专题1:数列及其数列求和
更新时间:2023-05-17 03:38:01 阅读量: 实用文档 文档下载
数列及其数列求和
数
学
数列及其数列求和
专题1:数列及其数列求和
解读考纲
(1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义.了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.
(2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题.
(3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的问题.
重点、考点精读与点拨
一、基本知识
1.定义:
(1) .数列:按一定次序排序的一列数
(2) 等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列叫做等差数列
(3) 等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一
个常数,则这个数列叫做等比数列
2. 通项公式与前n项和公式
{an}为等差数列: an a1 (n 1)d
{bn}为等比数列:
Sn na1
n(a1 an)n(n 1)d 22
bn b1q
n 1
(q 1)
a1(1 qn)a1 anq
(q 1) Sn
1 q1 q
3. 常用性质
{an}为等差数列,则有
数列及其数列求和
(1) 从第二项起,每项是前一项与后一项的等差中项,an (2) an am (n m)d
an 1 an 1
(n>1) 2
(m,n N*)
(3) 若m+n = p+q , 则:am an ap aq,特殊的:若m+n=2r ,则有:am an 2ar (4) 若am n,an m,则有:am n 0 (5) 若Sm n,Sn m,则有:Sm n (m n)
(6) {an}为等差数列 an pn q(p,q为常数) Sn pn2 qn(p,q R) (7) Sm,
S2m Sm,S3m S2m┅┅仍成等差数列
(8){an},{bn}为等差数列,则{pan qbn}为等差数列(p,q为常数) (9)若项数为偶数2n,S偶-S奇=nd,
S奇S偶
=
an
an 1=n n 1
若项数奇数2n-1,S奇-S偶 an,
S奇S偶
(10)
an Sn Sn 1(n 2
)a1 S1
{an}为等比数列,则有
(1) 只有同号的两数才存在等比中项 (2) an amqn m
(m,n N*)
2
(3) 若m+n = p+q , 则:am an ap aq,特殊的:若m+n=2r ,则有:am an ar (4) {an},{bn}为等比数列,则{an bn},{
an
,{can}为等比数列(c 0) bn
(5) 等比数列中连续n项之积构成的新数列仍是等比数列,当q 1时,连续项之和仍为
等比数列
(6) an cq
n
(c 0,q 0)
Sn kqn k(q 0,q 1)
二、在数列中常见问题:
数列及其数列求和
1、等差数列的通项公式是关于n的一次函数,an dn (a1 d)(定义域为正整数集),一次项的系数为公差;等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数,
sn
d2d
n (a1 )n二次项系数为公差的一半,常数项为0. 证明某数列是等差(比)22
数列,通常利用等差(比)数列的定义加以证明,即证:an 1 an an 1
常数)
an
2、等差数列当首项a1>0且公差d<0时(递减数列),前n项和存在最大值。利用 定n值,即可求得sn的最大值(也可以用二次函数的性质或图象解)。 等差数列当首项a1<0且公差d>0时(递增数列),前n项和存在最小值。 3、遇到数列前n项和Sn与通项an的关系的问题应利用an
an 0
确
an 1 0
S1 n 1
Sn Sn 1 n 2
a1 a
4、满足 的数列,求通项用累加(消项)法,
a a f(n)n n 1
如:已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n, 求an ; 满足
a1 a
的数列,求通项用累乘(消项)法,
a af(n)n n 1
如:已知数列{an}中,a1=1,an+1=
n
an, 求an ; n 1
三、数列求和的常用方法:
(1)公式法:必须记住几个常见数列前n项和 等差数列:Sn
n(a1 an)n(n 1)d
na1 ; 22
na1 q 1
等比数列:Sn a1(1 qn) ;
1 q q 1
111
4,2 7,…,n 1 3n 2,…的前n项和 aaa1111
可进行分组即:1 2 3 n 1 1 4 7 3n 2
aaaa
(2)分组求和:如:求1+1,
前面是等比数列,后面是等差数列,分别求和
数列及其数列求和
(3n 1)n
a 1 2
(注:Sn )
(3n 1)n a 1 2
(3)裂项法:如an
1111
,求Sn ,常用的裂项,
n(n 2)n(n 1)nn 1
11111111
( ); [ ]
n(n 2)2nn 2n(n 1)(n 2)2n(n 1)(n 1)(n 2)
(4)错位相减法:其特点是cn=anbn 其中{an}是等差,{bn}是等比 如:求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……+(2n-1)xn1 注意讨论x,
-
n2 x 1
Sn (2n 1)xn 1 (2n 1)xn (1 x)
x 1 2
(1 x)
(5)倒序求和:等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证:Cn0+3Cn1+5Cn2+… +(2n—1) Cnn=(n+1)2n
名题归类例释
错位相减法:
例1 求数例1,3a,5a2,7a3,…(2n-1)an-1,…(a≠1)的前n项和.
解:因 Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1, (1) (1)×a得
aSn=a+3a2+5a3+…(2n-3)an-1+(2n-1)an,(2)
两式相减得
(1-a)Sn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an =2(1+a+a2+a3+…+an-1)-(2n-1)an-1
1( 1 an)
(2n 1)an 1 =2
1 a
2(1 an)(2n 1)an 1
所以:Sn 2
1 a(1 a)
数列及其数列求和
裂项求和法:
例2 求和:1 解: ak
1111 ,(n N*) 1 21 2 31 2 3 41 2 3 n
12
,
1 2 kk(k 1)111 ] 1 22 3n(n 1)
1 11
2 23
1 1 1
2 1
nn 1n 1
Sn 2[
2[ 1
分部求和法:
例3 已知等差数列 an 的首项为1,前10项的和为145,求a2 a4 a2n. 解:首先由S10 10a1
10 9 d
145 d 3 2
n
则an a1 (n 1)d 3n 2 a2n 3 2 2
2(1 2n)
2n 3 2n 1 2n 6 a2 a4 a2n 3(2 2 2) 2n 3
1 2
2
n
倒序相加法:
例4 设数列 an 是公差为d,且首项为a0 d的等差数列,求和:
01n
Sn 1 a0Cn a1Cn anCn
01n
解:因为Sn 1 a0Cn (1) a1Cn anCn
nn 10
(2) Sn 1 anCn an 1Cn a0Cn
(1)+(2)得
01n
2Sn 1 (a0 an)Cn (a1 an 1)Cn (an a0)Cn
01n
(a0 an)(Cn Cn Cn) (a0 an)2n
Sn 1 (a0 an) 2n 1 常规题型:
例1.已知数列 an 中,Sn是其前n项和,并且Sn 1 4an 2(n 1,2, ),a1 1,
⑴设数列bn an 1 2an(n 1,2, ),求证:数列 bn 是等比数列;
数列及其数列求和
⑵设数列cn
an
,(n 1,2, ),求证:数列 cn 是等差数列; n2
解: (1)由Sn 1=4an 2,Sn 2=4an 1+2,两式相减,得Sn 2-Sn 1=4(an 1-an),
即an 2=4an 1-4an.
an 2-2an 1=2(an 1-2an),又bn=an 1-2an,所以bn 1=2bn ① 已知S2=4a1+2,a1=1,a1+a2=4a1+2,解得a2=5,b1=a2-2a1=3 ② 由①和②得,数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列,故bn=3·2
n 1
.
2
例2.设二次方程anx-an+1x+1=0(n∈N)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用an表示an 1;
6
an 1211
3,6an 1 3an 2,an 1 an anan23
2
21112 1 (2)an 1 an (an )
2323232an
3
an 1
数列及其数列求和
*
例3.数列 an 中,a1 8,a4 2且满足an 2 2an 1 an n N
⑴求数列 an 的通项公式;
⑵设Sn |a1| |a2| |an|,求Sn;
解:(1)由题意,an 2 an 1 an 1 an, {an}为等差数列,设公差为d, 由题意得2 8 3d d 2, an 8 2(n 1) 10 2n. (2)若10 2n 0则n 5,n 5时,Sn |a1| |a2| |an|
8 10 2n
n 9n n2, 2
n 6时,Sn a1 a2 a5 a6 a7 an a1 a2 an
S5 (Sn S5) 2S5 Sn n2 9n 40
故Sn 9n n2n 9n 40
2
n 5n 6
连线高考
填空题:
1、(湖南卷)若数列 an 满足:a1 1,an 1 2an.n 1,2,3….则a1 a2 an .
解:数列 an 满足:a1 1,an 1 2an, n 1,2,3…,该数列为公比为2的等比数列,
2n 1
2n 1. ∴ a1 a2 an
2 1
2、(山东卷)设Sn为等差数列 an 的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9= . 解:设等差数列 an 的首项为a1,公差为d,由题意得4a1
4(4 1)
d 14, 2
10(10 1)7(7 1)9(9 1)[10a1 d] [7a1 d] 30, 1 54 联立解得a1=2,d=1,所以S9=9 2
222
数列及其数列求和
3、(浙江卷)设Sn为等差数列 an 的前n项和,若S5 10,S10 5,则公差为数字作答)。
解析:设首项为a1,公差为d,由题得
5a1 10d 10 a1 2d 2
9d 4d 1 4 d 1
10a1 45d 5 2a1 9d 1
4、(重庆卷) 在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_________. 解析:在数列 an 中,若a1 1,an 1 2an 3(n 1),∴ an 1 3 2(an 3)(n 1),即{an 3}是以a1 3 4为首项,2为公比的等比数列,an 3 4 2n 1 2n 1,所以该数列的通项an 2
n 1
3.
解答题:
5、(北京卷)设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.
解:(Ⅰ)由S14=98得2a1+13d=14,
又a11=a1+10d=0,故解得d=-2,a1=20.
因此,{an}的通项公式是an=22-2n,n=1,2,3…
S14 77,
(Ⅱ)由 a11 0,得
a 6 1
由①+②得-7d<11。即d>-
2a1 13d 11, 2a1 13d 11,
即 2a1 20d 0, a1 10d 0,
a 6 2a 12
1 1
11
。 71
由①+③得13d≤-1,即d≤-
13
111于是-<d≤-
713
又d∈Z,故d=-1
将④代入①②得10<a1≤12. 又a1∈Z,故a1=11或a1=12.
所以,所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…
正在阅读:
专题1:数列及其数列求和05-17
Disk Instabilities and Cooling Fronts08-28
2022 技能大赛 拟设赛题 高职 光伏电子工程设计与实施 公开赛题(04-12
欧姆龙ORG指令的应用01-18
硫酸铜的作用和用途03-18
高中生物第五章基因突变及其他变异5.1基因突变和基因重组练含解析新人教版05-04
金融工程学A卷参考答案(1)12-06
达梦数据交换平台产品白皮书05-31
中央电视台春节联欢晚会主持词3篇07-30
过去的一年作文5篇03-12
- 教学能力大赛决赛获奖-教学实施报告-(完整图文版)
- 互联网+数据中心行业分析报告
- 2017上海杨浦区高三一模数学试题及答案
- 招商部差旅接待管理制度(4-25)
- 学生游玩安全注意事项
- 学生信息管理系统(文档模板供参考)
- 叉车门架有限元分析及系统设计
- 2014帮助残疾人志愿者服务情况记录
- 叶绿体中色素的提取和分离实验
- 中国食物成分表2020年最新权威完整改进版
- 推动国土资源领域生态文明建设
- 给水管道冲洗和消毒记录
- 计算机软件专业自我评价
- 高中数学必修1-5知识点归纳
- 2018-2022年中国第五代移动通信技术(5G)产业深度分析及发展前景研究报告发展趋势(目录)
- 生产车间巡查制度
- 2018版中国光热发电行业深度研究报告目录
- (通用)2019年中考数学总复习 第一章 第四节 数的开方与二次根式课件
- 2017_2018学年高中语文第二单元第4课说数课件粤教版
- 上市新药Lumateperone(卢美哌隆)合成检索总结报告
- 数列
- 求和
- 及其
- 专题
- 尿素晶体的线性和非线性光学性质的从头算研究
- 广东省六校2015届高三第二次联合考试语文
- 经济数学基础形成性考核册作业(一)及参考答案
- 药品注册管理办法
- 奶粉包装机说明书
- 幼儿中国古诗词背诵必听
- 2011年详细的质量月活动方案
- 一带一路与广西双核驱动发展战略
- 浙江高校军训实弹高校军训须知
- 基于风险视角的伊斯兰银行与传统银行的比较
- 通信原理(英文版)总复习
- 征兵政审材料样表【填表示例及详细说明】
- 半导体集成电路封装项目合作计划书
- 烟草本科论文(李学勇)
- 天津事业单位面试热点汇总2015年(5月1日)
- 2015年横式日历表含农历(完美修正A4打印版)
- 中考历史问答题答题技巧
- 副市长招炳德在云安县委书记崔逢池以及市交通
- 双连拱隧道施工论文
- 基于SolidWorks的桥式起重机CAD系统研究