学法指导：成比例是有顺序的哦！ a?bb?ab3? ，? . ? ，则aaa2a?b8a?b2ab?，则? ；若?，则? . 6. 若b3b5ba5. 已知

三、综合提升

先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：

1

1. 若

2a?b?cabc??(a?0)，求的值.

c345学法指导：设abc???k，则a,b,c345都可以用k来表示.然后再把他们代入代数式中. 2. 已知

xyz??,且2x?3y?z?18,求x,y,z的值. 234

【当堂检测】：

1. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一颗大树的影长为4.8米，则树的高度为 .

94.5，则x=________. ?x1.2a?b1b?，则的值为（ ） 3．已知a4a143A. B. C. D.4 4342. 解比例：若

【学后反思】：

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【拓展链接】：

什么是黄金三角形

所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值；对应的还有：黄金矩形之类，正是因为其腰与边的比约为0.618而获得了此名称.

2

黄金三角形分为两种：

①是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°；这种三角形既美观又标准.这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：

5-1. 2 ②是等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：

【课后精练】：

5-1. 211:能组成比例的是（ ） 4511111111A.: B.: C.： D.： 54108810851. 与2. 解比例：

（1）2:4?x:2； （2） （3）

30.6 ?9x111:?x: 258x?y? ya?b4a?b2ab?，则? ；若?，则? . 4. 若b3b3baabc2a?b?c5. 已知??，求代数式的值.

345a?b?c3. 已知2x?5y?0，则x︰y＝ ，

3

3.1.2成比例线段

【学习目标】：

1. 结合现实情境了解线段比与成比例线段的概念，并利用其解决一些简单的问题. 2. 理解黄金分割的定义，并学会将黄金分割比例的美运用到生活中.

3. 经历探索成比例线段的过程，培养应用意识，了解数学、自然、社会的密切联系. 【体验学习】：

一、新知探究

请认真阅读教材第64-66页的内容，回答下列问题

1. 什么叫作线段的比？若线段AB?5cm,线段CD?10cm，则AB与CD的长度比

为 ，记作

AB? ；若线段AB?5cm,线段CD?10dm，则线段CDAB? . CD2．什么是成比例线段？

学法指导：若线段a,b,c,d满足 成比例线段，反之也成立.若线段a:b?b:c,则b为a,c的 比例中项。

3. 线段a，b，c，d成比例线段与线段a，c，d，b成比例线段是否一样？ 比的.

二、基础演练

根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：

1. 等腰三角形两腰的比是________；等腰直角三角形的腰与底边的比是_______.

2. 在比例尺为1∶400000地图上，量得甲、乙两地的距离为15厘米，甲、 乙两地的实际距离为 米.

3.已知点P在线段AB上，且AP∶PB?2∶5，则AB∶PB?_______，AP∶AB?_ ___.

4. 判断下列各组线段是否成比例.

学法指导：成比例线段是有顺序的哦！ ac?，则线段a,b,c,dbd6. 仔细阅读教材65-66页，分析什么是黄金分割？ 并体会如何用方程的思想求出黄金分割

6cm，6cm，2cm (2)2cm，4cm，4cm，8cm (3) 1.1cm，2.2cm，3.3cm，6.6cm (1)4cm，

4

5. 已知AB?10cm，点P和Q是AB的两个黄金分割点，则PQ＝ cm. 学法指导：一条线段有两个黄金分割点.可否利用 黄金分割比来求线段的长度？

三、综合提升

先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 6.如图，在?ABC中，AB?6cm,AD?4cm,AC?5cm,，并且（1）求AE的长.

AADAE?. ABACADAE?（2）等式成立吗？请说明理由. BDEC

BDEC 7. 从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金分割比时，可以给人一种协调的美感，

某女老师上身长约为65cm，下身长约95.00cm，她要穿多高的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果？（精确到0.01cm）

学法指导：女老师穿上鞋后，上、 下身长有什么变化吗？

【当堂检测】： 1.如图所示求线段比

2.指出上题中成比例的线段.

5

ACACCDACCD、、、、； CDDBADCBCBA1cm 2cm 4cm CDB

3. 已知线段AB?6cm，点C为AB的黄金分割点（AC?BC），求AC,BC的长及

【学后反思】：

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

【拓展链接】：

黄金分割

黄金分割律，由公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割.黄金分割在未发现之前，在客观世界中就存在，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识.当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现，在自然界的许多优美的事物中度都能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星……许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比关系.

【课后精练】：

1. 直角三角形斜边上的中线与斜边的比是________.

2.延长线段AB到C，使BC?2AB，那么AC∶AB?__ _____.

3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）

A．4cm，2cm，1cm，3cm B．1cm，2cm，3cm，4cm C．1cm，2cm，20cm，40cm D．5cm，10cm，15cm，20cm 4.如图，已知

AC . ABADAE? ，AD?6.4cm，DB?4.8cm，EC?4.2cm，求AC的长. DBEC

5. 已知一个等腰三角形，其底和腰的比为黄金比值时，这样的三角形就是黄金三角形.如图，

?ABC是黄金三角形，?A?36?，AB?AC，作?ACB的角平分线CD交AB于D点，证明：?BCD是黄金三角形.

6

ADBC

3.2平行线分线段成比例

【学习目标】：

1. 理解平行线分线段成比例定理及推论.

2. 学会灵活运用平行线分线段成比例定理及推论，从而求解几何图形中的线段. 【体验学习】：

一、新知探究

请认真阅读教材第68-71页的内容，回答下列问题 1. 平行线分线段成比例定理及推论是什么？

2．通过阅读教材68-70页的“观察”，用形象的语言简述“定理”.

3．通过阅读教材70页的“动脑筋”，用形象的语言简述“推论”.

二、基础演练

根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：

1. 如图1，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，

AC?4，CE?6，BD?3，则DF等于（ ）

A. 4 B. 4.5 C. 8 D. 8.5

2. 如图2，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）

ADBCBCDF?? B. DFCECEADCDBCCDAD??C. D. EFBEEFAFBC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3；4，AE=6，3. 如图3，在?AA.

则AC等于_________.

7

4. 如图4，已知BD∥CE，则下列等式不成立的是（ ）

ACAE? B. BCDEACAE?C. D. ABADA.

三、综合提升

ABAD? BCAEABAD? ACAE先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：

5. 如图5，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长交AD的延长线于点E，求证

6. 如下图，已知AD是?ABC的中线.

（1）如图1，若E为AD的中点，射线CE交AB于点F，求（2）如图2，若E为AD上一点，且

DEDF?. AEDCAF. BFAFAE1?，射线CE交AB于点F，求.

BFEDk

图1 图2

【当堂检测】：

1. 如图，AB∥CD∥EF，AC?3，CE?4，

8

BD?2，则DF等于__________.

2.如图，在?ABC中，点D，E分别在AB，AC边

ADAC?2，则等于______. DBAEOAOC?3.如图，AB∥MN，BC∥NG，求证：. OMOG上，DE∥BC，已知

【学后反思】：

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

【拓展链接】： 造梯子 王大伯要做一张如图所示的梯子，梯子共用7级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等.已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1=0.5m，最下面一级踏板的长A7B7=0.8m.则

A3B3第踏板的长度为多少？

【课后精练】：

1.如图，点D、E、F分别在?ABC的边AB、AC、BC 上，且DE∥BC，EF∥AB，求证

2.如图，在?ABC中，D为边BC上的一点，且 BD：DC=5：3，E为AD的中点，连接BE并延 长交AC于点F，求BE：EF.

9

ADBF?. ABAC

3.3相似的图形

【学习目标】：

1. 通过测量、计算感受相似形的特征.

2. 学会利用相似形的简单性质求角的大小与线段的长度. 【体验学习】：

一、新知探究

请认真阅读教材第73-75页内容，回答下列问题 1. 全等的两个图形其形状、大小有什么关系？

2. 用你含有60°角的直角三角板与同桌的含60°的直角三角板进行对比，对应边是否成比例？对应角是否相等？两个三角板是否相似？

3. 下列各组图形中的两个正多边形是否相似？

学法指导：可以从形状、大

小来发现.全等形是特殊的

相似形.

4. 两个相似图形，它们的对应边___________，对应角___________.

二、基础演练

根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1. 下面图形中，相似的一组是（ ）

A. B. C. D.

2. 你认为下列属性，哪个才是相似图形的本质属性（ ）

10

A．大小不同 B．大小相同 C．形状相同 D．形状不同

3. 下列图形是相似多边形的是（ ）

A．所有的平行四边形 B．所有的矩形 C．所有的菱形 D．所有的正方形 4. 如图，?ABC∽?DEF，?B?36，

AB=6，DE?4，AC=4，则?E?____， DF?____.

5. 已知?ABC∽?DEF，且BC=3cm，EF=6cm.?ABC与?DEF的相似比=_______，?DEF与?ABC的相似比=___________.

6. 如图，已知两个四边形相似，则?=_______，x?_________.

三、综合提升

先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：

1. 在矩形ABCD中，AB=1，若剪去一个正方形ABFE，剩余的矩形EFCD和原矩形ABCD相似，求AD的长． DEA

CBF

2. 在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等.花坛AB?20 米，AD?30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形

?A'B'C'D'能与矩形ABCD相似？请说明理由.

【当堂检测】：

1. 下图中，各组图形相似的是（ ）

A'AD'yDxBB'xyCC'

11

A．①③ B．③④ C．①② D．①④ 2. 已知?ABC∽?DEF，且相似比为3：2，若AB=15，则DE=________.

3. 两个相似多边形的相似比为5：3，已知其中一个多边形的最小边为15，则另一个多边形的最小边为 .

【学后反思】：

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【拓展链接】：

相似形

①形状相同的两个图形叫做相似形.

②相似形的条件:两个边数相等的多边形满足下列两条件时，则它们必为相似形:对应角相等、对应边成比例.

③相似形性质：对应角相等，对应边成比例.

④如果两个图形形状相等，但大小不一定相等，那么这两个图形相似 注意:全等是特殊的相似

【课后精练】：

1. 下列图形中不相似的是（ ）

2. 以下五个命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似；⑤所有的正五边形都相似，其中正确的命题有 . 3. 已知六边形ABCDEFF∽六边形A1B1C1D1E1F1，且AB=3,BC=4,B1C1=6，则它们的相似比等于_______.

4. 如图，AB∥EF∥CD，CD=4,AB=9,若梯形CDEF与梯形FEAB相似，求EF的长？

12

DECFAB3.4.1相似三角形判定(1)

【学习目标】

1．能推倒“平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似”，并能利用此定理证明三角形相似. 2．能利用此定理解决相关实际问题

【体验学习】 一、新知探究

阅读教材77页“动脑筋”回答下列问题：

1.从相似三角形的定义出发，满足什么条件的两个三角形相似？ 学法指导：定义是三角形

相似的一种判定方法.

2.仔细阅读“动脑筋”的证明过程

（1）如图DE∥BC，则有哪些角相等，哪些线段成比例？

（2）DE∥BC是否可以判定?ADE∽?ABC？为什么？ 试用几何语言表达.

∵ ∴△ABC∽

二、基础演练

根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：

1. 如左下图，在?ABC中，DE∥BC，若AD=1，AB=3，DE=2，则BC的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7

2. 如右上图，在?ABC中，DE∥BC，若

BCADEAD1?，DE=3cm，则BC的长为（ ） BD2A．8cm B．9cm C．10cm D．12cm

3. 如左下图AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式中，正确的是（ ） A．

ABOAOAOB?? B． CDADODBC13

C．

ABOBBCOB?? D． CDOCADOD4. 如右上图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有________对.

5. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连 接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED， CD=3cm，则AF的长为__________.

三、综合提升

1. 如图，点D为?ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使DE=EF，求证?CFE∽?ABC.

2. 如图AD∥EG∥BC，EG分别交AB、DB、AC于点E、F、G，已知AD=6，BC=10，AE=3，AB=5，求EG、FG的长.

【当堂检测】：

1. 如左下图，在?ABC，D、E是边AB、AC上的点，要使得?ADE∽?ABC，还需要添加一个条件为_______________.

DE与?ABC的相似比为_______. 2. 如右上图，在?ABC中，DE∥BC，AD=3，BD=4，则?A14

3. 如右图，D、E、F分别是?ABC的边AB、AC、BC边上的点，且DE∥BC，EF∥AB，求证?ADE∽?EFC.

【学后反思】：

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【拓展链接】：

相似梯形

善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？

问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？ 问题二：平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似？

【课后精练】：

1. 如左下图，DE∥FG∥BC，则图中相似三角形共有_______对.

2. 如右上图所示，DE∥BC，AE=10，EB=5，DE=6，则BC=______.

3. 如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F.（1）求证：?ABF∽?ECF；（2）若AD=CB=5，AB=8，CF=2，求CE的长.

15

3.4.1相似三角形的判定（2）

【学习目标】

1．探究相似三角形的判定定理1，并能运用其证明两三角形相似.

2. 培养观察、发现、比较、归纳能力，感受两个三角形相似的判定定理与全等三角形判定方法（AAS、ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系. 【体验学习】 一、新知探究

1．阅读教材79～80页，完成94页的“动脑筋”

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三

角形相似.------简称为：两角对应相等的两个三角形相似.

用几何语言表示为：

在?ABC与?A?B?C?中

∴?ABC∽ ?A?B?C?

2．想一想，为什么判断两个三角形全等需要“AAS”或“ASA”，而判断两个三角形相似只需要“两角对应相等”？角决定三角形的什么？边决定三角形的什么？

二、基础演练

根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：

1.在?ABC与?DEF中，?A?39，?B?61，?E?39，?F?80，则 ∽

ooooA′ABCB′C′?ABC.

2．如图D为?ABC中AB边上一点，?ACD??ABC， 求证：⑴?ACD∽?ABC

⑵AC?AD?AB

A2CDB

16

三、综合提升

先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 4.如图，?DAB??CAE，?D??B. 求证：

5．如图，?ABC中，?A?90，ED?BC，则： （1）?ABC与?DBE是否相似？为什么？ （2）已知AC?6，AB?8，BE?5， 则BC、DE分别为多少？

【当堂检测】

1.如图，AD?BC于D，CE?AB于E，CE交AD于F， 则图中相似三角形有 对.

【学后反思】

oAEAD? ACABDACBEAEBDCEAFD2.如图，已知E、F在BA、CA的延长线上，?F??C.求证:?AEF∽?ABC

BCEFACB本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

17

【拓展链接】

如何测量金字塔的高度

泰勒斯(古希腊数学家、天文学家)来到埃及，人们想试探一下他的能力，就问他是否能测量金字塔高度.泰勒斯说可以，但有一个条件——法老必须在场.第二天，法老如约而至，金字塔周围也聚集了不少围观的老百姓.秦勒斯来到金字塔前，阳光把他的影子投在地面上.每过一会儿，他就让人测量他影子的长度，当测量值与他身高完全吻合时，他立刻在大金字塔在地面上的投影处作一记号，然后再丈量金字塔底到投影尖顶的距离.这样，他就报出了金字塔确切的高度.在法老的请求下，他向大家讲解了如何从“影长等于身长”推到“塔影等于塔高”的原理.也就是今天所说的相似三角形定理.

【课后精练】

1.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC,BD相交于点O，

AO 的值为（ ） CO1111 A. B. C. D.

3924若AD?1,BC?3，则

AOBDC2.如图，矩形ABCD中，E为BC上，DF?AE于F，若AB?4，AD?5，AE?6，求DF的长.

3．如图，点D、E、F 分别是线段AO、BO、CO的中点. 求证：?ABC∽?DEF

ADFBEC18

3.4.1相似三角形的判定（3）

【学习目标】

1． 熟悉相似三角形的判定定理3的推导过程，并牢记其内容。 2． 能灵活运用相似三角形的判定定理3证明两三角形相似. 【体验学习】 一、新知探究

阅读教材81～82页，完成下列探究活动和问题.

1.画?ABC， 其中?A?30?,AB?1.5cm,AC?2cm， 画?A?B?C?，其中?A??30?，A?B??3cm，A?C??4cm. 思考：?ABC与?A?B?C?相似吗？为什么？

判定定理三：如果一个三角形的两条边和另外一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.------简称为：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

用几何语言表示为：

在?ABC与?A?B?C?中

∴?ABC∽ ?A?B?C?

二、基础演练

根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：

1．在?ABC与?A?B?C?中，?A?120?,AB?7cm,AC?14cm,?A??120?，A?B??3cm，

AA′BCB′C′A?C??6cm，则?ABC与AB:AC?AD:AE中 .（填“相似”或“不相似”）

2.如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知 ∠DOC ，可证明?AOB∽?DOC．

OAOB?，又因为 ∠AOB=ODOC2．能判定?ABC与?A?B?C?相似的条件是（ ） A.

ABACABA?B??? B. ，且?A??C? ??????ABACACAC19

C.

ABBCABAC??，且?B ??A? D. 且?B ??B? A?B?A?C?A?B?A?C?3．如图，?ABC中，D、E别在AC、AB上，且

三、综合提升

ADAE1??，BC?6，求DE. ABAC2AEDBC先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：

4.已知在Rt?ABC与Rt?A?B?C?中，?C??C??90o，AB?6cm，AC?4.8cm，

A?B??5cm，B?C??3cm.求证：?A?B?C?∽?ABC

【当堂检测】

如图，?AEB与?FEC是否相似？请证明你的结论.

【学后反思】

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

20

学法指导： 1．先画出图形可以帮我们更好地分析题意； 2. 你可以用两种不同的方法证明结论吗？ 3. 你可以出个变式考考大家吗？ 5．如图，已知AD?AB?AE?AC，求证：?FDB∽ ?FEC

B45AE5430C36F

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【拓展链接】

奇妙的母子相似

常言道：“一母生两子，两子皆似母”.此话谈的是人类在发展过程中的变化情况.无独有偶，在相似三角形中也有类似的情况，这不得不引起我们的反思.

母子相似——容易证明！

如图：??A??A，?ADC??ACB

??ADC∽?ACB 同理可证：?CDB∽?ACB

通常把这种?ADC∽?ACB、?CDB∽?ACB 【课后精练】

1．已知：如图，在?ABC中，P为AB上一点，在（1）?ACP??B；（2）?APC?ACB；

2（3）AC?AP?AB；（4）AB?CP?AP?CB；这些条件中，

CADB称之为“母子相似”.由母子相似带来的?ADC∽?CDB，称为“姊妹相似”.

A能判断?APC和?ACB相似的是（ ）

A.（1）,（3）,（4） B.（1）,（2）,（4） C.（1）,（2）,（3） D.（2）,（3）,（4）

2．如图，AB:AC?AD:AE，且?1??2.求证：?ABC∽

BPC?ADE.

A12DEBC3．已知：如图，在等边三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且求证：?AED∽?CBD.

21

AD1?，AE?BE.AC3ADEBC3.4.1相似三角形的判定（4）

【学习目标】

3． 熟悉相似三角形的判定定理4的推导过程，并牢记其内容. 4． 能灵活运用相似三角形的判定定理4证明两三角形相似. 【体验学习】 一、新知探究

阅读教材83～84页回答下列问题：

1. 任意画出两个三角形?ABC和 ?A?B?C?，使AB?2A?B?,AC?2A?C?,BC?2B?C?，

则?A和?A?，?B和?B?，?C和?C?的大小相等吗？?ABC和 ?A?B?C?相似吗？

2．如果把第1题中的2倍改成k倍，那么?ABC和 ?A?B?C?还相似吗？

判定定理四：如果一个三角形的三条边和另外一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个

三角形相似.------简称为：三边对应成比例的两个三角形相似.

用几何语言表示为：

在?ABC与?A?B?C?中

AA′?

∴?ABC∽ ?A?B?C?

二、基础演练

根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1.如图，两个三角形的关系是 （填“相似”或“不相似”）， 理由是

2.已知：在?ABC与?DEF中，AB?2.2cm,BC?1.6cm,CA?3cm；

BCB′C′学法指导：在找两个三角形边的比时，应该注意什么吗？有何技巧？ DE?3.3cm,EF?2.4cm,FD?4.5cm.求证：?ABC∽?DEF.

22

3．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中?ABC相似的是（ ） A

B

三、综合提升

先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：

C A

B

C D

?A?B?C?的两边长分别是1和3，4．已知?ABC的三边长分别为2、6、2，如果?ABC

与?A?B?C?相似，那么?A?B?C?的第三边长应该是____________.

5.如图，若A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲乙丙丁四点中的 ．

6.如图所示，三个正方形拼成一个矩形ABEF，

（1）?ACE∽ ，理由是 。 （2）求?AEB??ADB的度数.

【当堂检测】

相似比为 .

2．已知如图，在?ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点. 求证：?ABC∽?EFD.

A'C'FGHAEDCABB1. 证明：如图4?4正方形网格中，?ABC与?A?B?C?的

CB'AFEC

3.如图，在?ABC中，DE∥BC，EF∥AB， 求证：?ADE∽?EFC.

23

DB【学后反思】

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【拓展链接】

非平凡的镜像相似性（一）

欧几里德平面几何中，三角形的全等必然包含平移全等、旋转全等及镜像反射全等三类. 由此，我们也可将三角形的相似分为平移相似、旋转相似和镜像反射相似.

平移相似是一种平凡的相似性，旋转相似是一种较平凡的相似性，而反射相似是一种非平凡的相似性.因为许多重要的定理与反射相似三角形相关，找到反射相似三角形，可以使这类命题快速得证.

平移相似平凡的相似性

旋转相似较平凡的相似性

三个三角形平移相似两个三角形旋转相似【课后精练】

1．下列图形一定相似的是（ ）

A．有一个锐角相等的两个直角三角形 B.有一个角相等的两个等腰三角形 C．有两边成比例的两个直角三角形 D.有两边成比例的两个等腰三角形 2.已知?ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.下列条件中，不能．．推断?ADE与

?ABC相似的是（ ）

A.?ADE??B B.?ADE??C C.

ADDEADAE D. ??ABBCACAB3.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，如果要使△ABC∽△DCA，那么还要补充的一个条件是 （只要求写出一个条件即可）．

4．如图，点D、E、F 分别是线段AO、BO、CO的中点. 求证：?ABC∽?DEF

A D

B C 24

3.4.2相似三角形的性质1

【学习目标】:

1． 探究相似三角形的对应高、对应角平分线、对应中线的比与相似比的关系. 2． 能运用相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的性质解决实际问题. 【体验学习】: 一、新知探究

请认真阅读教材第85~87页的内容，回答下列问题

1．若?ABC∽?A?B?C?，那么?ABC与?A?B?C?对应角平分线、对应中线、对应高的比与相似比相等吗？请根据下列图形口头说说你的推理过程.

二、基础演练

根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：

1.若两个相似三角形的相似比是2:3，则它们的对应高的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 .

2.△ABC∽?A?B?C?，，AB=4，A?B?=12，则它们对应边上的高的比是 ，若BC边上的中线为1.5，则B?C?上的中线A?D?=___ __ __

高

A角平分线

A中线

ABFCBDCBECA'B'A'B'C'A''F'C'DB'E'C'小结：相似三角形的对应角平分线、对应中线、对应高比等于 .

CD与?ABC的3.如图，在Rt?ABC中，?ACB?90?,?A?30?,CD?AB于点D，则?B对应角的角平分线之比为（ ） A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5

三条高线，三条中线分别发生怎样的变化？

25

CADB4.在20倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的边长，角，三条角平分线，

三、综合提升

先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题： 5.如图是两个相似的三角形，求∠C，∠D，x的值．

6．如图，已知?ABC∽?A?B?C?，线

，

AB1?，CD与C?D?分别是?ABC与?A?B?C?的中A?B?2?分别是BM与?B?ABC与

?A?B?C?的角平分线，C'CD?8cm,BM?4cm,求C?D?，B?M?

7.如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M. (1) (2)

26

CM'MADBA'D'B'试说明：

AMHG?; ADBC求这个矩形EFGH的周长.

【当堂检测】:

1．若两个相似三角形的相似比是2：5，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 .

2.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且长为 .

3.两个相似三角形的相似比为1:3，其中大三角形的最小边上的高为15，则小三角形的最小边上的高为_ __ __. 【学后反思】:

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【拓展链接】:

用相似三角形知识推算地球的周长

古希腊的埃拉托色尼(约公元前275—前194)，博学多才，不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长.

细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子.但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子.他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成.从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角.按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长.埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几.他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近.这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧. 【课后精练】：

1.如果两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形的对应的高的比为_______，对应角分线的比为 _ ,对应中线的比为 .

2.已知⊿ABC∽⊿DEF，相似比为3，且BC边上的中线为18，则DE边上的中线为_________. 3.已知△ABC∽△A′B′C′,AD和A′D′是它们的对应角平分线，且AD=8 cm, A′D′=3 cm.，则△ABC与△A′B′C′对应高的比为 .

4.如图，△ABC是一块锐角三角形的余料，边长 BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点在AB、AC上，这个正方形的零件的边长为多少？

27

AC3?，B′D′=4，则BD的A?C?2A E H B F D G C 3.4.2相似三角形的性质2

【学习目标】:

1.探究相似三角形的面积比与相似比之间的关系.

2.能熟练运用相似三角形面积比与相似比之间的关系解决实际问题. 【体验学习】: 一、新知探究

请认真阅读教材第87~88页的内容，回答下列问题

1.若?ABC∽?A?B?C?，那么?ABC与?A?B?C?面积比与相似比有什么关系？请根据下列图形写出你的推理过程.

A

CB F A' ''CB'小结：相似三角形面积比等于 . F

二、基础演练

根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：

1.如图所示，?ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AC于D、E两点，若AD∶

AB?1:3，则?ADE与?ABC的面积比为 .

A

D B E C

2.如果两个相似三角形的周长比为9∶4，则它们的面积比为 . 3.若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为 （ ） A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16

4.一张比例尺为1：4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm，面积是250cm2，则这个地区的实际周长 m，面积是 m． 5.如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=5，DB=3，BC=10. 求：（1）DE的长；

（2）求△ADE与四边形DBCE的面积之比.

28

2A

D B E C

三、综合提升

先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：

6.如图，在?ABC中，DF∥EG∥BC，且AD?DE?EB，则DF,EG分?ABC成三部份的面积比为（ ）

A. 1：1：1 B. 1∶2∶3 C. 1：4：9 D. 1：4：9 是多少.

8.如图，在□ABCD中，点E在边BC上，BE∶EC?1∶2，连接AE交BD于点F，

E B D A F G C

7.两个相似三角形面积之差为9cm2，对应的中线的比是2:3，则两个三角形的面积分别

S?BEF?3cm2.

（1）求证：?BEF∽?DAF （2）求S?DAF

【当堂检测】：

1. 如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为（ ） A．4:5 B．16：25

C．196：225 D．256：625

FBECADBC与?DEF的相似比为 ．2.已知?ABC与?DEF相似，且面积比为4∶25，则?A

3.已知?ABC与?A?B?C?相似，且S?ABC:S?A?B?C?=12:，则AB:A?B?= ． 4.在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm，则这个地块的实际周长为 ，实际面积为 . 【学后反思】:

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

29

2【拓展链接】:

奇妙的母子相似

常言道：“一母生两子，两子皆似母”.此话谈的是人类在发展过程中的变化情况.无独有偶，在相似三角形中也有类似的情况，这不得不引起我们的反思.

母子相似——容易证明！

如图：??A??A，?ADC??ACB

??ADC∽?ACB 同理可证：?CDB∽?ACB

通常把这种?ADC∽?ACB、?CDB∽?ACB

CADB称之为“母子相似”.由母子相似带来的?ADC∽?CDB，称为“姊妹相似”. 【课后精练】:

1.如图，△ABC中，BC = 2，DE是它的中位线，下面三个结论：

⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1 : 4． 其中正确的有 （ ）

A . 0 个 B.1个 C . 2 个 D. 3个

BDAEC2.在比例尺为1：400的地图上，测得一个四边形地块ABCD的周长为12cm，面积为6cm，求这个地块的实际周长和实际面积．

3.如图，在△ABC中，DE//BC，若

F.若AD＝3，AB＝5，求：

AG（1） ；

AF

（2）?ADE与?ABC的周长之比； （3）?ADE与?ABC的面积之比.

EFD2AE1?，试求△DOE与△BOC的周长比与面积比． EC2ADOBCE4.如图，D、E分别是AC，AB上的点，?ADE∽?ABC, AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点

ABGC30

3.5相似三角形的应用

【学习目标】：

1.熟练地运用相似三角形的判断与性质，并解决实际问题. 2.提升自己将实际问题转化为数学模型的能力. 【体验学习】：

一、新知探究

请认真阅读教材第91-93页内容，回答下列问题 1. 认真阅读91“动脑筋”与“做一做”，如何去确定D、E点的位置，才能使?ABC∽?DEC?

2. 在我们生活中，相似三角形的性质主要运用在哪些方面？

二、基础演练

根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：

1.如下图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆的影子BC的长度为6米，那么旗杆的高度为 .

2.如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40mm，焦距是60mm，所拍摄的2m外的景物的宽CD为 .

3.如下图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为10cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么小玻璃管口径DE等于 .

4.如图，路灯距地面8cm，身高1.6m的小明从距离路灯的底部（点O）20m的点A处，沿AO所在直线行走14m到达B点时，他的影长有多大变化？

31

三、综合提升

先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解决下列问题：

1. 如图，已知零件的外径为30mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）测量零件的内孔直径AB，若OC：OA=1：2，且量得CD=12mm，则零件的厚度x为多少？

2.某数学课外活动小组，想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影长为1.35米，因大树靠近一幢建筑物，树影一部分落在建筑物上（如图所示），他们测得地面部分的影长3.6米，建筑物上的影长1.8米，则树的高度为多少？ 学法指导：当没有三 角形时，需要构造三 角形！

【当堂检测】：

1.如下图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，于是得出树的高度为 .

2.如上图，铁道口栏杆的短臂长为1.6m，长臂长为10m，当短臂端点下降0.8m时，求长臂端点升高的高度．

【学后反思】：

32

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 【拓展链接】：

胡夫金字塔是埃及现存规模做大的金字塔，被喻为“世界古代八大奇迹之一”，塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230米.据考证，为建成大金字塔，一共用了20年时间，每年用工10万人.原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风吹饰，所以高度有所降低.

在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天，西拉国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，原因是很难爬到塔顶的，你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度吗？

【课后精练】：

1.如图，路灯点O到地面的垂直距离为线段OP的长．小明站在路灯下点A处，AP=4米，他的身高AB为1.6米，同学们测得他在该路灯下的影长AC为2米，则路灯到地面的距离为 .

2. 如上图，网球的网高CD=0.8米，小明在打网球时，球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，且BD=10米则球拍击球的高度AB= .

3.如上图，是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的端点A时，杠杆绕C点转动，另一端点B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压 cm．

33

3.6 位似（1）

【学习目标】

1．理解并记住位似、位似图形与位似比的概念和性质. 2．会运用位似将一个图形放大或缩小. 【体验学习】 一、新知探究

阅读教材95～97页，回答下列问题.

1.举例说明什么叫“位似”，“位似中心”？.写出“位似图形”的三条性质.

2.请你说说“位似”与“相似”的异同？

二、基础演练

根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果： 1. 找出下图中各组位似图形的位似中心.

2. 如图已知四边形ABCD，以点O为位似中心，位似比为2， 画出四边形ABCD在这个位似变换下的像.

学法指导： 1.想一想，位似中心不同，画出的位似图形是一样的吗？ 2.位似中心可以在哪些不同的位置？ 3.下列图形中不是位似图形的是( ） A B A′ A D

A A′ D′ O C′ C O

B O ? B′

A B△ABC相似于△A′B′C′ C B AB∥A′B′ ′ 正方形与梯形

C D A B 34

? 4.两个位似多边形的面积之比为4：9，则相似比为_________，如果它们对应边的延长线会交于一点，两个图形是否位似，如果位似则位似比是 .

三、综合提升 1.如图若

OAOBOC1???，则下列说法中正确的有（ ） ODOEOF2C ①?ABC与?DEF是相似图形；

②?ABC与?DEF的周长之比是③?ABC与?DEF是位似图形； ④?ABC与?DEF的面积之比是4∶1. ⑤AB∥DE，AC∥DF，CB∥EF

F

1； 2O A B E

D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2. 一般在室外放映的电影胶片的每一个图形的规格为3.5cm?3.5cm，放映的荧屏的规格为

2m?2m，若影机的光源距胶片20cm时，问荧屏应在离镜头多远的地方，放映的图像刚好

布满整个荧屏？

【当堂检测】

如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的一半.

【学后反思】

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

35

【拓展链接】

位似中心不同，位似图形不同

【课后精练】

1．若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（ ）

A.每对对应点所在的直线相交于同一点 B.两个图形上的对应线段的比等于位似比 C.两个图形上对应线段平行 D.两个图形的面积比等于位似比平方

2.如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．

3.如图所示，已知△ABC与△A?B?C?是位似图形，O为位似中心，且OA=5，AA?=3. 求?ABC与?A?B?C?的面积之比.

36

3.6 位似（2）

【学习目标】

1．理解位似变换中对应点的坐标的变化规律.

2．会运用位似变换将坐标系内一个图形放大或缩小k倍. 【体验学习】 一、新知探究

阅读教材97～98页，回答下列问题.

1.观察教材97面《动脑筋》，对应点之间坐标的变化，你有什么发现？请再举例自我验证发现的规律.

2. “在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.”，为什么像的坐标的比会有k或-k.两种情况？

二、基础演练

根据以上的探究，自主解决下列问题，并与小组成员交流分享你的学习成果：

1．如图，将图中的△ABC以A．为位似中心，放大到1.5倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．

2.△ABO的定点坐标分别为A(-1,4)，B(3,2)，O(0,0)，试将△ABO放大为△EFO，使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1，求点E和点F的坐标．

37

三、综合提升

如图，?ABC在方格纸中:

（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使

A(2,3),C(6,2)，并求出B点坐标；

（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将?ABC放大，画出放大后的图形

?A?B?C?；

（3）计算?A?B?C?的面积S．

【当堂检测】

A B C 1.如果四边形ABCD的坐标分别为A（-6，6），B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),写出以原点为位似中心相似比为1:2的一个图形的对应点的坐标。

2.如图，△AOB缩小后得到△COD，观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求出其相似比和面积比．

【学后反思】

本节课你主要学习了哪些知识方法，还有哪些困惑？

______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________

38

【课后精练】

1、在直角坐标系内描出点O（0，0），A（3，2），B（2，—1），连结O，A，B。 （1）写出以原点为位似中心，相似比为1:2的一个图形的对应点的坐标. （2）两三角形的面积比是多少？

4

A 2

55O

B2

4

2.把图中的正五边形放大为原来图形的2倍.

答案：

3.1.1

【当堂检测】： 1. 9.6米 2. 2.4 3. C

【课后作业】： 1. C

39

2. (1)1 (2) 1.8 (3) 3. 5：2 4.

5 163 213 3555.

4 3.1.2

【当堂检测】：

11111 26233ACCDACCD2.=或= CDDBADCB1.

3. AC=35?3，BC?9?35 ， 【课后作业】： 1. 1：2 2. 3：1 3. C

4. AC=5.6

5. 找相似三角形，利用相似成比例求解.

AC5?1= AB23.2

【当堂检测】：

8 332. 21.

3. 略

【课后作业】： 1. 略

2. 13：5（过点D作AC的平行线）

3.3

【当堂检测】： 1. C 2. 10

40

3. 9

【课后作业】： 1. D 2. ①⑤ 3. 2：3 4. 6

3.4.1（1）

【当堂检测】： 1. DE∥BC 2. 3：7 3. 略

【课后作业】： 1. 3 2. 9 3. 略

3.4.1（2）

【当堂检测】： 1.3 2.略

【课后作业】： 1.B 2.DF?152 3.略

【当堂检测】 答：相似，证明略

【课后精练】 1． C 2．证明略 3．证明略

【当堂检测】 1.2

3.4.1相似三角形的判定（3）3.4.1相似三角形和判定（4）41

2．证明略 3. 证明略 【课后精练】 1．A 2．C

3．?B??ACD 4．证明略

3.4.2相似三角形的性质1

4. 【当堂检测】: 5. 1.2:5、2:5、2:5 6. 2.6 7. 3.5

8. 【课后精练】： 9. 1. 1：4、1：4、1：4 10. 2.6 11. 3.8：3 12. 4.48

3.4.2相似三角形的性质2

13. 【当堂检测】： 14. 1.D 15. 2.2：5 16. 3.

2:2．

17. 4.6000cm,1500000cm2 18. 【课后精练】: 19. 1.D

20. 2. 4800cm， 960000cm2 21. 3.1:3、1：9 22. 4.（1）3:5 23. （2）3:5 24. (3) 9:25

3.5

【当堂检测】： 1. 8米 2. 5米

【课后作业】： 1. 4.8米

42

2. 2.4米 3. 50厘米

3.6（1）

【当堂检测】 略

【课后精炼】 1、C

2. (1)A (2)P (4)O 3. 25/64

3.6（2）

1. （1）.有两种情况，点A（x,y）的对应点A′的坐标为（2x，2y），

点A的对应点A′′的坐标为（-2x，-2y）

（2）. 相似比为2：1，面积比为4：1 【课后精炼】 1.（1） （0，0），（6，4），（4，-2） （2）1：4

2. 多种情况，作图略

43

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/l6xp.html