时间序列分析的基本概念

第二章 时间序列分析的基本概念

本章将介绍时间序列分析的一些基本概念，其中关于平稳性、自协方差函数和样本自协方差函数的概念尤为重要。由于时间序列是随机过程的特例，所以我们首先介绍随机过程的一些基础概念和基本理论，最后介绍一些差分方程理论和动态数据的预处理方法。

§2.1 随机过程

在对某些随机现象的变化过程进行研究时，需要考虑无穷多个随机变量，必须用一簇随机变量才能刻画这种随机现象的全部统计特征，这样的随机变量族通常称为随机过程。下面为几个常见的随机过程的例子：

例2.1 (随机游动) 设X1,X2,是一列独立同分布的随机变量序列，令

Sn?S0?X1?X2则称随机变量序列?Sn;n?0,1,?Xn

相互独立（但是不

?为随机游动。其中S0是与X1,X2,同分布）的随机变量，一般地，我们总是假定S0?0。如果

P?Xn?1??P?Xn??1??12

?Sn?就是一般概率论与数理统计教材中提到的简单随机游动。

例2.2 (布朗运动) 英国植物学家布朗注意到漂浮在液面上的微小粒子不断进行无规则的运动，它是分子大量随机碰撞的结果。这种运动后来称为布朗运动。若记(X(t),Y(t))为粒子在平面坐标上的位置，则它是平面上的布朗运动。

例2.3 在通信工程中，电话交换台在时间段[0，t]内接到的呼唤次数是与t有关的随机变量X(t)，对于固定的t，X(t)是一个取非负整数的随机变量，则{X(t),t?[0,?)}是随机过程。

下面介绍随机过程的定义。随机试验所有可能结果组成的集合称为这个试验的样本空间，记为?，其中的元素?称为样本点或基本事件，?的子集A称为事件，样本空间?称为必然事件，空集?称为不可能事件，F是?的某些子集组成的集合组，P是(?,F)上的概率。

定义2.1 随机过程是概率空间(?,F,P)上的一族随机变量{X(t),t?T}，其中t是参数，它属于某个指标集T，T称为参数集。

随机过程可以这样理解：对于固定的样本点?0??，X(t,?0)就是定义在T上的一个函数，称之为X(t)的一条样本路径或一个样本函数；而对于固定的时刻t?T，

X(t)?X(t,?)是概率空间?上的一个随机变量，其取值随着试验的结果而变化，变化的

1

规律成为概率分布。随机过程的取值称为过程所处的状态，状态的全体称为状态空间，记为S。根据T及S的不同，过程可以分成不同的类：依照状态空间可分为连续状态和离散状态；依照参数集可分为离散参数和连续参数过程。

对于一维随机变量，掌握了它的分布函数就能完全了解该随机变量。对于多维随机变量，掌握了它们的联合分布函数就能确定它们的所有统计特性。对于由一族或多个随机变量形成的随机过程，要采用有限维分布函数族来刻画其统计特性。

定义2.2 随机过程的一维分布，二维分布，…，n维分布，等等，其全体

{Ft1,?,tn(x1,?,xn),t1,?,tn?T,n?1}

称为过程X(t)的有限维分布族。

一个随机过程的有限维分布族具有如下两个性质： （1）对称性：

对(1,2,?,n)的任一排列(j1,j2,?,jn)，有

Ftj,?,tj(xj1,?,xjn)?Ft1,?,tn(x1,?,xn) (2.1)

1n（2）相容性：

对m?n，有Ft1,?,tm,tm?1,?,tn(x1,?,xm,?,?,?)?Ft1,?,tm(x1,?,xm) (2.2) 对于满足对称性和相容性条件的分布函数族F，是否一定存在一个以F作为有限维分布函数族的随机过程呢？柯尔莫哥洛夫定理给出了确定的结论。

定理2.1 （柯尔莫哥洛夫定理）设分布函数族{Ft1,?,tn(x1,?,xn),t1,?,tn?T,n?1}满足上述的对称性和相容性，则必存在一个随机过程{X(t),t?T}，使

{Ft1,?,tn(x1,?,xn),t1,?,tn?T,n?1}恰好是X(t)的有限维分布族。

柯尔莫哥洛夫定理说明，随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际问题中，要掌握随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，一般是利用随机过程的某些统计特征，如下是一些常用的统计特征：

定义2.3 设{X(t),t?T}是一个随机过程，如果对任意t?T，E[X(t)]存在，则称函数 ?X(t)?E[X(t)],t?T (2.3) 为{X(t),t?T}的均值函数。称

rX(s,t)?E[(X(s)??X(s))(X(t)??X(t))],s,t?T (2.4)

2

为{X(t),t?T}的协方差函数。称

DX(t)?rX(t,t)?E[X(t)??X(t)]2,s,t?T (2.5)

为{X(t),t?T}的方差函数。

均值函数是随机过程{X(t),t?T}在时刻t的平均值，方差函数是随机过程在时刻t对均值?X(t)的偏离程度，而协方差函数和相关函数则反映了随机过程在时刻s和t时的线性相关程度。

§2.2 平稳过程的特征及遍历性

有一类重要的过程，它处于某种平稳状态，其主要性质与变量之间的时间间隔有关，与所考察的起始点无关，这样的过程称为平稳过程。

定义2.4 如果随机过程{X(t),t?T}对任意的t1,?,tn?T和任意的h（使得

ti?h?T,i?1,2,?,n），有：

(X(t1?h),X(t2?h),?,X(tn?h))与(X(t1),X(t2),?,X(tn))具有相同的联合分

布，记为

d(X(t1?h),X(t2?h),?,X(tn?h))?(X(t1),X(t2),?,X(tn)) (2.6)

则称{X(t),t?T}为严平稳的。

对于严平稳过程而言，有限维分布关于时间是平移不变的，条件很强，不容易验证。所以引入另一种所谓的宽平稳过程或二阶平稳过程。

定义2.5 设{X(t),t?T}是一个随机过程，若{X(t),t?T}的所有二阶矩都存在，并且对任意t?T，E[X(t)]??为常数，对任意s,t?T，r(s,t)只与时间差t?s有关，则称{X(t),t?T}为宽平稳过程，简称平稳过程。若T是离散集，则称平稳过程{X(t),t?T}为平

稳序列。

例2.4 随机过程定义为{X(t)?f(t??),0?t??}，其中f(t)是具有周期T的函数，

?是区间(0,T)上均匀分布的随机变量。问X(t)是否宽平稳过程？给出理由。

解：f(t)是具有周期T的函数，因而是有界函数，?是区间(0,T)上均匀分布的随机变量，因而E(X(t))??0f(t??)?T11Td???0f(t??)?d(??t)?0，为常数， TTr(t,s))?E[(X(t)?E(X(t)))?(X(s)?E(X(s)))]

?E(X(t)X(s))

T ??0f(t??)f(t???(s?t))?1d? T 3

=??Var(X(t)),t?s?nT;

0,t?s?nT?因而X(t)的二阶矩都存在，均值函数为常数，协方差函数r(s,t)只与t?s有关，因而是宽平稳过程。

对于平稳过程而言，由于r(s,t)?r(0,t?s)，所以可以记为r(t?s)。对所有的t有

r(?t)?r(t)，即为偶函数。所以r(t)的图形关于坐标轴对称，其在0点的值就是X(t)的

方差，并且r(t)?r(0)。此外，宽平稳过程的协方差函数具有非负定性，即对任意时刻tn，

实数an，n?1,2,?,N，有

NNn?1m?1??anamr(tn?tm)?0

平稳随机过程的统计特征完全由其二阶矩函数确定。对固定时刻t，均值函数和协方差函数是随机变量X(t)的取值在样本空间?上的概率平均，是由X(t)的分布函数确定的，通常很难求得。在实际中，如果已知一个较长时间的样本记录，是否可按照时间取平均代替统计平均呢？这是平稳过程的遍历性所要讨论的问题。

由大数定律，设独立同分布的随机变量序列{Xn,n?1,2,?}具有EXn??，

DXn??2，则

?1N?limP??Xk??????1 N???Nk?1?1N这里，若将随机序列{Xn,n?1,2,?}看作是具有离散参数的随机过程，则?Xk为

Nk?1随机过程的样本函数按不同时刻所取的平均值，该函数随样本不同而变化，是随机变量。而

EXn??是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计平均。大数定律表明，随时间

n的无限增长，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。那么，只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够遍历各种可能状态。这种特性称为遍历性或各态历经性。

定义2.6 设{X(t),???t???}为均方连续的平稳过程，则分别称

1T?X(t)dt (2.7) T??2T?T1T?X(t)X(t??)??lim?X(t)X(t??)dt (2.8) T??2T?T?X(t)??lim为该过程的时间均值和时间相关函数。

定义2.7设{X(t),???t???}为均方连续的平稳过程，若

1T?X(t)dt??X (2.9) T??2T?Tlim

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则称该平稳过程的均值具有各态历经性。

若

lim1T?X(t)X(t??)dt?rX(?) (2.10) T??2T?T则称该平稳过程的协方差函数具有各态历经性。

定义2.8如果均方连续的平稳过程的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性。

定理2.2 （均值遍历性定理）

（1）设X?{Xn,n?0,?1,?2}是平稳序列，其协方差函数为r(t)，则X具有遍历性的充分必要条件是

1N?1lim?r(t)?0 (2.11) N??Nt?0（2）设X?{Xt,???t??}是平稳过程，则X具有遍历性的充分必要条件是

12T?(1?)r(?)d??0 (2.12) ?T??T02Tlim证明：由于证明的思路相同，这里只证明连续时间的均值遍历性定理。首先计算X的均值和方差。记

XT?则有

1T??TX(t)dt 2TEX?E[limXT]?limE(XT)?limT??T??1T?EX(t)dt T??2T?T进而

var(X)?E(X?EX)2

?Elim[T??1T2??T(X(t)??)dt] 2T?lim1TE[??T(X(t)??)dt]2 2T??4T?lim1TT??E[(X(t)??)(X(s)??)]dtds T??4T2?T?T?lim在上述积分中，作变换

1TT???(t?s)dtds (2.13) T??4T2?T?T???t?s???t?s ?

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则变换的Jacobi行列式值为

J?1?111?1=

1 2因而积分区域变换为顶点分别在?轴和?轴上的菱形区域：?2T?????2T。由于

?(?)是偶函数，故(2.13)式等于

12T2T???(?)d???d? ??2T(2T??)2T??8Tlim?lim?lim12T??(?)(2T??)d? T??4T2?2T12T??(?)(2T??)d? T??2T2012T??(?)(1?)d? (2.14) ?T??T02T?lim故关于均值的遍历性定理就化为上式极限是否趋于零的问题。于是由均方收敛的定义知这确实是等价的，定理结论得证。

推论2.1 若???r(t)dt??，则均值遍历性定理成立。

证明：当0?t?2T时，(1?t/2T)r(t)?r(t) (2.15)

?12Tt12T(1?)r(t)dt???r(t)dt T0TT0 ?1??r(t)dt T0 ?0 (2.16) 对于平稳过程的协方差函数的遍历性定理，可以考虑随机过程

Y??{Y?(t),???t??}，其中

Y?(t)?(X(t??)??)(X(t)??)

则EY?(t)?r(?)。由定理的证明过程可见，均值具有遍历性等价于var(X)?0。因此可以类推协方差函数具有遍历性等价于var(r(?))?0。于是有以下定理：

定理2.1.3 （协方差函数遍历性定理）

设X?{Xt,???t??}是平稳过程，其均值函数为零，则协方差函数有遍历性的充分必要条件是

12T?1(1?)(B(?1)?r2(0))d?1?0 (2.17) ?0T??T2Tlim

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其中

B(?1)?EX(t????1)X(t??1)X(t??)X(t) (2.18)

在实际问题中，要严格验证平稳过程是否满足遍历性的条件是比较困难的。遍历性定理的重要意义在于从理论上给出如下结论：一个实平稳过程，如果它是遍历的，则可用任意一个样本函数的时间平均代替平稳过程的统计平均。

在时间序列分析中，还会经常遇到白噪声过程，定义如下：

定义2.9如果随机过程X(t)(t?1,2,?)是由一个不相关的随机变量序列构成，即对于所有s?t，随机变量Xt和Xs的协方差均为零，即随机变量Xt和Xs互不相关，则称其为纯随机过程。对于一个纯随机过程来说，若其期望和方差都为常数，则称其为白噪声过程。白噪声过程的样本实现称为白噪声序列（White noise）。

特别地，对于白噪声序列??t?，如果对于任意的s,t，

E?t??,则称??t?是一个白噪声序列，记为?t

??2cov??t,?s????0WN??,?2?。

s?t s?t (2.19)

当??t?独立时，称??t?是一个独立的白噪声序列。

对于一个独立的白噪声序列，当?t服从正态分布时，称??t?是一个正态白噪声序列。

下面是随机产生的1000个服从标准正态分布的白噪声序列绘制的序列图，见图2.1。

图2.1 标准正态白噪声序列

§2.3 线性差分方程

2.3.1一阶差分方程

假定当前时期t期的y（输出变量）和另一个变量?（输入变量）、及前一期的y之间存在如下动态方程：

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yt??yt?1?? (2.20)

则此方程称为一阶线性差分方程，这里假定?为一个确定性的数值序列。差分方程就是关于一个变量与它的前期值之间关系的表达式。 （1）用递归替代法解差分方程

根据方程（2.20），如果我们知道t??1期的初始值动态系统得到任何一个时期的值，即

y?1和?的各期值，则可以通过

yt??t?1y?1??t?0??t?1?1????t (2.21)

这个过程称为差分方程的递归解法。 （2）动态乘子：

对于方程（2.21），如果?0随y?1变动，而w1,w2,?,wt都与y?1无关，则?0对yt的影响为：

?y?yt??t或t?j??j (2.22) ??0??t方程（2.22）称为动态系统的乘子，或脉冲响应函数（即暂时性影响）。动态乘子依赖于j，即 输入?t的扰动和输出yt?j的观察值之间的时间间隔。

对于方程（2.20），当0???1时，动态乘子按几何方式衰减到零；当?1???0，动态乘子振荡衰减到零；??1，动态乘子指数增加；????1，动态乘子发散性振荡。因此，??1，动态系统稳定，即给定?t的变化的后果将逐渐消失。??1，系统发散。

当??1时，此时yt?y?1??0??1????t，即输出变量的增量是所有输入?的历 史值之和。

如果?产生持久性变化，即?t,?t?1,?,?t?j都增加一个单位，此时持久性影响为：

?yt?j??t??yt?j??t?1????yt?j??t?j??j??j?1?????1 (2.23)

当??1时，且j??时，持久性影响为

??yt?j?yt?j?yt?j?1lim??????1??????j?1??j??? (2.24) ?j??????t?j?1????t??t?1?如果考察?t的一个暂时性变化对输出y的累积性影响，则和长期影响一致。 2.3.2 p阶差分方程

如果动态系统中的输出yt依赖于它的p期滞后值以及输入变量?t:

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yt??1yt?1??2yt?2????pyt?p??t??????????????????????????????????????(2.25)

此时可以写成向量的形式，定义

?yt???1?2?y??10t?1????t??yt?2?, F??01??????????yt?p?1???00??从而（2.25）写成向量形式：

??p?1?p???t??0??00?????00?, vt??0?

???????????010???0??????????????????????????????????????????????????????t?F?t?1?vt???????????????????????????????????????????????????????????(2.26)

这个系统由p个方程组成，为了便于处理，将p阶数量系统变成一阶向量系统。

0期的?值为： ?0?F??1?v0

21期的?值为： ?1?F?0?v1?F(F??1?v0)?v1?F??1?Fv0?v1 t?1tt?1t?2t期的?值为： ?t?F??1?Fv0?Fv1?Fv2??Fvt?1?vt

写成?和v的形式为：

?yt??y?1???0???1???t?1???t??y??y??0??0??0??0?t?1?2????????????t?1tt?11?yt?2??F?y?3??F?0??F?0????F?0???0? (2.27) ???????????????????????????????yt?p?1??y?p?????0???0???0????0??????该系统中的第一个方程代表了yt的值。令

(t)f12(t)tf11表示F中第（1, 1）个元素，

表示F中第（1, 2）个元素等等。于是yt的值为：

(j?1)(j?1)(j?1)yt?j?f11yt?1?f12yt?2?f13yt?3???f1(pj?1)yt?p

(j)(j?1)(1)?f11?t?f11?t?1???f11?t?j?1??t?j (2.28)

t表示成初始值和输入变量历史值的函数，此时p 阶差分方程的动态乘子：

?yt?j??tj(j) (2.29) ?f11是F的(1,1)元素。因此对于任何一个p阶差分方程，

?yt?1?y2??1,t?2??1??2 (2.30) ??t??t对于更大j值，通过分析表达式（2.28）就非常有用。通过矩阵F的特征根进行求解。

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矩阵F的特征根为满足下式的?值：

F??Ip?0 (2.31)

对于一个p阶系统，行列式（2.31）为特征根?的p阶多项式，多项式的p个解是F 的p个特征根。

定理2.4 矩阵F的特征根由满足下式的?值组成：

?p??1?p?1??2?p?2????p?1???p?0 (2.32)

证明：考虑具有相异特征根的p阶差分方程的通解，此时存在一个p?p阶非奇异矩阵T，满足：

F?T?T?1

F2?T?T?1T?T?1?T?2T?1

?

Fj?T?jT?1 (2.33)

其中?是一个

p?p矩阵，主对角线由F的特征根组成，其它元素为零。令tij表示T

ij的第i行、第j列的元素，t表示T?1的第i行、第j列的元素。则有：

?t11t12?tt2221j?F??????tp1tp2?j?t1p???1j??t2p???0????????tpp????00?2j?00??t11t12??0??t21t22???????jp1p20??ptt????0?0????t1p???t2p? (2.34) ?????tpp??因此F的第（1, 1）个元素为：

(j)jj (2.35) f11?c1?1j?c2?2???cp?pi1?1其中ci?t1it。因为?ci??t1it?TT?1。将（2.35）代入（2.29），得到p阶差分方

i?1i?1i1pp程的动态乘子：

?yt?j??t(j)jj (2.36) ?f11?c1?1j?c2?2???cp?p定理2.5 如果矩阵F特征值是相异的，则

ci??ip?1?(?i??k)k?1k?ip (2.37)

因此求出F的特征值?，就可以求出相应的ci，由此就可以根据（2.36）计算得到动态乘子。

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而分组区间数目为k?r?2，其中r为最小区间数。以上三个参数确定之后就可以计算样本概率密度。 2.4.3独立性检验

在时间序列分析和建模过程中，除了要求检验样本数据的平稳性和正态性之外，还要求检验其独立性。本节介绍的独立性方法是基于正态随机变量自相关函数的统计性质。

设随机变量X~N(0,?)，其自相关函数

2?(r)???1,r?0 (2.55)

0,r?0??(r)，一般不等当r?1时，?(r)?0。实际中我们只能得到样本自相关系数的估计值?于0，从自相关系数的估计值判断是否满足独立性条件，需要借助Bartlett公式。

Bartlett公式：若?(r)在r?M时趋于零，则在N足够大的情况下其方差为

1M2?(r)]??(m)(r?M) (2.56) D[???Nm??M?(r)近似于正态分布。 并且，当r?M时，??(r)是白噪声的自相关系数，则M?0 若??(r)]?D[?1N(r?0) (2.57)

根据统计检验的2?准则，当

?(r)?1.96?11?2 (2.58) NN或

?(r)?2 (2.59) N??(r)为零的可能性是95%，从而接受??(r)?0(r?0)这一估计，即数据是独时，便可认为?立的。

?(r)(r?0)超出式（2.57）所约束的范围，可以采用另一种检验该随机变如果有个别?量是否独立的整体检验方法。考虑到r?1时，白噪声序列的样本自相关分布渐近于正态分

?(1),布，或是说当N较大时，{N??(2),?,N??(k)}这k个量近似为相互独立的正N?2态随机变量N(0,1)，因而它们的平方和符合?分布。构造统计量为

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?2(r) (2.60) Q?N??r?1k则检验x1,x2,?,xN是否为白噪声样本值的问题可转化为检验统计量Q是否是自由度为k的?分布问题。

具体算法是：以“{xt}为白噪声”做原假设，以?为显著水平，则根据?和自由度k由?分布表查出相应的?a(k)值，并与计算出的Q值比较。如果

2Q??a(k) (2.61)

222则肯定原假设，即在(1??)的置信水平上接受{xt}为独立的假定。如果

2Q??a(k) (2.62)

则否定原假设。

2.4.4离群点的检验与处理

离群点是指一个时间序列中，远离序列一般水平的极端大值和极端小值，也成为奇异值或野值。形成离群点的原因是多种多样的，例如由于数据传输过程、采样及记录过程中发生信号失真或丢失等而产生，又如研究现象本身由于受各种偶然非正常的因素影响而形成离群点等等。不论何种原因引起离群点，通常都会在之后的时间序列分析中带来误差，影响建立时序模型的精度。在得到时间序列以后，首先要检查是否存在离群点，下面介绍一种线性外推的方法来寻找和剔出离群点。

该方法是将时间序列值与平滑值进行比较，认为正常的数据是“平滑的”，而离群点是“突变的”。用Xi表示先对序列进行平滑、再平方得到的数值，Xi2表示先对序列取平方、再做平滑而得到的数值，用Si表示方差，有Si=Xi2－Xi，如果

Xi?1?Xi?kSi (2.63) 则认为Xt?1是正常的，否则认为Xt?1是一个离群点。K是常数，一般取3-9的整数。

2222?来代替，即 如果Xt?1是离群点，则可用Xt?1??2X?X (2.64) Xt?1ii?1为避免出现无休止的外推计算，建议事先规定连续外推的次数，因为接连检测到一些离群点后，最终的外推结果可能偏离很远，以致会排出本来是很正常的数据点。

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习题二

2.1

EVIEWS软件介绍(Ⅱ)

借助Eviews5.1，我们可以很方便的判断一个时间序列是否平稳以及是否为纯随即性序

列。作出判断的步骤如下：

一、绘制时间序列图

时序图可以大致看出序列的平稳性，平稳序列的时序图应该显示出序列始终围绕一个

常数值波动，且波动的范围不大。如果观察序列的时序图显示出该序列有明显的趋势或周期，那它通常不是平稳序列，现以例子来说明。

例1、1964-1999年中国纱年产量序列（单位：万吨）。

按照第一章的方法建立工作文件和导入外部Excel文件，创建新序列SHA，如图2.2。点击主菜单Quick/Graph就可作图，见图2.3，分别是折线图（Line graph）、条形图（Bar graph）、散点图（Scatter）等，也可双击序列名，出现显示电子表格的序列观测值，然后点击工具栏的View/Graph。如果选择折线图，出现图2.4的对话框，在此对话框中键入要做图的序列，点击OK则出现折线图，横轴表示时间，纵轴表示纱产量，见图2.5，选择图2.5上工具栏options可以对折线图做相应修饰。点击主菜单的Edit/Copy，然后粘贴到文档就变成了如图2.6的折线图。

图2.2

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图2.3

图2.4

图2.5

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600500400300200100019651970197519801985SHA19901995 图2.6

从图1.5可以看出，纱产量呈现波动中上升的趋势，显然不平稳，所以不是一个平稳序列。这一结论，还可以通过平稳性统计检验来进一步说明。

二、平稳性判断

例1续. 为了进一步的判断序列SHA的平稳性，需要绘制出该序列的自相关图。双击序列名sha出现序列观测值的电子表格工作文件，点击View/Correlogram，出现图1.6的相关图设定对话框，上面选项要求选择对谁计算自相关系数：原始序列（Level）、一阶差分（1st difference）和二阶差分（2nd difference），默认是对原始序列显示相关图。下面指定相关图显示的最大滞后阶数k，若观测值较多，k可取?T/10?或?T?；若样本量较小k一般取?T/4???（T表示时间序列观测值个数，?。若序列是季节数据，一般k?表明不超过其的最大整数）

取季节周期的整数倍。设定完毕点击OK就出现图1.7的序列相关图和相应的统计量。

图2.7

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图2.8

相关图的左半部分是自相关和偏自相关分析图，垂立的两道虚线表示2倍标准差。右半部分是滞后阶数、自相关系数、偏自相关系数、Q统计量和相伴的概率。从自相关和偏自相关分析图可以看出自相关系数趋向0的速度相当缓慢，且滞后6阶之后自相关系数才落入2倍标准差范围以内，并且呈现一种三角对称的形式，这是具有单调趋势的时间序列典型的自相关图的形式，进一步表明序列是非平稳的。 三、纯随机性判断

一个时间序列是否有分析价值，要看序列观测值之间是否有一定的相关性，若序列各项之间不存在相关，即相应滞后阶数的自相关系数与0没有显著性差异，序列为白噪声序列，则图1.7中Q统计量正是对序列是否是白噪声序列即纯随机序列进行的统计检验，该检验的原假设和备择假设分别为：

H0：?1=?2=...=?m=0, ?m?1

H1：至少存在某个?k?0, ?m?1,k?m

在图2.8中，由每个Q统计量的伴随概率可以看出，都是拒绝原假设的，说明至少存在某个k，使得滞后k期的自相关系数显著非0，也即拒绝序列是白噪声序列的原假设。

进行时间序列分析，我们希望序列是平稳的，且非随机的，若随机，前后观察值之间没有任何关系，没有信息可以提取。所以我们在研究时间序列之前，首先要对其平稳性和随机性进行检验，目的是对平稳且非随机序列进行研究。

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