数值分析欧阳洁习题集及答案

数值分析习题集

（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）

长沙理工大学

第一章 绪 论

1. 设x>0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.

2. 设x的相对误差为2％,求x的相对误差.

3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出

它们是几位有效数字: 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:

*****x1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.

n************(i)x1?x2?x4,(ii)x1x2x3,(iii)x2/x4,其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数.

5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6. 设Y0?28,按递推公式

1783100 ( n=1,2,…)

Y计算到Y100.若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100将有多大误差?

Yn?Yn?1?27. 求方程x?56x?1?0的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).

8. 当N充分大时,怎样求

???N1dx1?x2?

29. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?

S?10. 设

误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列

12gt2假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对

{yn}满足递推关系yn?10yn?1?1(n=1,2,…),若y0?2?1.41(三位有效数字),y10时误差有多大?这个计算过程稳定吗?

6计算到

12. 计算f?(2?1),取2?1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?

113,(3?22),,99?702.63(2?1)(3?22)

13. f(x)?ln(x?x?1),求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若

改用另一等价公式

2 计算,求对数时误差有多大?

ln(x?x2?1)??ln(x?x2?1)

14. 试用消元法解方程组

?x1?1010x2?1010;x1?x2?2.假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

1?absinc,0?c?22,且测量a ,b ,c 的误差分别为15. 已知三角形面积其中c为弧度,

?a,?b,?c.证明面积的误差?s满足

s??s?a?b?c???.sabc

第二章 插值法

1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令

Vn(x)?Vn(x0,x1,?,xn?1,x)?1?11x0?xn?1x2x0????nx0?2nxn?xn?1?1x2xn

证明Vn(x)是n次多项式,它的根是x0,?,xn?1,且

Vn(x)?Vn?1(x0,x1,?,xn?1)(x?x0)?(x?xn?1).

2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.

3. 给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值. x 0.4 0.5 0.6 0.7 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 0.8 -0.223144

4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,

研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.

maxl2(x)x?x?khx0?x?x3k05. 设,k=0,1,2,3,求.

xj6. 设

为互异节点(j=0,1,…,n),求证:

i) ii) 7. 设

?xl(x)?x(k?0,1,?,n);kjjkj?0nn

?(xj?0j?x)klj(x)???k?1,2,?,n).2f(x)?C?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证maxa?x?bx?61f(x)?(b?a)2maxf?(x).8a?x?b

x8. 在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使截

断误差不超过10,问使用函数表的步长h应取多少? 9. 若yn?2,求?yn及?yn. 10. 如果f(x)是

n44m次多项式,记?f(x)?f(x?h)?f(x),证明f(x)的k阶差分

?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式,并且?m?lf(x)?0(l为正整数).

11. 证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk. 12. 证明k?0n?1n?1n?1?f?gkk?fngn?f0g0??gk?1?fk.k?0

13. 证明

??j?02yj??yn??y0.

n?114. 若f(x)?a0?a1x???an?1xn?anxn有n个不同实根x1,x2,?,xn,证明

?f?(x)j?1xkj?15. 证明n阶均差有下列性质: i)

j?0,0?k?n?2;?1an,k?n?1.

若F(x)?cf(x),则F?x0,x1,?,xn??cf?x0,x1,?,xn?;

ii) 若F(x)?f(x)?g(x),则F?x0,x1,?,xn??f?x0,x1,?,xn??g?x0,x1,?,xn?.

74f?20,21,?,27?f?20,21,?,28?f(x)?x?x?3x?1????. 16. ,求及

17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

R3(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!,??(xk,xk?1)

18. 求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)?P(?k?1)并由此求出分段三次

埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条件

P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?1,P(2)?1.

20. 设f(x)?C?a,b?,把?a,b?分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数?n(x)并证明当n??时,?n(x)在?a,b?上一致收敛到f(x).

2f(x)?1/(1?x),在?5?x?5上取n?10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),21. 设

计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值,并估计误差.

22. 求f(x)?x在?a,b?上的分段线性插值函数Ih(x),并估计误差.

2423. 求f(x)?x在?a,b?上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下: 0.25 0.30 0.39 0.45 xj 0.53 0.7280 yj i) ii)

0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 试求三次样条插值S(x)并满足条件

2f(x)?C?a,b?,S(x)是三次样条函数,证明 25. 若

S?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868; S?(0.25)?S?(0.53)?0.

i)

??ba?f?(x)?dx???S?(x)?dx??a2b2ba?f?(x)?S?(x)?dx?2?S?(x)?f?(x)?S?(x)?dxa2b;

ii) 若f(xi)?S(xi)(i?0,1,?,n),式中xi为插值节点,且a?x0?x1???xn?b,则

baS?(x)?f?(x)?S?(x)?dx?S?(b)?f?(b)?S?(b)??S?(a)?f?(a)?S?(a)?.

26. 编出计算三次样条函数S(x)系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(x)可用(8.7)

式的表达式).

第三章 函数逼近与计算

1. (a)利用区间变换推出区间为?a,b?的伯恩斯坦多项式.

(b)对f(x)?sinx在?0,?/2?上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:

(a)当m?f(x)?M时,m?Bn(f,x)?M. (b)当f(x)?x时,Bn(f,x)?x. 3. 在次数不超过6的多项式中,求f(x)?sin4x在?0,2??的最佳一致逼近多项式. 4. 假设f(x)在?a,b?上连续,求f(x)的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a,使0?x?1maxx3?ax达到极小,又问这个解是否唯一?

6. 求f(x)?sinx在?0,?/2?上的最佳一次逼近多项式,并估计误差. 7. 求f(x)?e在?0,1?上的最佳一次逼近多项式.

x8. 如何选取r,使p(x)?x?r在??1,1?上与零偏差最小?r是否唯一?

29. 设f(x)?x?3x?1,在?0,1?上求三次最佳逼近多项式.

43***T(x)?T(2x?1),x?0,1??T(x),T(x),T(x),T3(x). nn01210. 令,求

11. 试证

?T*n(x)?是在?0,1?上带权

??1x?x2的正交多项式.

?112. 在??1,1?上利用插值极小化求1f(x)?tgx的三次近似最佳逼近多项式.

x13. 设f(x)?e在??1,1?上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln(x),若f?Ln?有界,

证明对任何n?1,存在常数?n、?n,使

?nTn?1(x)?f(x)?Ln(x)??nTn?1(x)(?1?x?1).

?上14. 设在?项式并估计误差.

?1,115. 在??(x)?1?11331541655x?x2?x?x?x28243843840,试将?(x)降低到3次多

?1,1?上利用幂级数项数求f(x)?sinx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.

?a,a?上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,f(x)的最佳逼近多项式

16. f(x)是?Fn*(x)?Hn也是奇(偶)函数.

?ax?b?sinx?dx为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.

17. 求a、b使?20?21g(x)?C?a,b?,定义 f(x)18. 、

(a)(f,g)??f?(x)g?(x)dx;(b)(f,g)??f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a);aabb 问它们是否构成内积?

1

x6dx?01?x19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,

并比较其结果.

20. 选择a,使下列积分取得最小值:21. 设空间

?1?1(x?ax2)2dx,?x?ax2dx?11.

???span?1,x?,?2?span?x100,x101?,分别在?1、?2上求出一个元素,使得其为

x2?C?0,1?的最佳平方逼近,并比较其结果.

??span?1,x,x?22. f(x)?x在??1,1?上,求在1上的最佳平方逼近.

sin?(n?1)arccosx?un(x)?1?x223. 是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系

24un?1?x??2xun?x??un?1?x?.

24. 将

近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.

f(x)?sin1x2在??1,1?上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼

25. 把f(x)?arccosx在??1,1?上展成切比雪夫级数.

26. 用最小二乘法求一个形如y?a?bx的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.

19 25 31 38 44 xi 2yi 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 27. 观测物体的直线运动,得出以下数据: 0.9 1.9 时间t(秒) 0 3.0 3.9 5.0 110 10 30 50 80 距离s(米) 0 求运动方程. 28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下: 10 15 20 25 30 35 40 45 时间 0 5 浓度 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 用最小二乘拟合求y?f(t).

29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT算法的程序框图. 31. 现给出一张记录?50 4.62 55 4.64 xk???4,3,2,1,0,1,2,3?,试用改进FFT算法求出序列?xk?的离散频谱

?Ck?(k?0,1,?,7).

第四章 数值积分与数值微分

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