2014-2015概率论与数理统计A卷答案(1) - 图文

系部 专业班级 学号 姓名 密封线 答题留空不够时，可写到纸的背面 注意保持装订完整，试卷折开无效 装订线 桂林理工大学考试试卷 (2014--2015 学年度第 一 学期) 二．填空题（每题2分，共10分） 1.已知P?A??0.6, P?B|A??0.3, 则P(A?B)= ___0.18_______; 2.甲、乙、丙3人独立地译出一种密码，他们能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4，则能译出这种密码的概率为 课 程 名 称：概率统计 A卷 命 题：基础数学教研室 题 号 得 分 一 二 三 总 分 3 ； 53．一种动物的体重X是一随机变量，设E?X??33,D?X??4，10个这种动物的平均体重记作Y，则D?Y?＝__ 0.4 _; 4. 已知D(X)?25,D(Y)?36,X与Y的相关系数为?XY?0.4,则D(X?Y)= 37 ; 5. 设X1,X2,n21,Xn是取自总体N(?,?)的样本，则统计量2?(Xi??)2服从?(n)分布. 一． 单项选择题（每小题2分，共10分） 1．如果 P(A)?P(B)?1，则 事件A与B 必定（ C ） 2?i?1(A)独立 (B)不独立 (C)相容 (D)不相容 2．设随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E?X??2.1数n,p 的值为( A ) (A) (C)三．计算下列各题（共80分） 1．（10分）例 1.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录三家厂的次品率分别为0.02,0.01,0.03，三家厂所提供的份额分别为0.15,0.80,0.05。设这三家厂的产品在仓D?X??1.47，则二项分布的参库中是均匀混合的，且无区别的标志.（1）在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；（2）在仓库中随机取一只元件，若已知取到的是次品，求出此次品由第一家工厂生产的概率是多少？ n?7n?21p?0.3 (B)n?3p?0.1 (D)n?4p?0.7 p?0.6 解：设A表示“取到的是一只次品”，则 P(P()=0.15 P(=0.02 P(（i=1,2，3）表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”,)=0.80 P(=0.01 P()=0.05 =0.03 （3分） 3．设随机变量X服从N(0,1)分布，Y?2X?1，则Y~（ B ） (A)N(0,1) 4. 已知X服从泊松分布，则D(X)与E(X)的关系为（ C ） (A)D(X)?E(X) (B)D(X)?E(X) (C) D(X)?E(X) (D) 以上都不是 5. 设X1,X2,X3是取自N(?,1)的样本，以下?的四个估计量中最有效的是（ D ）

(B)N(1,4)(C)N(1,2)(D)N(0,4) 1>.由全概率公式 P?A?? P(A|B1)P(B1)? P(A|B2)P(B2)?P(A|B3)P(B3)?0.0125 （5分） 2>.由贝叶斯公式 P() = = = 0.24 （10分） 131124?2?X1?X2?X3 X1?X2?X3 (B)?5102399115111?4?X1?X2??3?X1?X2?X3 (D)?X3 (C)?3623412?1?(A)?

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（2）因为 fX(x)fY(y)?f(x,y) ，故 X，Y不相互独立. （8分） 2. （16分） ????55?Me?5x,x?0E(X)?xf(x)dx?,E(Y)?yf(y)dy?（3） XY 设连续型随机变量X的密度为 f(x)??????12120,x?0.? ????111E(XY)?xyf(x,y)dxdy?dxxy(2?x?y)dy? ????006(1)确定常数M (2)求P{X?0.2} (3)求分布函数F(x). ??0??1 则 ??E(XY)?E(X)E(Y)?0，故 X与Y相关 . （14分） ?5xXYf(x)dx?0dx?Medx?M?1 （4分） 解：①DX?DY????0 5 故M=5 . （5分） ?? ②P(X?0.2)?5e?5xdx?e?1?0.3679. （10分） 0.2 工科学生不做) 已知二元离散型随机变量?X,Y?的联合概率分布如下表所示： 3.(14分)(文科学生做， ③当x<0时,F(x)=0; （12分） Y -1 1 2 X x0x?(x)dx?dx?5e?5xdx （14分） 当x?0时，F(x)? -1 0.1 0.2 0.3 ????0 2 0.2 0.1 0.1 ?1?e?5x (1) 试求X和Y的边缘分布率 ?5x,x?0?1?e(2) 试求E(X), E(Y), D(X), D(Y),及X与Y的相关系数?XY(满分14分) 故F(x)? . （16分） ??0,x?0 解：(1)将联合分布表每行相加得X的边缘分布率如下表： X -1 2 p 0.6 0.4 3． 将联合分布表每列相加得Y的边缘分布率如下表： （14分）（工科学生做，文科学生不做） Y -1 1 2 ?2?x?y,0?x?1,0?y?1p 0.3 0.3 0.4 设(X,Y)的联合概率密度为：f(x,y)?? ，（1）求X、Y的边

,其它?0 （4分） (2) E(X)?1?0.6?2?0.4?0.2, EX2?1?0.6?4?0.4?2.2, Y是否独立，是否相关？（3）求 E(XY) 。 缘概率密度fX(x)和fY(y)；（2）判断X， （X，Y） D?X??EX2??EX?2?2.2?0.04?2.16 （6分） 解：（1）关于X的边缘密度为 ?3?? E(Y) ??x,0?x?1?1?0.3?1?0.3?2?0.4?0.8,EY2?1?0.3?1?0.3?4?0.4?2.2 fX(x)? （3分） f(x,y)dy??2?? ?0,其他2? D?Y??EY2-?EY??????2.2-0.64?1.56（X，Y） 关于Y的边缘密度为 E?XY???-1???-1??0.1??-1??1?0.2??-1??2?0.3?2??-1??0.2?2?1?0.1?2?2?0.1 ?3 ?0.1-0.2-0.6-0.4?0.2?0.4?-0.5?? ??y,0?y?1 fY(y)? （5分） f(x,y)dx??2cov?X,Y??E?XY?-E?X?E?Y??-0.5-0.16?-0.66（12分）?? ?,其他?0 cov(X,Y)?0.660.66???????0.36 （14分） XY 1.836D(X)D(Y)2.16?1.56 ???????????????????????2 第 2 页（共3页）

4．（10分）设总体的分布函数为f?x,???估计量??。(设样本容量为n) 解：利用极大似然估计法 ?ex??x!,(x?0,1,;0????)，用极大似然估计法求?的e?n?似然函数为L????， （4分） X1!X2!Xn!??Xii?1n?n?lnL??????Xi?ln??n??ln?X1!X2!?i?1?Xn!? （7分） 6.（10分）设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命 为1950小时，样本标准差s为300小时，以95%的置信水平估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 （t0.975(14)?2.1448，t0.975(15)?2.1315） 解：已知样本均值x?1950, 样本标准差s=300, 自由度为15-1=14, 分位数t0.975(14)=2.1448, （3分） s2.1448?3001 算出t, （6分） (14)??166.10.9753.873215 x?166.1，即(1784, 2116)。 （10分） 因此平均使用寿命的置信区间为 7．（10分）根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力X~N(?,?2)（单位：kg）. 已知dlnLdlnL1?n1n??0,得???Xi 又???Xi??n，令d?ni?1d???i?1?n1??即极大似然估计量?Xi。 （10分） ?ni?1 5．（10分）保险公司为估计企业的利润，需要计算各种概率。若一年中某类投保人中每个人死亡的概率为0.005，现在此类投保人10000人，试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超过70人的概率.(??2.84??0.9977，??7.09?=1) ??8 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值x?575.2 kg. 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？ （??5%） （u0.975?1.960，u0.95?1.645，u0.90?1.282） 解：把每位投保人看作一次试验，死亡的概率p?0.005因此可看作是n?10000次的贝努利试验。把在未来一年中死亡的投保人数记为随机变量X，则Xb?10000,0.005?，从而 （3分） 解： 要检验的假设为 H0:???0?570,H1:???0?570 (2分) 检验用的统计量 U?E?X??np?10000?0.005?50,D?X??50?0.995?49.75， 有 （5分） P?0?X?70??P? X??0?/n2~N(0,1)， X?5070?50??0?50??????2.84?????7.09??0.9977 （10分） 49.7549.75??49.75 拒绝域为 U?u1???u0.975?1.96. (6分) U0?575.2?5708/10?0.6510?2.06?1.96，落在拒绝域内， (8分) 故拒绝原假设H0，即不能认为平均折断力为570 kg . (10分) 3 第 3 页（共3页）

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