固体物理导论部分考前复习试题

第一章

1.以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中原子数之比.

解：设原子的半径为R, 体心立方(bcc)晶胞的体对角线为4R, 晶胞的边长为

, 晶胞的体积为

, 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为

; 面心立方(fcc)晶胞的边长为

,单位体积晶体中的原子数为

, 晶胞的体积为

, 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为

. 因此, 同体积的体心和面心

, 单位体积晶体中的原子数为

立方晶体中的原子数之比为 =0.918.

2.解理面是指低指数的晶面还是高指数的晶面？为什么？

解：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行

解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.

3.基矢为a1=ai a2=aj a3=a（i+j+k）/2的晶体为何种结构？

解：有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积

由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的

矢量

,

,

.

对应体心立方结构. 根据14题可以验证,

可见基矢为

,

,

满足选作基矢的充分条件.

的晶体为体心立方结构.

若 + ,

则晶体的原胞的体积,该晶体仍为体心立方结构.

4. 面心立方元素晶体中最小晶列周期多大？该晶列在哪些晶面内？

解： 周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内. 若以密堆积模型, 则原子面密度最大的晶面就是密排面. [l1,l2,l3]晶列上格点周期为

∣Rl∣=∣l1a+l2a+l3a∣ 密勒指数(111)是一个密排面晶面族, 最小的晶列周期为∣Rl∣= 的性质, 周期最小的晶列处于{111}面内. 5.在晶体衍射中，为什么不能用可见光？

. 根据同族晶面族

解：晶体中原子间距的数量级为

波的波长应小于

米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光

米, 是晶体中原子间距的

米. 但可见光的波长为7.6?4.0

1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光.

6.高指数的晶面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，哪一晶面族衍射光弱？为什么？

解：对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式

可知, 面间距

大的晶面, 对应一个小的光的掠射角 . 面间距 小的晶面,

对应一个大的光的掠射角 . 越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.

7.确定fcc结构中粒子密度最大的晶面.

8.温度升高时，衍射角如何变化？X光波长变化是，衍射角如何变化？

解：温度升高时, 由于热膨胀, 面间距

逐渐变大. 由布拉格反射公式

可知, 对应同一级衍射, 当X光波长不变时, 面间距

渐变小.所以温度升高, 衍射角变小.

逐渐变大, 衍射角 逐

当温度不变, X光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角 随之变大.

5. 晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基矢

、

和

重合，除O点外,OA、OB和OC上是否有格点？ 若ABC面的指数为（234），

情况又如何？

[解答]

晶面族（123）截

面，OA的长度等于 是格点.

6. 验证晶面（

），（

）和（012）是否属于同一晶带. 若是同一晶带, 其

、

和

分别为1、2、3等份，ABC面是离原点O最近的晶

的长度的1/2，OC的长度等于

的长

的长度，OB的长度等于

度的1/3，所以只有A点是格点. 若ABC面的指数为(234)的晶面族, 则A、B和C都不

带轴方向的晶列指数是什么?

[解答]

由习题12可知,若（

），（

）和（012）属于同一晶带, 则由它们构成的

行列式的值必定为0.可以验证

说明(

），（

=0,

）和（012）属于同一晶带.

晶带中任两晶面的交线的方向即是带轴的方向. 由习题13可知, 带轴方向晶列[l1l2l3]的取值为

l1= =1, l2= =2, l3= =1.

7．带轴为[001]的晶带各晶面，其面指数有何特点？

[解答] 带轴为[001]的晶带各晶面平行于[001]方向，即各晶面平行于晶胞坐标系的 轴或原胞坐标系的 为0.

8. 与晶列[l1l2l3]垂直的倒格面的面指数是什么?

[解答]正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面(h1h2h3)与倒格式

垂直, 则倒格晶面(l1l2l3)与正格矢 倒格面(l1l2l3) 垂直.

9. 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的?

轴，各晶面的面指数形为（hk0）或（h1h20）, 即第三个数字一定

h1 +h2 +h3

l1 + l2 + l3 正交. 即晶列[l1l2l3]与

[解答]在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.

10. 六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子?

[解答] 六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体)包含两个原子. 12. 面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大? 该晶列在哪些晶面内? [解答]周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内. 若以密堆积模型, 则原子面密度最大的晶面就是密排面. 由图1.9可知密勒指数(111)[可以证明原胞坐标系中的面指数也为(111)]是一个密排面晶面族, 最小的晶列周期为 族的性质, 周期最小的晶列处于{111}面内.

13. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ [解答]晶体中原子间距的数量级为 的波长应小于

米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波

米, 是晶体中原子间距的

. 根据同族晶面

米. 但可见光的波长为7.6?4.0

1000倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光.

14. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么?

[解答]对于同级衍射, 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密度大, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小, 这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式

可知, 面间距

小的晶面,

大的晶面, 对应一个小的光的掠射角 . 面间距

对应一个大的光的掠射角 . 越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.

15. 温度升高时, 衍射角如何变化? X光波长变化时, 衍射角如何变化? [解答]温度升高时, 由于热膨胀, 面间距

逐渐变大, 衍射角 逐

逐渐变大. 由布拉格反射公式

可知, 对应同一级衍射, 当X光波长不变时, 面间距

渐变小.所以温度升高, 衍射角变小.

当温度不变, X光波长变大时, 对于同一晶面族, 衍射角 随之变大. 18. 金刚石和硅、锗的几何结构因子有何异同? [解答] 取几何结构因子的(1.44)表达式

,

轴上投影的系数.

其中uj,vj,wj是任一个晶胞内,第j个原子的位置矢量在

金刚石和硅、锗具有相同的结构, 尽管它们的 矢量在

大小不相同, 但第j个原子的位置

都一样,

轴上投影的系数相同. 如果认为晶胞内各个原子的散射因子

则几何结构因子化为

.

在这种情况下金刚石和硅、锗的几何结构因子的求和部分相同. 由于金刚石和硅、锗原子中的电子数和分布不同, 几何结构因子中的原子散射因子

不会相同.

第二章

1.离子键，金属键，共价键，范德瓦尔斯键和氢键中，哪些键可能形成绝缘体和半导体？哪些键具有饱和性和方向性？为什么？ 解：

2.试证由两种离子组成的，间距为R的一维晶格的马德隆常数M=2Ln2. 3.只考虑最近邻和次近邻，试计算Nacl和Cscl结构的马德隆常数. 1.是否有与库仑力无关的晶体结合类型?

[解答]共价结合中, 电子虽然不能脱离电负性大的原子, 但靠近的两个电负性大的原子可以各出一个电子, 形成电子共享的形式, 即这一对电子的主要活动范围处于两个原子之间, 通过库仑力, 把两个原子连接起来. 离子晶体中, 正离子与负离子的吸引力就是库仑力. 金属结合中, 原子实依靠原子实与电子云间的库仑力紧紧地吸引着. 分子结合中, 是电偶极矩把原本分离的原子结合成了晶体. 电偶极矩的作用力实际就是库仑力. 氢键结合中, 氢先与电负性大的原子形成共价结合后, 氢核与负电中心不在重合, 迫使它通过库仑力再与另一个电负性大的原子结合. 可见, 所有晶体结合类型都与库仑力有关.

时, 与布里渊区边界平行且垂直于

界的分量的模等于

.

的晶面族对波矢为k的电子具有强烈的散射

作用. 此时, 电子的波矢很大, 波矢的末端落在了布里渊区边界上, k垂直于布里渊区边

7. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点?

[解答]电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢

,

正交, 则禁带的宽度

是周期势场的付里叶级数的系数.

不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交.

8. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别?

[解答]晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F, 晶格对电子的作用力为Fl, 电子的加速度为

.

但Fl的具体形式是难以得知的. 要使上式中不显含Fl, 又要保持上式左右恒等, 则只有

.

显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m的差别就越小. 相反, 晶格对电子的作用越强, 有效质量m*与真实质量m的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别.

18. 一维简单晶格中一个能级包含几个电子?

[解答]设晶格是由N个格点组成, 则一个能带有N个不同的波矢状态, 能容纳2N个电子. 由于电子的能带是波矢的偶函数, 所以能级有(N/2)个. 可见一个能级上包含4个电子.

19. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?

[解答]在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电有贡献.

18.电导大的金属热导系数也大, 其本质联系是什么? [解答]以立方晶系金属为例，电导与电流的关系是

.

可见, 电场强度

力的量度.

热导系数与热能流密度的关系是

一定, 电导

大, 电流密度

就大. 电导

成为金属通流能

.

可见, 温度梯度一定, 热导系数 大, 热能流密度

属传输热能流能力的量度.

通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数. 而传输热能流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数目. 也就是说，二者传输能量的机制是相同的. 因此, 电导大的金属热导系数也大.

另外, 由(6.126)可知, 金属的热导系数

就大. 热导系数 成为金

.

对于立方晶系金属来说

.

可见立方晶系金属的热导率与电导率成正比, 自然电导大的金属热导系数也大.

第五章

19本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?

解：在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对

第二章

7. 共价结合, 两原子电子云交迭产生吸引, 而原子靠近时, 电子云交迭会产生巨大的排斥力, 如何解释?

解： 共价结合, 形成共价键的配对电子, 它们的自旋方向相反, 这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低, 结构稳定. 但当原子靠得很近时, 原子内部满壳层电子的电子云交迭, 量子态相同的电子产生巨大的排斥力, 使得系统的能量急剧增大.

2. 布洛赫函数满足

=

, 何以见得上式中

具有波矢的意义?

解：人们总可以把布洛赫函数

展成傅里叶级数

,

其中k’是电子的波矢. 将

代入

=

= .

,

得到

其中利用了

(

是整数), 由上式可知, k=k’, 即k具有波矢的意义.

3. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? 解：波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为

矢空间的基矢分别为 方向晶体的原胞数目.

, N1、N2、N3分别是沿正格子基矢

, 而波

倒格空间中一个倒格点对应的体积为

波矢空间中一个波矢点对应的体积为

即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N. 由于N是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢

空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.

19. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?

解：在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电有贡献.

20试用能带论解释导体、半导体、和绝缘体的区别。

解：晶体电子的状态由分立的原子能级分裂为能带，电子填充能带的情况分为满带、不满带和空带，对于半导体和绝缘体，只存在满带和空带，最高满带称价带，最低满带称导带，导带与价带之间的间隔称带隙，一般绝缘体带隙较大，半导体带隙较小。

对于导体，出满带和空带外，还存在不满带，即导带。满带电子不导电，而不满带中的电子参与导电。半导体的带隙较小，价带电子受到激发后可以跃迁至导带参与导电，绝缘体的带隙较大，价电子须获得很大的能量才能激发，故一般情况下，不易产生跃迁现象。

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