广东省广州市高山文化培训学校2015届高三模拟(二)数学理试题含答案

广东省广州市高山文化培训学校2015届高三模拟题(二)理科数学试卷

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A．2．圆A．C．

B．

与直线 B． D．

C．

，则集合 D．

＝（ ）

没有公共点的充要条件是（ ）

3．复数的虚部是（ ）

A． B． C． D．

，则

4．设P为曲线C：

点P横坐标的取值范围为（ ）

上的点，且曲线C在点P处切线斜率的取值范围为

A． B． C． D．

5．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）

A． B． C． D．

，则

（ ）

6．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足

A． B． C． D．

7．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准

线的距离之和的最小值为（ ）

A．

B． C． D．

- 1 -

8．设是连续的偶函数，且当x>0

时是单调函数，则满足的所

有x之和为（ ）

A．

B． C．

D．

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．注意：答案不完整不给分) 9．设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4；

则

.

（

1，2，3，4）.

10、函数

闭图形的面积为 11、 已知函数

的图象与x轴所围成的封

图像上任意一点处的切线的斜率都小于1，

则实数的取值范围是 ；

12．已知无最大值，则

＝__________．

是椭圆

，且在区间有最小值，

13．(坐标系与参数方程选做题) 点最大值为 ** ．

上的一个动点，则的

14．(不等式选讲选做题) 在三角形中，所对的边长分别为

， 其外接圆的半径值为 *** 。

，则的最小

15.(几何证明选讲选做题) 如右图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于P，连结AD，

BD。已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长为．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分）

- 2 -

已知向量，，

（1）若⊥, 且－＜＜． 求； （2）求函数

17．（本小题满分12分）

某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100

周的统计结果如下表所示：

周销售量 频数

2

20

3 50

4 30

的单调增区间和函数图像的对称轴方程．

（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；

（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望． 18.（本小题满分14分）

如图，四棱锥

，侧面

为

的中点．

中，底面底面

，且

是直角梯形，

，

，，

为等腰直角三角形，

(Ⅰ)求证：

(Ⅱ)求证：(Ⅲ)求二面角19．(本小题满分14分)

平面

； 的正切值．

；

已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。

相切的圆的方程；

（1）求过点O、F，并且与直线：

- 3 -

（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段

AB的垂直平分线与

轴交

于点G，求点G横坐标的取值范围． 20．（本小题满分14分） 在数列（

，）

，

的通项公式，并证明你的结论；

中，a1=2，b1=4，且

成等差数列，

成等比数列

（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测

（Ⅱ）证明：．

21、（本小题满分14分）

已知函数f(x)=mx3+nx2(m、n∈R ,m≠0)的图像在（2，f(2)）处的切线与x轴平行. （1）求n，m的关系式并求f(x)的单调减区间；

（2）证明：对任意实数0<x1<x2<1, 关于x的方程：

在（x1,x2）恒有实数解

（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f(x)是在闭区间[a,b]上连

续不断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则在(a,b)内至少存在一点x0，使得

.如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定

理条件.试用拉格朗日中值定理证明：

当0<a<b时，（可不用证明函数的连续性和可导性）

广州高山文化培训学校高考模拟题(二)

理科数学试卷参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，共60分． 1．D 2．C 3．B 4．D 5． C 6．A 7．A 8．C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

9 . 10.、 11. 14.

12．

13. 三、解答题 16、解(1).

15. 8

------------------------------------------2分

- 4 -

- 5 -

18．【解】 解法一：(Ⅰ)取的中点，连结． ……1分

， ，且是正三角形，平面

．

． ………………………………………2分 ，

． ……………3分

． ……………………4分

(Ⅱ)取

的中点分别为

，联结

，

的中点，

，且

∵四边形

且

∴四边形

． ………………5分

且

，

是直角梯形，

． ………………………6分

是平行四边形．

． ………………………8分 平面平面

(Ⅲ)取∵四边形

的中点

，

． ………………………9分 ，联结

． ，

- 6 -

是直角梯形且

，平面

， 是二面角

设

、

，则分别为

、，

．

的平面角． ………………11分 ． 中点，

．

是等腰直角三角形斜边的中点，． ……………13分

，

∴二面角的正切值为． ………………………………………14分

解法二：(Ⅰ)同解法1 (Ⅱ) ∵侧面又

底面， ． ．

∴直线

两两互相垂直，故可以分别以直线

为轴、轴和轴

， 底面

．

建立如图所示的空间直角坐标系设

，

，则可求得

． …………………………6分

，则

- 7 -

．

………7分

且，即

，

．

，即．

． ……………8分

设

是平面

的法向量，则

且

．

取

，得

． ……………………………………………9分

是的中点， ．

．

．

． ………………………10分 平面

，

- 8 -

平面

(Ⅲ)

是平面

平面

． ………………………11分

，

的法向量， ………………………12分

………………………13分

∴二面角

的正切值为

． ………………………14分

19．解：（1）

圆过点O、F， 圆心M在直线上，

设 则圆半径

由得解得

所求圆的方程为

（2）设直线AB的方程为

代入整理得 ----------- 7分

- 9 -

记

直线AB过椭圆的左焦点F，

中点

方程有两个不等实根。-----------8分

则----------- 9分

的垂直平分线NG的方程为令

得

----------- 10分

点G横坐标的取值范围为

20．本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分14分． 解：（Ⅰ）由条件得由此可得

．················································ 2分

猜测

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立． ②假设当n=k时，结论成立，即

，······················································································· 5分

那么当n=k+1时，

．················································································ 4分

．

所以当n=k+1时，结论也成立．···················································································· 7分 由①②，可知

对一切正整数都成立．······································ 8分

- 10 -

（Ⅱ）

n≥2时，由（Ⅰ）知

．

····························································································· 9分

．········································· 11分

故

····································································· 13分

综上，原不等式成立． ······························································································· 14分 21、解：(1)因为f’(x)=3mx+2nx, ------1分 由已知有f’(2)=0,所以3m+n=0即n=-3m --- ---2分 即f’(x)=3mx-6mx,由f’(x)>0知mx(x-2)>0.

当m>0时得x<0或x>2，f(x)的减区间为（0，2）； -----3分

当m<0时得：0<x<2,f(x)的减区间为（-∞，0）和（2，+∞）； -----4分 综上所述：当m>0时，f(x)的减区间为（0，2）；

当m<0时,f(x)的减区间为（-∞，0）和（2，+∞）； -----5分

2

2

------ ------6分

可化为3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2=0,令h(x)= 3x2-6x-x12-x22-x1x2+3x1+3x2-------7分 则h(x1)=(x1-x2)(2x1+x2-3),h(x2)=(x2-x1)(x1+2x2-3),

即h(x1)h(x2)=-(x1-x2)2(2x1+x2-3)(x1+2x2-3) 又因为0<x1<x2<1,所以(2x1+x2-3)<0,(x1+2x2-3)<0, 即h(x1)h(x2)<0, -----------8分

故h(x)=0在区间(x1,x2)内必有解，

即关于x的方程

在（x1,x2）恒有实数解-----9分

（3）令g(x)=lnx,x∈(a,b)， -----------10分

则g(x)符合拉格朗日中值定理的条件,即存在x0∈（a,b）,使

-----------11分

- 11 -

因为g’(x)=,由x∈(a,b),0<a<b可知g’(x)∈(),b-a>0 -----12分

即

-----14

- 12 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/l57j.html