工程随机过程（研究生）2013-1试卷（讲解用）

河海大学2012—2013学年第一学期 硕士研究生《工程随机过程》试卷

考试时间：2013年1月8日

姓名

专业

学号

成绩

一、(本题满分12分) （1）已知随机变量X服从参数为?的Poisson分布，即X~P(?)，求X的特征函数； （2）若X1,X2,?,Xn相互独立，且Xi~P(?i),i?1,2,?,n，利用特征函数求Y?X1?X2???Xn的分布。

二、（本题满分10分）设{Xn, n?T }为齐次马尔可夫链，其状态空间为E={1,2,3,4}，一步转移概率矩阵为

?1/8?1/6P???1/15??1/121/4?1/31/31/6?? 1/52/51/3??1/61/35/12?1/43/8求（1）P{X1?2,X2?3,X3?4,X4?3,X5?1,X6?3|X0?3}； （2）P{Xn?2?3|Xn?4}。

三、（本题满分10分）袋中放有一只白球，两只红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回， 对每一个确定的t对应随机变量

?cos?t,如果t时取得红球X(t)??

?2t，如果t时取得白球1试求一维分布函数F(x;)和F(x;1)。

2

四、(本题满分10分) 设马氏链{Xn，n?0}的状态空间为E?{0,1,2,3}，其一步转移概率矩阵为

?0.50.4?0.20.5P???0.050.25?0.2?00?0.20.1?? 0.60.1??0.40.4?0.1试问此链是否具有遍历性？若有请求其平稳分布。 五、（本题满分14分）试判断下列线性模型哪些是平稳的，哪些是可逆的？并求其自相关函数。 （1）Xt?at?0.7at?1?0.2at?2； （2）Xt?0.5Xt?1?0.2Xt?2?at（?1,?2,?3,?4,?5）。

六、（本题满分12分）某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设 男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。

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（1）试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布；

（2） 在已知t时刻已有50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女的概率。 由已知，N1(t)为强度?1?2的泊松过程，N2(t)为强度?2?3的泊松过程； 故，N(t)为强度???1??2?5的泊松过程；于是，

P(N(t)?k)?(5t)k?k!e5t k?0,1,2,? （5分）

2） P(N2(t)?30N(t)?50)?P(N2(t)?30,N(t)?50)P(N(t)?50)

?P(N2(t)?30)P(N1(t)?20)(3t)30e?3t/30!?(2t)20e?2t/20!P(N(t)?50)?(5t)50e?5t/50!

(3t)30e?3t?/30!?(2t)20e?2t/20!(5t)50e?5t/50!?C3033022050(5)(5) （5分） 一般地，P{N(t)?k|N(t)?50}?Ck3k250?k250(5)(5),k?0,1,2,?,50

故平均有女性顾客 E{N2(t)|N(t)?50}?50?35?30人 （4分） 七、（本题满分12分）设马氏链{Xn, n?1}的状态空间为E={0,1,2,??? }，且已知

pi?1i0?i?2，p1i,i?1?i?2，i?E 试讨论此链是否可约？是否为常返链？为什么？ 八、（本题满分10分）余弦波X(t)?Acos(?t??) ???t???，其中A，?是常数，上均匀分布。

（1）试求X(t)的均值函数、方差函数和自相关函数； （2）试证明随机过程X(t)是宽平稳过程。 九、（本题满分10分）设有q阶滑动平均模型

Xt?at??1at?1??2at?2????qat?q

其中q为常数，?i(i?1,2,?,q)为滑动平均系数，at为残差，满足E(at)?0，

E(a?tat?k)????2,k?0?。证明序列{Xt,t?0,?1,?2,?}为平稳时间序列。 ?0,k?0

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?服从(??,?)

（

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