初中培优竞赛含详细解析 第5讲 分式
更新时间:2023-09-24 11:44:01 阅读量: IT计算机 文档下载
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第5讲 分 式
一、选择题
1.(2、3)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、分式、整体代换)
已知a2?3a+1=0,则4 a2?9a?2+1+a2 的值为( ) A . 3 B.5 C. 3 5 D. 6 5 分析:显然a≠0,由题设得a+a=3,所求式子=4 a2?3a +3a?2+3a=?4+3×3?2=3. 答案:A .
技巧:通过对题设中等式的整体变形,能整体求值的就整体求值代换,这样能简化运算,达到快捷解题的目的.
易错点:代换过程中容易变形失误而致错.
2. (3、4)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、分式)
若4x?3y?6z=0,x+2y?7z=0(xyz≠0),则代数式
5x2+2y2?z22x2?3y2?10z21
9
9
的值为( )
A. ?2 B. ?2 C.-15 D.-13
4x?3y=6z 分析:由题意得 ,解得
x+2y=7z
x=3z
222222
,代人5x+2y?z得5×9z+2×4z?z=
2x2?3y2?10z22×9z2?3×4z2?10z2
y=2z
119
?13.
答案:D.
技巧:将三元化为一元,然后合并同类项再约分是解这类题的常用技巧. 易错点:这类题型在换元的时候容易计算错误.
3. (3、4)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、分式)
已知x,y,,z满足
13
2x
=
3y?z
12
=
5z+x
,则
12
5x?yy+2z
的值为( )
A.1 B. C.? D. 分析:由
2x
=
3y?z
=
5z+x
得2(??+??)=5??,2(?????)=3??,解之得??=3??,??=??. 所
2
3
以
5x?yy+2z
=
5x?3x3x+3x
=?
3
1
答案:B.
技巧:将三元化为一元,然后合并同类项再约分是解这类题的常用技巧. 易错点:这类题型在换元的时候容易计算错误.
二、填空题
4. (3、4)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、填空题、分式)
方程
16
+= 有 组正整数解.
x
y
11
分析:由原方程可得y=
=6?x+6? 又因为y是正整数,所以??+6=9,12,18,36,
x+6
6x36
得??=3,6,12,30,都是正整数. 故原方程共有4组解. 答案:4.
技巧:将一个未知数用另一个未知数表示出来,再根据题设的限制条件(正整数解)来分析可能的正确解.
易错点:这类题型在分析可能解的时候,容易漏解.
5. (2、3)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、填空题、分式) 已知a?
1a
=1,则a8+a8= .
1
1
1
1
分析:三次求平方可得:a2+a2=3,a4+a4=7,a8+a8=47. 答案:47.
1
技巧: a± =a2+2±2,由这一等式,可以根据一个数与其倒数的和很快捷地求出
a
a
12
这个数与其倒数的平方和.
1
易错点:运用等式 a± =a2+2±2的时候,容易掉了等式后面的±2而致错.
a
a
12
6. (3、4)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、填空题、整体代换、分式)
已知??是方程x+x?4=0的根,则
2
1
??3?1??5+??4???3???2= .
分析:由已知??是方程x2+x?=0的根,可得??2+??=?所以
4
4
11
??3?1??5+??4???3???2=
(???1)(??2+??+1)??3(??2+??)???(??2+??)
=
(???1)(??2+??+1)(??3???)(??2+??)
=
(???1)(??2+??+1)(???1)(??2+??)(??2+??)
=
1+1411×44=20.
答案:20.
技巧:整体代换需要找出联系题设与所求式子中的相同的整体,适当的变形或分解因式约分之后进行代换,可以使得运算快捷简便.
易错点:在分解因式和约分时容易分解或约分不当而致错.
三、解答题
7、(3、4)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、分式)
计算:
199319922
199319912+199319932?2
分析:分子分母中的数字都比较大,这时观察式子特点,可以发现19931992与19931991和19931993之间都是相差1,由此入手,可以用更加快捷的方法计算出结果. 详解:设a=19931992,则原式=
a2
(a?1)2+(a+1)2?2
=
a2
a2?2a+1+a2+2a+1?2
=?
2
1
技巧:当数式中出现的数字比较大时,可以考虑用一个简单的字母将其代换再进行运算,往往可以化繁为简. 易错点:代换时易出错.
8、(3、4)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、分式)
1???1
?2???1??+??+1若 9??2?3???1
=
23
,求x的值.
分析:题设所给的等式左边可以化简,故可先把左边化为最简形式再来求x值. 详解:将繁分式的分子、分母分别乘以??3?1,得 原式左边
=
(??2+??+1)?(???1)2
?9??21
=
??2+??+1???2+2???1
?9??2=
3???9??2=?
13??
?
所以
?
13??
=,所以??=?2?
3
12
2
经检验,??=? 符合题意. 答:x值为? .
21
技巧:先化简,再求值,是这类题的一般思路.
易错点:由于分式的分母不能等于0,故分式在约分得出结果之后,一般要对分母是否等于0作出检验,以免出现增根或错解.
9、(3、4)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、分式) 已知
a2+a3+a4
a1
=
a1+a3+a4
a2
=
a1+a2+a4
a3
=
a1+a2+a3
a4
= k,求k的值.
分析:将题设所给的等式化为四个等式之后,再观察式子特点,就会发现求和可以打开思路. 详解:由条件可得,a2+a3+a4=ka1,a1+a3+a4=ka2,a1+a2+a4=ka3,a1+a2+a3=ka4.四式相加得3 a1+a2+a3+a4 =k a1+a2+a3+a4 ,所以(k?3)(??1+??2+a3+a4)=0.所以k=3或a1+a2+a3+a4=0. 当a1+a2+a3+a4=0时,a2+a3+a4=?a1?则k=
a2+a3+a4=?1. 综上可知k=3 或k=-1. a1
答:k的值为3或-1.
技巧:对于这种连等的比例型问题,一般可以设出比例系数,把比例式转化为几个等式再来求解.
易错点:在等式的转化和求解过程中容易忽视分母不能为0的这一潜在规定而致错.
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