四川省威远中学2013-2014学年高二下学期数学综合检测试题(选修2-
更新时间:2024-03-29 20:11:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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2013-2014学年高二下综合测试试题1(选修2-1、2-2)
姓名: 班级: 学号:
一、选择题(每题5分,共50分)
2?i1.复数z?(i是虚数单位)的虚部是( )
2?i4444A.i B.?i C. D.?
55552、若正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面 ABCDABCD的距离为( ) 成60°角,则AC11到底面
3 B.1 C.2 D.3 3x2y23、双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为( )
412A.23 B.2 C. 3 D.1
A.
4.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:
?
①
②
③
按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A.6n?2 B.6n?2 C.8n?2 D.8n?2
5.已知抛物线y2?2px(p?0)上有一点M(4,y),它到焦点F的距离为5,则?OFM的面积
(O为原点)为( ) A. 1 B.2 C.2 D.22 6、已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是边OA,CB的中点,点G在
????????????????线段MN上,且使MG?2GN,用向量 OA,OB,OC表示向量OG是 ( )
????1????1????1????????1????1????2????A.OG?OA?OB?OC B.OG?OA?OB?OC
633633????1????2????2????????????2????2????C.OG?OA?OB?OC D.OG?OA?OB?OC
2333332f(x)??x?ax?x?1在(??,??)上是单调函数,则7.已知函数
实数a的取值范围是( )
A.(??,?3]?[3,??) B.[?3,3] C.(??,?3)?(3,??) D.(?3,3) 8. 空间四边形OABC中,OB=OC,?AOB=?AOC=A.
?3????????cosOA,BC,则的值是( )
D.0
1 2B.
2 2C.?1 2/9、当x在(??,??)上变化时,导函数f(x)的符号变化如下表:
x f/(x) (??,1) 1 0 (1,4) + 4 0 (4,??) - - 则函数f(x)的图象的大致形状为( )
x2y2?2?12ab10.已知F是椭圆(a>b>0)的左焦点, P是椭圆上的一点, PF⊥x轴, OP∥AB(O为
原点),
则该椭圆的离心率是( )
122A.2 B.4 C.2
二、填空题(每小题5分,共25分。) 11.抛物线y?3D. 2
12x的焦点坐标是 . 41?i2012)? 12.i表示虚数单位,则(1?i13.函数f(x)?x3?12x在区间[?3,3]上的最大值是___________.
0
β C A B 14.如图,60的二面角的棱上有两点A,B,直线AC,
BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,
D α 已知AB=4,AC=6,BD=8,则CD=_____________
x22
15、设中心在原点的双曲线与椭圆+y=1有公共焦点,且它们的离心率互为倒数,
2
则该双曲线的方程为________ 三、解答题:(本大题共6小题,共75分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16、(12分)如图,已知三棱锥O?ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA?1,
OB?OC?2,E是OC的中点。(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值; (2)求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值。
17、(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点。 (1)求证:命题“如果直线l过点T(3,0),那么OA?OB=3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由。
18.(12分) 已知f(x)?2ax?
19、(12分)如图,已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长是2,D是侧棱CC1的中点,
直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45.(Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长;
(Ⅱ) 求二面角A?BD?C的大小的正切值; (Ⅲ)求点C到平面ABD的距离. B
?b1?lnx.在x=-1与x?处都取得极值. x21(1)求a、b的值;(2)若对x?[,4]时,f(x)>c恒成立,求实数c的取值范围.
4AA1B1DCC1
f?x??aln?1?x??x2?10xx?320、已知是函数的一个极值点。
(Ⅰ)求a; (Ⅱ)求函数(Ⅲ)若直线y?b与函数
f?x?的单调区间;
的图象有3个交点,求b的取值范围。
y?f?x?x2y2521、(满分13分)已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为,定点M(2,0),椭
ab3圆短轴的端点是B1、B2,且MB1?MB2.(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A,B两点.试问x轴上是否存在定点P,
使PM平分?APB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
高二下综合测试试题1(选修2-1、2-2)参考答案 DDCAB; ABDCA
11、 (0,1) ; 12、1 ; 13、16 ; 14、217;
x22
15、2x-2y=1。由双曲线与椭圆有公共焦点,且椭圆方程为+y=1.知c=2-1=1,e
2
2
2
=
12c12
=,又它们的离心率互为倒数,所以双曲线的离心率为2==,所以a=,b2=
aa222
11
c2-a2=1-=,故双曲线的方程为2x2-2y2=1.
22
16、解:(1)以O为原点,OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 则有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).
????????EB?(2,0,0)?(0,1,0)?(2,?1,0),AC?(0,2,?1) ?22???????????,5 5?5COS
所以异面直线BE与AC所成角的余弦为
?????????????????(2)设平面ABC的法向量为n1?(x,y,z), 则n1?AB知:n1?AB?2x?z?0; ?????????????????n1?AC知:n1?AC?2y?z?0.取n1?(1,1,2),则cos?EB,n??2?1?0?12 55630, 30故BE和平面ABC的所成角的正弦值为
30 30217、证明:(1)解法一:设过点T(3,0)的直线l交抛物线y=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于 A(3,6)、B(3,-6),∴OA?OB?3。
当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x-3),其中k≠0.
?y2?2x12122
得ky-2y-6k=0,则y1y2=-6. 又∵x1=y1, x2=y2, ?22?y?k(x?3)
∴OA?OB=x1x2+y1y2=
1(y1y2)2?y1y2=3. 42
综上所述, 命题“......”是真命题.
解法二:设直线l的方程为my =x-3与y2=2x 联立得到y-2my-6=0
OA?OB=x1x2+y1y2=(my1+3) (my2+3)+ y1y2
=(m+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m+1)× (-6)+3m×2m+9=3
(2)逆命题是:“设直线l交抛物线y=2x于A、B两点,如果OA?OB?3,那么该直线过点T(3,0).”
该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点A(2,2),B(直线AB的方程为y =
2
2
2
2
1,1),此时OA?OB?3=3, 22 (x+1),而T(3,0)不在直线AB上. 3点评:由抛物线y=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足OA?OB?3,可得y1y2=-6。或y1y2=2,如果
y1y2=-6,可证得直线AB过点(3,0);如果y1y2=2, 可证得直线AB过点(-1,0),而不过点(3,0)。
b118、解析:(1)f'(x)?2a?2??0
xx
∵f(x)在x=-1与x?1处取得极值, 2
?2a?b?1?0∴?
2a?4b?2?0?∴f(x)?2x?(2)
?a?1解得?
b??1?
1?lnx x
由于当x?(,)时,y'?0, ∴y在x?(,)上为减函数; 当x?(,4)时,y'?0, ∴y在x?(,4)上为增函数. 因此y最小?f()?3?ln 即3?ln11421142121212121?c恒成立, 2∴c?3?ln2
19、(1)此正三棱柱的侧棱长为22 (2)3
(3)点C到平面ABD的距离为230 10a?2x?101?x20、(Ⅰ)因为 af'?3???6?10?04 所以 因此a?16
f'?x??(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
f?x??16ln?1?x??x2?10x,x???1,???x???1,1???3,???
f'?x??2?x2?4x?3?1?x当
时,
f'?x??0 ; 当
x??1,3?时,
f'?x??0所以
的单调增区间是
f?x???1,1?,?3,??? ; f?x?的单调减区间是?1,3?
??1,1?内单调增加,在?1,3?内单调减少,在?3,???上单调增
f?3??32ln2?21(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
加,
f?x?在
f'?x??0x?1x?3且当或时,
所以因此
f?x?的极大值为
f?1??16ln2?9,极小值为
f?16??162?10?16?16ln2?9?f?1?f?e?2?1???32?11??21?f?所以在
f?x?的三个单调区间
??1,1?,?1,3?,?3,???
f?3??b?f?1?
? 3直线y?b与
y?f?x?的图象各有一个交点,当且仅当
因此,b的取值范围为
?32ln2?21,16ln2?9?。
5a2?b2b2b22?. ?1?21.(Ⅰ)解:由 ?e?, 得 22a39aa依题意△MB1B2是等腰直角三角形,从而b?2,故a?3.
x2y2??1. 所以椭圆C的方程是94(Ⅱ)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x?my?2. 将直线AB的方程与椭圆C的方程联立,
22消去x得 (4m?9)y?16my?20?0.
?16m?20yy?所以 y1?y2?,. 124m2?94m2?9若PM平分?APB,则直线PA,PB的倾斜角互补,所以kPA?kPB?0.
y1y设P(a,0),则有 ?2?0.
x1?ax2?a将 x1?my1?2,x2?my2?2代入上式,
2my1y2?(2?a)(y1?y2)?0,
(my1?2?a)(my2?2?a)所以 2my1y2?(2?a)(y1?y2)?0.
?16m?20yy?将 y1?y2?,代入上式, 124m2?94m2?9整理得 (?2a?9)?m?0.
9由于上式对任意实数m都成立,所以 a?.
29 综上,存在定点P(,0),使PM平分?APB.
2整理得
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