抽象函数问题觉题型及解法综述

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抽象函数问题觉题型及解法综述

作者：万保军

来源：《中学生数理化·高二高三版》2015年第08期

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不露，但一般情况下，大多是以学过的常见函数为背景，将函数性质通过代数表述给出。抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计。高考对抽象函数的要求是考查对函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能。为了扩大读者的视野，特就抽象函数问题常见题型及解法分析如下。 一、函数的基本概念问题 1.抽象函数的定义域问题

例1 已知函数f（x2）的定义域是[1，2]，求f（x）的定义域。 解：由函数f（x2）的定义域是[l，2]，得l≤x≤2，则1≤x2≤4。 故函数f（x）的定义域是[1，4]。

评析：一般地，已知函数f（ψ（x））的定义域是A，求f（x）的定义域问题，相当于已知f（ψ（x））中x的取值范围为A，据此求ψ（x）的值域问题。 例2 已知函数f（x）的定义域是[-1，2]，求函数的定义域。 解： 由函数f（x）的定义域是[-1，2]，得：在函数中， 解得

故函数的定义域是。

评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（x）的定义域是A，求函数f（ψ（x））的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。一般地，若函数f（x）的定义域是A，则x必须是A中的元素，而不能是A以外的元素，否则f（x）无意义。因此，如果f（xo）有意义，则必有所以这类问题实质上相当于已知ψ（x）的值域是A，据此求z的取值范围，即由ψ（x）∈A建立不等式，解出z的范围。例2和例1形式上正好相反。 2.抽象函数的求值问题

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