静电场习题课答案

静 电 场 习 题 课

说明：数学表达式中字母为黑体者表示矢量

Ⅰ 教学基本要求

1.掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场强度叠加原理和电势叠加原理。掌握电势与电场强度的积分关系。能计算一些简单问题中的电场强度和电势。

2.理解静电场的规律；高斯定理和环路定理。理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。 3.了解导体的静电平衡条件，了解介质的极化现象及其微观解释。了解各向同性介质中D和E的关系和区别。了解介质中的高斯定理。

Ⅱ 内容提要

一、电荷守恒定律(略) . 点电荷系激发的电势：U??qi/(4??0r)； 二、库仑定律 ： F=q1q2r/(4πε0r3) . 连续带电体激发的电势U??dq?4??r??. 三、电场强度E：

1．定义：E=F/q0 (F为试验电荷q0在电场E中所受作用力)；

2. 电场叠加原理E??Ei (矢量叠加)；

?q04.静电场力的功 WAB=qVAB ； 5. 场强与电势的微分关系

E=－gradV=[(?V/?x)i+(?V/?y)j+(?V/?z)k] . 七、电偶极子： 1.定义(略)； 2.电矩 Pe=ql；

3.激发的电场：

延长线上 E=[1/(4πε0)] (2Pe/r3)； 中垂线上 E=[1/(4πε0)] (－Pe/r3)； 4. 激发的电势 U=Pe·r / (4πε0r3) ； 5. 在均匀电场中受力矩 M= Pe×E. 八、导体：

1.静电平衡条件 导体内E=0, 导体表面附近外E垂直表面；

2.推论

(1)导体为等势体，导体表面为等势面， (2)导体表面曲率半径小处面电荷密度大， (3) 导体表面外附近电场E=σ/ε0, 3.静电屏蔽

(1) 空腔导体内的物体不受腔外电场的影响，(2)接地空腔导体外物体不受腔内电场的影响. 九、电介质：

1.有极分子取向极化,无极分子位移极化； 2.极化强度 P=?pe/ΔV， 在各向同性介质中 P=χε0E ；

1

点电荷系激发的电场：E??qiri/(4??0r3)；

2 连续带电体激发的电场： E=∫ qrdq/(4πε0r3) .

四、高斯定理： 1.电力线(略)；

2.电场强度通量 Фe=∫SE?dS (计算电场强度通量时注意曲面S的法线正方向)；

3.高斯定理(过闭合曲面的电场强度通量)： 真空中 Φe?介质中

?E?dS??qi?0；

S?D?dS??qS0i；

4.库仑电场为有源场. 五、环路定理： 1.表达式E?dl?0；

l?2. 静电场为保守场. 六、电势U：

1.定义式 (场强与电势的积分关系.下式 中p表示场点，(0) 表示电势零点)：

U??E?dl；

p(0)2. 电势差 UAB?UA?UB??BAE?dl；

3. 电势叠加原理 U??Ui (标量叠加)；

3.电位移矢量 D=ε0E+P，

在各向同性介质中D=ε0εrE=εE ，εr=1+χ. 十、电容：

1.定义式 C=Q/?U=Q/(U1－U2)； 2.几种电容器的电容

(1)平行板电容器 C=εS/d， (2)圆柱形电容器 C=2πεl/ln(R2/R1)， (3)球形电容器 C=4πεR2R1 /(R2－R1)， (4)孤立导体球 C=4πεR； 十一、静电场的能量:

1.点电荷系相互作用能We= (1/2)?qiUi； 2.连续带电体的能量We= (1/2)∫qUdq； 3.电容器电能

We=(1/2)qU=(1/2)CU2=q2/(2C)； 4.静电场的能量密度 we=(1/2)D·E，

We=∫V wedV=(1/2)∫V D·EdV.

十二、几种特殊带电体激发电场： 1.无限长均匀带电直线激发电场的场强

Ⅲ 练习一至练习七答案及简短解答

练习1 库仑定律 电场强度

E=?r/(2??0r2)；

2.均匀带电园环轴线上的场强与电势 E=Qx/[4??0 (x2+R2)3/2],U= Q/[4??0 (x2+R2)1/2]； 3. 无限大均匀带电平面激发电场的场强 E=?/(2?0)；

4. 均匀带电球面激发的场强与电势： 球面内 E=0, U= Q/(4??0 R) 球面外 E= Qr/(4??0 r3), U= Q/(4??0 r)； 5. 均匀带电球体激发的场强与电势： 球体内E=Qr/(4??0R3), U=Q(3R2-r)/(8??0R3); 球体外E= Qr/(4??0 r3), U= Q/(4??0 r)； 6. 无限长均匀带电圆柱面激发的场强： 柱面内 E=0, 柱面外 E=?r/(2??0r2)； 7. 无限长均匀带电圆柱体激发的场强： 柱体内 E=?r/(2??0R2)， 柱体外 E=?r/(2??0r2) 十三、电源电动势：

???E?dl ???lE?dl

??一、选择题 C B A C D 二、填空题

1. ?1d/(?1+?2).

2. 2qyj /[4??0 (a2+y2)3/2] , ±a/21/2. 3. M/(Esin?).

三、计算题

1. 取环带微元 dq=?dS

=?2?(Rsin?)Rd? =2??R2sin?d?

dE=dqx/[4??0(r2+x2)3/2]

22??Rsin?d??Rcos?? =

4??0R3=?sin?cos?d?/(2?0)

?/202.取园弧微元 dq=?dl

=[Q/(?R)]Rdθ=Qdθ/? dE=dq/(4??0r2) =Qdθ/(4π2?0R2) dEx=dEcos(θ+?) =－dEcosθ dEy=dEsin(θ+?) =－dEsinθ

dE x Ex=dEx??Ey=?dEy?dl y ? O dEy dEx x dE ? ?O ???3?/2/2Qcos?d??4?2?0R2?

=Q/(2?2?0R2)

??3?/2/2Qsin?d??4?2?0R2?=0

故 E=Ex=Q2?2?0R2 方向沿x轴正向.

??

练习2 电场强度（续）

E???sin?cos?d??2?0???/?4?0?

方向：x轴正向.

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一、选择题 D C D B A 二、填空题

1. 2p/(4??0x3), －p/(4??0y3). 2. ?/(??0a), 0 3. 5.14?105.

y P b dx x 练习3 高斯定理

一、选择题 D A D C B 二、填空题

dE 1. ?/(2?0),向左;3?/(2?0),向左;?/(2?0),向右. 2 ?Q/?0, ?2Qr0/(9??0R2), ?Qr0/(2??0R2). 3 (q1+ q4)/?0, q1、q2、q3、q4, 矢量和

三、计算题

1. 取无限长窄条电荷元dx,电荷线密度

三、计算题

1 因电荷分布以中心面面对称,故电场强度方向垂直于平板,距离中心相等处场强大小相等.取如图所示的柱形高斯面:两底面?S以平板中心面对称,侧面与平板垂直.

O dx ?S x ??=?dx/a

它在P点产生的电场强度为

dE=??/(2??0r)=?dx/(2??0ab2?x2) dEx=dEcos?=??xdx/[2??0a(b2+x2)]

dEy=dEsin?=?bdx/[2??0a(b+x)]

a/22

2

Ex=dEx???a/22??0ab?xa/2??xdx?22?

?ln?b2?x2??0 =

4??0a?a/2a/2?E?dS?Q/?左边=?E?dS+?E?dS+?E?dS=2?SE

S0

左底右底侧面(1) 板内?x?

Q=

Ey=dEy??222??ab?x0?a/2??bdx??

?x?x?0cos??x?2a???Sdx

x=

=?0?2a???Ssin??x?2a???x =4?0(a/?)?Ssin[?x/(2a)]

得 E={2?0asin[?x/(2a)]}/(??0) (2)板外?x?>a

??

?b1x?arctan2??0abb?aarctan??0a2ba/2?a/2 Q=

?a?a?0cos??x?2a???Sdx

a=?0?2a???Ssin??x?2a???a =4?0(a/?)?S

得 E=2?0a/(??0) 当x>0方向向右, 当x<0方向向左.

2. 取窄条面元dS=adx,该处电场强度为 E=?/(2??0r) 过面元的电通量为 d?e=E?dS

=[?/(2??0r)]adxcos? =?acdx/[2??0(c2+x2)] ?e=?d?

b/2?acdx??22?b/22??0?c?x??ac1x??arctan2??0ccb/2E y a b x r ? c ?

2. 球形空腔无限长圆柱带电体可认为是均匀带正电(体电荷密度为?)无限长圆柱体与均匀带负电(体电荷密度为??)球体组成.分别用高斯定理求无限长均匀带电圆柱体激发的电场E1与均匀带电球体激发的电场E2.为求E1,在柱体内作同轴的圆柱形高斯面,有

?b/2?E?dS?2?rlE?Q?S0??r12l??0

=?aarctan[b/(2c)]/(??0)

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E1=?r1/(2?0)

方向垂直于轴指向外;为求E2,在球体内外作同心的球形高斯面,有

?E?dS?4?rS22E?Q?0

球内ra Q=??4?a3/3 E2= ??a3/(3?0r22) 负号表示方向指向球心.对于O点

E1=?d/(2?0),

E2= ??r2/(3?0)=0 (因r2=0) 得 EO=?a/(2?0) 方向向右; 对于P点

E1=?d/(2?0),

E2= ??a3/(12?0d2)

得 EP=?d/(2?0)? ?a3/(12?0d2) 方向向左.

练习4 静电场的环路定理 电势

=(?/2??0)ln(r2/r1)

(2)无限长带电直线不能选取无限远为势能零点，因为此时带电直线已不是无限长了，公式E=?/(2??0r)不再适用.

练习5 静电场中的导体

一、选择题 A A C D B 二、填空题

1. 2U0/3+2Qd/(9?0S). 2. 会, 矢量.

3. 是, 是, 垂直, 等于.

三、计算题

1. Ex=??U/?x

=?C[1/(x2+y2)3/2+x(?3/2)2x/(x2+y2)5/2] = (2x2?y2)C /(x2+y2)5/2 Ey=??U/?y

=?Cx(?3/2)2y/(x2+y2)5/2 =3Cxy/(x2+y2)5/2

x轴上点(y=0) Ex=2Cx2/x5=2C/x3 Ey=0

E=2Ci/x3 y轴上点(x=0) Ex=?Cy2/y5=?C/y3 Ey=0

E=?Ci/y3

2. B球接地,有 UB=U?=0, UA=UAB UA=(?Q+QB)/(4??0R3)

UAB=[QB/(4??0)](1/R2?1/R1)

得 QB=QR1R2/( R1R2+ R2R3? R1R3) UA=[Q/(4??0R3)][?1+R1R2/(R1R2+R2R3?R1R3)] = ?Q(R2?R1)/[4??0(R1R2+R2R3?R1R3)]

练习6 静电场中的电介质

一、选择题 A C B D D 二、填空题

11. (2q1?2q3?2q2).

8??0R2 Edcos?. 3 ?q/(6??0R)

三、计算题

1.解：设球层电荷密度为?.

?=Q/(4?R23/3?4?R13/3)=3Q/[4?(R23?R13)]

球内，球层中，球外电场为

E1=0,

E2=?(r3?R13)/(3?0r2) , E3=?(R23?R13)/(3?0r2)

故

?R1R2????E?dr??E1dr??E2dr??E3dr

rrR1R2=0+{?(R22?R12)/(6?0)+[?R13/(3?0)(1/R2?1/R1)]}

+ ?(R23?R13)/(3?0R2)

=?(R22?R12)/(2?0)

=3Q(R22?R12)/[8??0(R23?R13)]

2. (1)Ur1?Ur2?

一、选择题 D D B A C 二、填空题

1. 非极性, 极性.

2. 取向, 取向; 位移, 位移. 3. ?Q/(2S), ?Q/(S)

?r2r2r1E2?dl=?r1?dr 2??0r- 4 -

三、计算题

1. 在A板体内取一点A, B板体内取一点B,它们的电场强度是四个表面的电荷产生的,应为零,有

EA=?1/(2?0)??2/(2?0)??3/(2?0)??4/(2?0)=0 EA=?1/(2?0)+?2/(2?0)+?3/(2?0)??4/(2?0)=0 而 S(?1+?2)=Q1 S(?3+?4)=Q2 有 ?1??2??3??4=0

一、选择题 D B A C A 二、填空题

1. 9.42×103N/C, 5×10?9C. 2.

52.

3 R1/R2, 4??0(R1+R2), R2/R1.

三、计算题

1. (1)拉开前 C0=?0S/d W0=Q2/(2C0)= Q2d/(2?0S) 拉开后 C=?0S/(2d)

W=Q2/(2C)=Q2d/(?0S)

?W=W?W0= Q2d/(2?0S)

(2)外力所作功

A=?Ae=?(W0?W)= W?W0= Q2d/(2?0S) 外力作功转换成电场的能量 {用定义式解:A=

2. 洞很细,可认为电荷与电场仍为球对称,由高斯定理可得球体内的电场为 E=(?4?r3/3)/(4??0r2)(r/r) =?r/(3?0)=Qr/(4??0R3) F=?qE=?qQr/(4??0R3)

F为恢复力, 点电荷作谐振动

?1+?2+?3??4=0 ?1+?2=Q1/S ?3+?4=Q2/S

解得 ?1= ?4=(Q1+Q2)/(2S)=2.66?10?8C/m2

?2= ??3=(Q1?Q2)/(2S)=0.89?10?8C/m2 两板间的场强 E=?2/?0=(Q1?Q2)/(2?0S)

V=UA－UB??BAE?dl

=Ed=(Q1?Q2)d/(2?0S)=1V

?F?dl=Fd=QE?d

四、证明题

1. 设在同一导体上有从正感应电荷出发，

=Q[(Q/S)/(2?0)]d= Q2d/(2?0S) }

C 终止于负感应电荷的

电场线.沿电场线ACB作环路ACBA,导体内直线BA的场强为零,ACB的电场与环路同向于是有

B ? ? ? ? A ? ? ? ? ?E?dl=?E?dl?0

与静电场的环路定理?E?dl?0相违背,故

l?E?dl??ACBE?dl?ABl2ACB?qQr/(4??0R3)=md2r/dt2 ?=[ qQ/(4??0mR3)]1/2

因t=0时, r0=a, v0=0,得谐振动A=a,?0=0故点电荷的运动方程为

在同一导体上不存在从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线.

练习7 静电场习题课

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r?acosqQ4??0mR3t

??

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