专题1：数列及其数列求和

数列及其数列求和

数

学

数列及其数列求和

专题1：数列及其数列求和

解读考纲

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的问题．

重点、考点精读与点拨

一、基本知识

1．定义：

(1) .数列：按一定次序排序的一列数

(2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列

(3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一

个常数，则这个数列叫做等比数列

2． 通项公式与前n项和公式

{an}为等差数列： an a1 (n 1)d

{bn}为等比数列：

Sn na1

n(a1 an)n(n 1)d 22

bn b1q

n 1

(q 1)

a1(1 qn)a1 anq

（q 1) Sn

1 q1 q

3． 常用性质

{an}为等差数列，则有

数列及其数列求和

（1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，an （2） an am (n m)d

an 1 an 1

（n>1） 2

(m,n N*)

（3） 若m+n = p+q , 则：am an ap aq，特殊的：若m+n=2r ,则有：am an 2ar （4） 若am n,an m,则有：am n 0 （5） 若Sm n,Sn m,则有：Sm n (m n)

（6） {an}为等差数列 an pn q(p,q为常数) Sn pn2 qn(p,q R) （7） Sm,

S2m Sm,S3m S2m┅┅仍成等差数列

（8）{an},{bn}为等差数列，则{pan qbn}为等差数列（p，q为常数） （9）若项数为偶数2n，S偶－S奇＝nd，

S奇S偶

＝

an

an 1＝n n 1

若项数奇数2n－1，S奇－S偶 an，

S奇S偶

（10）

an Sn Sn 1(n 2

)a1 S1

{an}为等比数列，则有

（1） 只有同号的两数才存在等比中项 （2） an amqn m

(m,n N*)

2

（3） 若m+n = p+q , 则：am an ap aq，特殊的：若m+n=2r ,则有：am an ar （4） {an},{bn}为等比数列，则{an bn}，{

an

，{can}为等比数列（c 0） bn

（5） 等比数列中连续n项之积构成的新数列仍是等比数列，当q 1时，连续项之和仍为

等比数列

（6） an cq

n

(c 0,q 0)

Sn kqn k(q 0,q 1)

二、在数列中常见问题：

数列及其数列求和

1、等差数列的通项公式是关于n的一次函数，an dn (a1 d)（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，

sn

d2d

n (a1 )n二次项系数为公差的一半，常数项为0. 证明某数列是等差（比）22

数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：an 1 an an 1

常数）

an

2、等差数列当首项a1>0且公差d<0时(递减数列)，前n项和存在最大值。利用 定n值，即可求得sn的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。 等差数列当首项a1<0且公差d>0时（递增数列），前n项和存在最小值。 3、遇到数列前n项和Sn与通项an的关系的问题应利用an

an 0

确

an 1 0

S1 n 1

Sn Sn 1 n 2

a1 a

4、满足 的数列，求通项用累加（消项）法，

a a f(n)n n 1

如：已知数列{an}中，a1=1,an+1=an+2n, 求an ； 满足

a1 a

的数列，求通项用累乘（消项）法，

a af(n)n n 1

如：已知数列{an}中，a1=1,an+1=

n

an, 求an ； n 1

三、数列求和的常用方法：

(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和 等差数列：Sn

n(a1 an)n(n 1)d

na1 ； 22

na1 q 1

等比数列：Sn a1(1 qn) ；

1 q q 1

111

4,2 7,…,n 1 3n 2,…的前n项和 aaa1111

可进行分组即：1 2 3 n 1 1 4 7 3n 2

aaaa

(2)分组求和：如：求1+1,

前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和

数列及其数列求和

(3n 1)n

a 1 2

（注：Sn ）

(3n 1)n a 1 2

(3)裂项法：如an

1111

，求Sn ，常用的裂项，

n(n 2)n(n 1)nn 1

11111111

( )； [ ]

n(n 2)2nn 2n(n 1)(n 2)2n(n 1)(n 1)(n 2)

(4)错位相减法：其特点是cn=anbn 其中{an}是等差，{bn}是等比 如：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……+(2n－1)xn1 注意讨论x，

－

n2 x 1

Sn (2n 1)xn 1 (2n 1)xn (1 x)

x 1 2

(1 x)

(5)倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+… +(2n—1) Cnn=(n+1)2n

名题归类例释

错位相减法：

例1 求数例1，3a，5a2，7a3，…(2n－1)an-1，…(a≠1)的前n项和．

解：因 Sn=1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an-1， (1) (1)×a得

aSn=a＋3a2＋5a3＋…(2n－3)an-1＋(2n－1)an，（2）

两式相减得

(1－a)Sn=1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an-1－(2n－1)an =2(1＋a＋a2＋a3＋…＋an-1)－(2n－1)an-1

1（ 1 an)

(2n 1)an 1 =2

1 a

2(1 an)(2n 1)an 1

所以:Sn 2

1 a(1 a)

数列及其数列求和

裂项求和法：

例2 求和：1 解： ak

1111 ,(n N*) 1 21 2 31 2 3 41 2 3 n

12

，

1 2 kk(k 1)111 ] 1 22 3n(n 1)

1 11

2 23

1 1 1

2 1

nn 1n 1

Sn 2[

2[ 1

分部求和法：

例3 已知等差数列 an 的首项为1，前10项的和为145，求a2 a4 a2n. 解：首先由S10 10a1

10 9 d

145 d 3 2

n

则an a1 (n 1)d 3n 2 a2n 3 2 2

2(1 2n)

2n 3 2n 1 2n 6 a2 a4 a2n 3(2 2 2) 2n 3

1 2

2

n

倒序相加法：

例4 设数列 an 是公差为d，且首项为a0 d的等差数列，求和：

01n

Sn 1 a0Cn a1Cn anCn

01n

解：因为Sn 1 a0Cn （1） a1Cn anCn

nn 10

（2） Sn 1 anCn an 1Cn a0Cn

（1）+（2）得

01n

2Sn 1 (a0 an)Cn (a1 an 1)Cn (an a0)Cn

01n

(a0 an)(Cn Cn Cn) (a0 an)2n

Sn 1 (a0 an) 2n 1 常规题型：

例1．已知数列 an 中，Sn是其前n项和，并且Sn 1 4an 2(n 1,2, ),a1 1，

⑴设数列bn an 1 2an(n 1,2, )，求证：数列 bn 是等比数列；

数列及其数列求和

⑵设数列cn

an

,(n 1,2, )，求证：数列 cn 是等差数列； n2

解： (1)由Sn 1=4an 2，Sn 2=4an 1+2，两式相减，得Sn 2-Sn 1=4(an 1-an)，

即an 2=4an 1-4an．

an 2-2an 1=2(an 1-2an)，又bn=an 1-2an，所以bn 1=2bn ① 已知S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得a2=5，b1=a2-2a1=3 ② 由①和②得，数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，故bn=3·2

n 1

．

2

例2．设二次方程anx-an+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．

(1)试用an表示an 1；

6

an 1211

3,6an 1 3an 2,an 1 an anan23

2

21112 1 （2）an 1 an (an )

2323232an

3

an 1

数列及其数列求和

*

例3．数列 an 中，a1 8,a4 2且满足an 2 2an 1 an n N

⑴求数列 an 的通项公式；

⑵设Sn |a1| |a2| |an|，求Sn；

解：（1）由题意，an 2 an 1 an 1 an， {an}为等差数列，设公差为d， 由题意得2 8 3d d 2， an 8 2(n 1) 10 2n. （2）若10 2n 0则n 5，n 5时,Sn |a1| |a2| |an|

8 10 2n

n 9n n2, 2

n 6时，Sn a1 a2 a5 a6 a7 an a1 a2 an

S5 (Sn S5) 2S5 Sn n2 9n 40

故Sn 9n n2n 9n 40

2

n 5n 6

连线高考

填空题：

1、（湖南卷）若数列 an 满足：a1 1,an 1 2an.n 1，2，3….则a1 a2 an .

解：数列 an 满足：a1 1,an 1 2an, n 1，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，

2n 1

2n 1. ∴ a1 a2 an

2 1

2、（山东卷）设Sn为等差数列 an 的前n项和，S4＝14，S10－S7＝30，则S9＝ . 解：设等差数列 an 的首项为a1，公差为d，由题意得4a1

4(4 1)

d 14, 2

10(10 1)7(7 1)9(9 1)[10a1 d] [7a1 d] 30， 1 54 联立解得a1=2,d=1，所以S9＝9 2

222

数列及其数列求和

3、（浙江卷）设Sn为等差数列 an 的前n项和，若S5 10,S10 5,则公差为数字作答）。

解析：设首项为a1，公差为d，由题得

5a1 10d 10 a1 2d 2

9d 4d 1 4 d 1

10a1 45d 5 2a1 9d 1

4、(重庆卷) 在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_________. 解析：在数列 an 中，若a1 1,an 1 2an 3(n 1)，∴ an 1 3 2(an 3)(n 1)，即{an 3}是以a1 3 4为首项，2为公比的等比数列，an 3 4 2n 1 2n 1，所以该数列的通项an 2

n 1

3.

解答题：

5、（北京卷）设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.

(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；

(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.

解：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14,

又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20.

因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…

S14 77,

（Ⅱ）由 a11 0,得

a 6 1

由①+②得－7d＜11。即d＞－

2a1 13d 11, 2a1 13d 11,

即 2a1 20d 0, a1 10d 0,

a 6 2a 12

1 1

11

。 71

由①+③得13d≤－1，即d≤－

13

111于是－＜d≤－

713

又d∈Z,故d=－1

将④代入①②得10＜a1≤12. 又a1∈Z,故a1=11或a1=12.

所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…

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