论最小公倍数和最大公约数的方法

论在小学教材中求最大公约数和最小公倍数的方法

班级：08数三班 学号：30308346 姓名：钟世校

初等数论是研究整数最基本性质的一门十分重要的数学基础课程,整除理论是初等数论的基础,其中心内容是最大公约数理论和算术基本定理,而我现在要论述的是求最大公约数和最小公倍数的几种方法

首先,让我们一起在来来了解一下最大公约数与最小公倍数的定义:

最大公约数: 设a1 , a2 ,…，an (n≥2)是不全为零的整数,如果d| ai

(i =1,2,3…,n),则称d为 a1 , a2 ,…，an的公约数,全体公约数中最大的一个数称为 a1 , a2 ,…，an的最大公约数,记作(a1 , a2 ,…，an).

最小公倍数: 设a1 , a2 ,…，M (i an是非零整数.若有整数M, 使 ai|

an 的公倍数,公倍数中最小的正数,=1,2,3…,n ),则称 M为a1 , a2 ,…，

称为a1 , a2 ,…，an的最小公倍数,记作[a1 , a2 ,…，an]。 求最大公约数的方法通常有两种,即用分解质因数法求最大公约数或用辗转相除法求最大公约数（亦称欧几里得算法），而求最小公倍数通常是用分解质因数或利用最大公约数来求最小公倍数,下最面我通过几道例题来演示上述方法.

一、 求最大公约数的方法.

⒈用分解质因数法求最大公约数.

例1. 求2700 、 7560、3960的最大公约数

解：把2700 、7560 、3960分别分解质因数. 得 2700? 7560? 3960?2222?3?5332

23?3?5?723?3?5?11? (2700,7560,3960)?22?3?5?180

即2700 、 7560 、3960的最大公约数为180.

⒉用辗转相除法求最大公约数.

例2. 求（319，377）

解： 377?319?1（余58） ?(377,319)?(319,58) 319?58?5 （余29） ?(319,58)?(58,29)

58?29?2 （余

0）

?(58,29)?29 ?(319,377)?29

例3. 求（418，494，598）

解： 先求得（418，494）=38. 再求得（38 ，589）=19.

?(418,494,589)?19

二、最小公倍数的求法.

⒈用分解质因数求最小公倍数.

例4. 求96 、30 和132的最小公倍数

解： 方法一 96?25?3 30?2?3?5 132?22?3?11 ?[96,30,132]?25?3?5?11 ?5280

最大公约数的延伸：若求三个或三个以上的数的最大公约数【形如(a1 , a2 ,…，an)，其中a1 , a2 ,…，an (n≥2)是不全为零的整数】，可以先求出其中两个数最大公约数【 假设先求得(a1 , a2)=d1】，再求所得与第三个数的最大公约数 【如（d1，a3）=d2】，……，最后求得与第an的公约数，即可得到（dn?2，an）?d, 则求得(a1 , a2 ,…，an)?d， 如例题3. 方法二 [96,30,132] ?2?[48,15,66] ?2?[3?[16,5],66] ?2?[3?80,66] ?2?6[40,11] ?2?6?40?11

?5280

⒉利用最大公约数求最小公倍数.

原理是根据最小公倍数的一个性质：

[a,b]?(a,b)?ab?[a,b]?ab?(a,b)

求[418，494，598].

解： 由例题3可知（418，494，598）=19

? [418，494，598]=418?494?598?19=6499064

现在我们回头来再看看上述求最大公约数与最小公倍数的的方法，会发现不管是用分解质因数的方法还是用辗转相除法求，它们都是紧扣了其各自的定义，因此我认为不管解决任何数学问题，只要我们紧扣其定义的本质就一定可以找到某种方法解决其问题（当然我们首先一定要清楚那问题是高于什么的，否则就没办法说从定义去解决问题了）。 参阅资料：

《初等数论》 王进明 主编 人民教育出版社 《小学教学教材教法>> 人民教育出版社数学室 编著 人民教育出版社 《算术大全》 张静庵 主编 河南人民出版社 《初等数论Ⅰ》 陈景润 著 科学出版社

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