北京市2013高考数学 二模试题解析分类汇编系列六 5 数列 文

【解析分类汇编系列六：北京2013（二模）数学文】5：数列

一、选择题

1 ．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）若数列{an}满足:存在正整数T,对于任意正整

数n都有an?T?an成立,则称数列{an}为周期数列,周期为T. 已知数列{an}满足

?an?1, an?1，a?n?1=?1a1?m(m?0),??a, 0?an?1.n 则下列结论中错误．．

的是 （A．若m?45,则a5?3 B．若a3?2,则m可以取3个不同的值 C．若m?2,则数列{an}是周期为3的数列 D．?m?Q且m?2,数列{an}是周期数列 D A若m?44155，则a1?5?1，所以a2?a??1，a1?5?1?1?1，a13?a2?4??41444a?1，

3a5?a4?1?4?1?3，所以A成立。B.若a3?2。若a3?a2?1?2，则a2?3。若a1?1?3，则a1?4。若

1a?3，则a11?1131?。若a3??2，则a213a22，若a1?1?2，则a1?2。若

1a?1，则a1?2，不合题意。所以满足a3?2的m可以取3个不同的值，正确。C. 12a1?m?2?1，则a2?a1?1?2?1?1，a13?a?1?1?2?1?1，所以22a4?a{a3?1?2?1?1?2。此时数列n}是周期为3的数列，所以正确。所以不正确的选

D.

2 ．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知数列?an?中,an??4n?5,等比数列?bn?的公比q满足q?an?an?1(n?2)且b1?a2,则b1?b2?L?bn?

（ - 1 -

）

）

A．1?4n B．4n?1

1?4nC．D．4n?13

3

B

因为q?an?an?1??4，b11?a2??3，所以bn?b1qn???3?(?4)n?1，所以

bn??3?(?4)n?1?3?4n?1，即

?bn?是公比为4的等比数列，所以

3(1?4nb)1?b2???bn?1?4?4n?1，选B. 3 ．（2013北京东城高三二模数学文科）在数列{an}中,若对任意的n?N*,都有

an?2a?an?1?t(t为常数),则称数列{an} 为比等差数列,t称为比公差.现给出以下命题: n?1an①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;

}满足a2n?1②若数列{a1nn?n2,则数列{an}是比等差数列,且比公差t?2;

③若数列{cn}满足c1?1,c2?1,cn?cn?1?cn?2(n?3),则该数列不是比等差数列;④若{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则数列{anbn}是比等差数列.

其中所有真命题的序号是

（A．①② B．②③ C．③④

D．①③

D

①若等比数列的公比为q,则an?2a?an?1?q?q?0为常数，所以一定是比等差数列。当等差n?1an数列的公差d?0时，有

an?2a?an?1?1?1?0，为比等差数列。当等差数列的公差d?0，n?1anan?2an?1a?a不是常数，所以此时不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故①正n?1n22确。②若数列{an}满足

a2n?1an?2a12(n?1)n?n2，则a?n??(n?2)2?2n(n?1)2不是常数，所以数列n?1an，

{an}不是比等差数列，所以错误。③由c1=1,c2=1,cn?cn?1?cn?2(n?3)得

c3?c1?c2?1?1?2。c4?c3?c2?1?2?3，因为

c3c2c??2?1?1，c4?c3?3?2??1，2c1c3c2212所以

c3?c2?c4?c3，即③数列不是比等差数列。所以③正确。④若{an}c是等差数列，{bn}c21c3c2是等比数列，不妨设ann?n,bn?(?1)，则anbn?n?(?1n)，所以

a(n?2?)n?(2n?21n)2an?1a??n?1?)n?(1?1?，n?1(n?1)?(?1)n?n?1()n?1a???1，

所

以

nn?(?1)nn - 2 -

）

an?2an?1n?2n?1n?1n?2不是常数，所以数列{anbn}不是比等差数列，????(?)??an?1ann?1nnn?1所以④错误。所以正确的命题是①③,选D.

二、填空题

4 ．(2013北京海淀区二模数学文科试题及答案） 已知数列{an}是等比数列，且

a1?a3?4，

a4?8，则a5的值为____.

由a1?a3?4，a4?8得a12q2?4，a1q3?8，解得q??2。当q?2时，a1?1，此时

a5?a1q4?16。当q??2时，a1??1，此时a5?a1q4??16.

5 ． (2013北京房山区二模数学文科试题及答案）数列{an}是公差不为0的等差数列，a1?1，

且a3是a1,a9的等比中项，则数列{an}的通 项公式an? . n

22因为a3是a1,a9的等比中项，所以a1a9?a3，即a1(a1?8d)?(a1?2d)，解得d?a1?1，所

以an?a1?(n?1)d?n。

6 ． （2013北京东城区二模数学文科试题及答案）各项均为正数的等比数列?an?的前n项和

为Sn，若a3?2，S4?5S2，则a1的值为 ，S4的值为 ．

115 22若公比q?1，则S4?4a1,S2?2a1，不满足S4?5S2，所以q?1。所以由a3?2，S4?5S2得

1a1(1?q4)a1(1?q2)，解得q?2或q??2（舍去），a1?。所以a2?1，?5?a1q?2，

21?q1?q2115所以S4?5S2?5(a1?a2)?5?(?1)?。

22

7．（2013北京朝阳二模数学文科试题）已知等差数列?an?的公差为?2,a3是a1与a4的等比

中项,则首项a1?_,前n项和Sn?__.

2?8；?n?9n，n?N

因为a3是a1与a4的等比中项，所以a1a4?a32，即a1(a1?3d)?(a，所以1?2d)2 - 3 -

a1(a1?6)?(a1?4)2，解得a1?8，所以Sn?na1?n?N?。

n(n?1)n(n?1)d?8n??2?9n?n2，228．（2013北京朝阳二模数学文科试题）数列{2n?1}的前n项1,3,7,?,2n?1组成集合

An?{1,3,7,?,2n?1}(n?N?),从集合An中任取k(k?1,2,3,?,n)个数,其所有可能

的k个数的乘积的和为Tk(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记Sn?T1?T2???Tn.例

如

当

n?1时,

A1?{1},

T1?1,

S1?1;当

n?2时,A2?{1,3},T1?1?3,T2?1?3,S2?1?3?1?3?7.则当n?3时,S3?______;试写出Sn?______. 63；2n(n?1)2?1

当n?3时，A3?{1,3，T1}?1?3?7?11，T2?1?3?1?7?3?7?31，,7T3?1?3?7?21，所以

3S3?11?3?16。1由6于3S1?12?1?2，?1S2?1?3?1?3?7?2?1，S3?11?31?21?63?2?1，所以猜想Sn?2n(n?1)2?1。

9．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）等差数列{an}中,a3?5,a5?3,则该数列的

前10项和S10的值是_______. 25

在等差数列中，由a3=5,a5=3,得a1?7,d??1，所以S10?10?7?三、解答题

10．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）已知等差数列?an?的前n项和为Sn. (I)若a1?1,S10?100,求{an}的通项公式;

(II)若Sn?n2?6n,解关于n的不等式Sn?an?2n. 解:(I)设{an}的公差为d

10?9?(?1)?25。 2因为a1?1,

S10?a1?a10?10?1002 所以a1?1,a10?19 所以d?2 所以 an?2n?1

2S?n?6n n(II)因为

2S?(n?1)?6(n?1) 所以an?2n?7,n?2 n?2n?1当时,

- 4 -

又n?1时,a1?S1??5?2?7 所以 an?2n?7

2S?a?n?4n?7 所以n2?4n?7?2n,即n2?6n?7?0 nn所以

所以n?7或n??1,所以n?7,n?N

11．（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）(本小题满分13分)

设A是由m?n个实数组成的m行n列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. (Ⅰ) 数表A如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,请写出每次

1 2 1 3 0 ?7 1 ?2 “操作”后所得的数表(写出一种方法即可); (Ⅱ) 数表A如表2所示,若经过任意一次“操作”以后, 便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为 非负整数,求整数a的值;

(Ⅲ)对由m?n个整数组成的m行n列的任意一个数表A,

能否经过有限次“操作”以后,使得得到的数表每行的各数之 和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由. 解:(I) 法1:

aa2?1?a?a22?a1?a2a?2a2表2123?712371237改变第4列改变第2行 ?????????????2101?210?12?101法2:

123?7123?71237改变第2行改变第4列 ?????????????21012?10?12?101法3:

123?7?123?7?1237改变第1列改变第4列 ?????????????21012101210?1(写出一种即可)

(II) 每一列所有数之和分别为2,0,?2,0,每一行所有数之和分别为?1,1; ①如果操作第三列,则

aa2?1a?a2

2?a1?a22?aa2则第一行之和为2a?1,第二行之和为5?2a,

- 5 -

?2a?1?0,解得a?1,a?2 ??5?2a?0② 如果操作第一行

?a1?a2aa2

2?a1?a2a?2a2则每一列之和分别为2?2a,2?2a2,2a?2,2a2 解得a?1 综上a?1

(III) 证明:按要求对某行(或某列)操作一次时,则该行的行和(或该列的列和) 由负整数变为正整数,都会引起该行的行和(或该列的列和)增大,从而也就使得 数阵中mn个数之和增加,且增加的幅度大于等于1?(?1)?2,但是每次操作都只 是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,数表中mn

个数之和必然小于等于

??|ai?1j?1mnij|,可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止

之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数,故结论成立

12．（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知Sn为等差数列?an?的前n项和,且

S5?30,a1?a6?14.

(Ⅰ)求数列?an?的通项公式; (Ⅱ)求数列2??的前n项和公式.

an解(Ⅰ)设等差数列an的公差为d, 因为S5?30,a1?a6?14

??5?4?d?30?5a1?所以?解得a1?2,d?2. 2??2a1?5d?14所以an?a1?(n?1)d?2?(n?1)?2?2n.

bn?14n?1(Ⅱ)由(Ⅰ)可知an?2n,令bn?2 则bn?4, 又?n?4(n?N?)

bn4ann所以bn是以4为首项,4为公比的等比数列, 设数列bn的前n项和为Tn

????4(1?4n)4n?14?? 则Tn?b1?b2???bn?4?4?4???4?1?43323n - 6 -

13．（北京市石景山区2013届高三一模数学文试题）给定有限单调递增数列{xn}(n∈N,n≥2)

*

且xi≠0(1≤ i ≤n),定义集合A={(xi,xj)|1≤i, j≤n,且i,j∈N}.若对任意点A1∈A,存在点A2∈A使得OA1⊥OA2(O为坐标原点),则称数列{xn}具有性质P. (I)判断数列{xn}:-2,2和数列{yn}:-2,-l,1,3是否具有性质P,简述理由. (II)若数列{xn}具有性质P,求证:

①数列{xn}中一定存在两项xi,xj使得xi+xj =0: ②若x1=-1, xn>0且xn>1,则x2=l.

*

14．（2013北京丰台二模数学文科试题及答案）已知等差数列?an?的通项公式为an=3n-2,等比

数列?bn?中,b1?a1,b4?a3?1.记集合A??xx?an,n?N*?,

B??xx?bn,n?N*?,U?A?B,把集合U中的元素按从小到大依次排列,构成数列?cn?. (Ⅰ)求数列?bn?的通项公式;

(Ⅱ)求数列?cn?的前50项和S50;

(Ⅲ)把集合CUA中的元素从小到大依次排列构成数列?dn?,写出数列?dn?的通项公式,并

- 7 -

说明理由.

解:(Ⅰ)设等比数列?bn?的公比为q,

?b1?a1?1,b4?a3?1?8,则q3=8,?q=2,?bn=2n-1,

(Ⅱ)根据数列{an}和数列?bn?的增长速度,数列?cn?的前50项至多在数列{an}中选50项,数列{an}的前50项所构成的集合为{1,4,7,10,,148},由2<148得,n≤8,数列{bn}的前8项构成的集合为{1,2,4,8,16,32,64,128},其中1,4,16,64是等差数列{an}中的项,2,8,32,128不是等差数列中的项,a46=136>128,故数列{cn}的前50项应包含数列{an}的前46项和数列{bn}中的2,8,32,128这4项

46(a1?a46)所以S50=?2?8?32?128=3321;

2(Ⅲ)据集合B中元素2,8,32,128?A,猜测数列?dn?的通项公式为dn =2

2n-1

n-1

?dn=b2n ,?只需证明数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n?A(n?N?)

证明如下:

?b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即b2n+1=b2n-1+3×4n-1,

*n-1n-1

若?m∈N,使b2n-1=3m-2,那么b2n+1=3m-2+3×4=3(m+4)-2,所以,若b2n-1∈A,则b2n+1∈A.因为b1∈A,重复使用上述结论,即得b2n-1∈A(n?N?).

2n+12n-1nn-1n-1n-1

同理,b2n+2-b2n=2-2=2×4-2×4=3×2×4,即b2n+2=b2n+3×2×4,因为“3×2×4” 数列?an?的公差3的整数倍,所以说明b2n 与b2n+2(n?N?)同时属于A或同

n-1

时不属于A,

当n=1时,显然b2=2?A,即有b4=2?A,重复使用上述结论,

2n-1

即得b2n?A,?dn =2;

15．（2013北京朝阳二模数学文科试题）已知实数x1,x2,?,xn(n?N且n?2)满足|xi|?1

??i?1,2,???,n?,记S(x1,x2,?,xn)??23xixj.

1?i?j?n(Ⅰ)求S(?1,1,?)及S(1,1,?1,?1)的值; (Ⅱ)当n?3时,求S(x1,x2,x3)的最小值; (Ⅲ)当n为奇数时,求S(x1,x2,?,xn)的最小值. 注:

1?i?j?n?xixj表示x1,x2,?,xn中任意两个数xi,xj(1?i?23j?n)的乘积之

解:(Ⅰ)由已知得S(?1,1,?)??1?22???1. 33S(1,1,?1,?1)?1?1?1?1?1?1??2

- 8 -

(Ⅱ)n?3时,S?S(x1,x2,x3)?1?i?j?3?xixj?x1x2?x1x3?x2x3.

固定x2,x3,仅让x1变动,那么S是x1的一次函数或常函数, 因此S?min{S(1,x2,x3),S(?1,x2,x3)}. 同理S(1,x2,x3)?min{S(1,1,x3),S(1,?1,x3)}.

S(?1,x2,x3)?min{S(?1,1,x3),S(?1,?1,x3)}.

以此类推,我们可以看出,S的最小值必定可以被某一组取值?1的x1,x2,x3所达到,于是

S?min{S(x1,x2,x3)}.

xk??1k?1,2,3当xk??1(k?1,2,3)时,

11322S?[(x1?x2?x3)2?(x12?x2?x3)]?(x1?x2?x3)2?.

22213因为|x1?x2?x3|?1,所以S????1,且当x1?x2?1,x3??1,时S??1,

22因此Smin??1 (Ⅲ)S?S(x1,x2,?,xn)?1?i?j?n?xixj

?x1x2?x1x3???x1xn?x2x3???x2xn???xn?1xn.

固定x2,x3,?,xn,仅让x1变动,那么S是x1的一次函数或常函数, 因此S?min{S(1,x2,x3,?,xn),S(?1,x2,x3,?,xn)}.

同理S(1,x2,x3,?,xn)?min{S(1,1,x3,?,xn),S(1,?1,x3,?,xn)}.

S(?1,x2,x3,?,xn)?min{S(?1,1,x3,?,xn),S(?1,?1,x3,?,xn)}.

以此类推,我们可以看出,S的最小值必定可以被某一组取值?1的x1,x2,?,xn所达到,于是S?min{S(x1,x2,?,xn)}.

xk??1k?1,2,?,n当xk??1(k?1,2,?,n)时,

11n22S?[(x1?x2???xn)2?(x12?x2???xn)]?(x1?x2???xn)2?.

222当n为奇数时,因为|x1?x2???xn|?1,

- 9 -

所以S??1(n?1),另一方面,若取x1?x2???xn?1?1, 2211xn?1?xn?1???xn??1,那么S??(n?1),因此Smin??(n?1)

?1?2222216．（2013北京西城高三二模数学文科）已知集合Sn?{(x1,x2,?,xn)|x1,x2,?,xn是正整数

1,2,3,?,n的一个排列}(n?2),函数

?1,x?0, g(x)???1,x?0.?对于(a1,a2,…an)?Sn,定

义:bi?g(ai?a1)?g(ai?a2)???g(ai?ai?1),i?{2,3,?,n},b1?0,称bi为ai的满意指数.排列b1,b2,?,bn为排列a1,a2,?,an的生成列. (Ⅰ)当n?6时,写出排列3,5,1,4,6,2的生成列;

?,a2?,?,an?为Sn中两个不同排列,则它们的生成列也不同; (Ⅱ)证明:若a1,a2,?,an和a1(Ⅲ)对于Sn中的排列a1,a2,?,an,进行如下操作:将排列a1,a2,?,an从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:新的排列的各

项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2. (Ⅰ)解:当n?6时,排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,?2,1,4,3

?,a2?,?,an?的生成列是与(Ⅱ)证明:设a1,a2,?,an的生成列是b1,b2,?,bn;a1?,?,bn?. b1?,b2?,a2?,?,an?第一个不同的项为ak与ak?,从右往左数,设排列a1,a2,?,an与a1?,an?1?an?. ??1,?,ak?1?ak??1,ak?ak即:an?an??1,?,bk?1?bk??1,下面证明:bk?bk?,bn?1?bn? 显然 bn?bn由满意指数的定义知,ai的满意指数为排列a1,a2,?,an中前i?1项中比ai小的项的个数减去比ai大的项的个数.

由于排列a1,a2,?,an的前k项各不相同,设这k项中有l项比ak小,则有k?l?1项比ak大,从而bk?l?(k?l?1)?2l?k?1.

- 10 -

?,a2?,?,an?中有l?项比ak?小,则有k?l??1项比ak?大,从而同理,设排列a1??2l??k?1. bk?,a2?,?,ak?是k个不同数的两个不同排列,且ak?ak?, 因为 a1,a2,?,ak与a1?. 所以 l?l?, 从而 bk?bk?,a2?,?,an?的生成列也不同 所以排列a1,a2,?,an和a1(Ⅲ)证明:设排列a1,a2,?,an的生成列为b1,b2,?,bn,且ak为a1,a2,?,an中从左至右第一个满意指数为负数的项,所以 b1?0,b2?0,?,bk?1?0,bk??1

依题意进行操作,排列a1,a2,?,an变为排列ak,a1,a2,?ak?1,ak?1,?,an,设该排列的生

?,b2?,?,bn? 成列为b1??b2????bn?)?(b1?b2???bn) 所以 (b1?[g(a1?ak)?g(a2?ak)???g(ak?1?ak)]?[g(ak?a1)?g(ak?a2)???g(ak?ak?1)] ??2[g(ak?a1)?g(ak?a2)???g(ak?ak?1)]??2bk?2. 所以,新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2

17．（2013北京西城高三二模数学文科）已知等比数列{an}的各项均为正

数,a2?8,a3?a4?48. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设bn?log4an.证明:{bn}为等差数列,并求{bn}的前n项和Sn.

(Ⅰ)解:设等比数列{an}的公比为q,依题意 q?0

2因为 a2?8,a3?a4?48, 两式相除得 q?q?6?0, 解得 q?2, 舍去

q??3 所以 a1?a2?4 q所以数列{an}的通项公式为 an?a1?qn?1?2n?1

- 11 -

n?1n?2n?11??, 因为 bn?1?bn?22221

所以数列{bn}是首项为1,公差为d?的等差数列

2

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 bn?log4an?n(n?1)n2?3nd?所以 Sn?nb1? 2418．（2013

北京东城高三二模数学文科）已知数列

{an},a1?1,a2n?an,a4n?1?0,a4n?1?1(n?N*).

(Ⅰ)求a4,a7;

(Ⅱ)是否存在正整数T,使得对任意的n?N*,有an?T?an. (共13分)

解:(Ⅰ)a4?a2?a1?1; a7?a4?2?1?0. (Ⅱ)假设存在正整数T,使得对任意的n?N*,有an?T?an. 则存在无数个正整数T,使得对任意的n?N*,有an?T?an. 设T为其中最小的正整数.

若T为奇数,设T?2t?1(t?N*), 则a4n?1?a4n?1?T?a4n?1?2T?a4(n?t)?1?0. 与已知a4n?1?1矛盾. 若T为偶数,设T?2t(t?N*),

则a2n?T?a2n?an, 而a2n?T?a2n?2t?an?t 从而an?t?an.

而t?T,与T为其中最小的正整数矛盾.

综上,不存在正整数T,使得对任意的n?N*,有an?T?an

19．（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且

a3?S3?9.

(Ⅰ)求{an}的通项公式;

(Ⅱ)若等比数列{bn}满足b1?a2,b4?S4,求{bn}的前n项和公式.

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解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d.因为a3?S3?9, 所以??a1?2d?9 解得a1??3,d?6

3a?3d?9?1所以an??3?(n?1)?6?6n?9

(II)设等比数列{bn}的公比为q,因为b1?a2?(?3)?6?3,b4?S4=-12+36=24,

b1(1?qn)所以3q?24,解得，q?2. 所以{bn}的前n项和公式为Tn??3(2n?1).

1?q320．（2013北京房山二模数学文科试题及答案）已知数列{an}的前n项和为Sn,且

an?1?2Sn(n?N*),其中a1?1,an?0. an(Ⅰ)求a2,a3;

(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅲ)设数列?bn?满足(2an?1)(2n?1)?1,Tn为?bn?的前n项和,试比较Tn与

blog2(2an?1)的大小,并说明理由

(Ⅰ)由于a2?2S12a12S2(a1?a2)??2,a3?2??3 a1a1a2a2111anan?1,故an?1?Sn?1?Sn?an?1an?2?anan?1. 222*(Ⅱ)由已知可知Sn?因为an?1?0,所以an?2?an?2(n?N)

于是 a2m?1?1?2(m?1)?2m?1,a2m?2?2(m?1)?2m,所以 an?n(n?N) (Ⅲ)Tn?log2*(2an?1) (2an?1)的大小,只需比较2Tn,log2(2an?1)的大小

b要比较Tn与log2bb由(2an?1)(2n?1)?1,得(2n?1)(2n?1)?1,2n?2n2n,故bn?log2 2n?12n?1从而 Tn?b1?b2???bn?log2?2n??246??????.

2n?1??135 - 13 -

2n?2n??246?246 2Tn?2log2???????log??????2??2n?1?2n?1??135?13522n??246因此2Tn?log2(2an?1)?log2????????log2(2n?1)

2n?1??1352n?12n?1?246?246 ?log2???????log?log[??????]. 22???2n?1?2n?12n?1?2n?1?135?1352222设f(n)???2462n?1?1?3?5???2n?1???2n?1, 2则f(n?1)???2?1?43?65???2n2n?2?12n?1?2n?1???2n?3, 2故f(n?1)2n?1?2n?2?(2n?4n2?8n?4f(n)?2n?3???2n?1???2)2(2n?3)(2n?1)?4n2?8n?3?1, 又f(n)?0,所以f(n?1)?f(n).

所以对于任意 n?N* 都有f(n)?f(1)?43?1, 从而2Tn?log2(2an?1)?log2f(n)?0.所以2Tn?log2(2an?1)，n?N*. 即 Tn?log2(2an?1) 。

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