概率论与数理统计第九章

概率论与数学统计袁荫棠版人民大学出版社的课件,里面有习题例题仔细的讲解

第九章 假设检验对一个样本进行考察，从而决定它能否合理地认为 与假设相符，这一过程叫做假设检验。

判别参数假设的检验称为参数检验。参数估计与参数检验都利用样本的信息。 估计量 样本信息 检验统计量 参数检验 参数估计

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§1 假设检验的原理以H0表示一个待检假设。 设H0成立，若样本出现的概率很小 由小概率原理，否定H0 若样本出现的概率较大，则无法否定H0“小概率”事先指定，记为 一 般 = 0.05 或 0.01 称 为 显 著 性 水 平 或 检 验 水 平

如H0:100个球中有99个白球(1个黑球) 任取一球，若取到黑球，则否定H0

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由样本推断总体，可能会犯错误

第一类错误：原假设H0符合实际情况，检验结果 将它否定了，称为弃真错误。第二类错误：原假设H0不符合实际情况，检验结果 无法否定它。称为取伪错误。 如有两个假设： H1:100个球中有99个白球，1个黑球 H2:100个球中有90个白球，10个黑球 若取出一球是黑的，否定H2更可能犯错误。 若取到白球，既不能否定H1,也不能否定H2

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假设检验的步骤：

(1)提出待检假设H0 (2)提出检验统计量 (3)确定H0的否定域 (4)计算检验统计量的观察值 (5)下结论。例 如 对 已 知 方 差 D 的 未 知 总 体 ， 检 验H 0 : E 0

若 H 0成 立 ， 则 对 X用 切 贝 谢 夫 不 等 式 P X 0 D n

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若 由 样 本 求 出x当 x 0 当 x 0 D n D n 时 ， 否 定 H0

时 ， 不 否 定 H0

例1 掷 1 0 0 次 硬 币 ， 出 现 6 0 次 正 面 ， 该 硬 币 是 否 均 匀 ？ ( =0.05)解 ： 待 检 假 设 H 0: E 1 2

样 本 平 均 值 x 0.6x 1 2 0 .1 <0.224

D n

0 .2 5 1 0 0 0 .0 5

=0.224

不能否定H0

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§2 一个正态总体的假设检验(一 )已 知 方 差 , 关 于 期 望 的 检 验1、 检 验 假 设 H 0 : 0选取检验统计量 U X 0 n N ( 0 ,1)2

查 表 确 定 u 使求出 u= x 0 n

P U u

若 u u ,则 否 定 H 0 若 u u , 不 能 否 定 H 0 在 u u 时 , 重 新 检 验

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例1 根 据 长 期 经 验 和 资 料 的 分 析 ， 某 砖 瓦 厂 生 产 砖 的 抗 断 强 度 服 从 正 态 分 布 ， 方 差 = 1 .2 1。 从2

该 厂 产 品 中 随 机 抽 取 6块 ， 测 得 抗 断 强 度 如 下 (单 位 ： kg/cm ) 3 2 .5 6 2 9 .6 6 3 1 .6 4 3 0 .0 0 3 1 .8 7 3 1 .0 32 2

检 验 这 批 砖 的 平 均 抗 断 强 度 为 3 2 .5 0 k g /c m 是 否 成 立 ？ 0 .0 5 ) (

解 ： H 0: = 32.50u x 0 n

= 0.05

u 1 .9 6

x = 31.13

3 1 .1 3 3 2 .5 0 1 .1 6

3.05 1 .9 6

否定H0,即不能认为这批砖的平均抗断强度为 32.50k

g/cm2

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例 2 假 定 某 厂 生 产 一 种 钢 索 ， 它 的 断 裂 强 度 (kg / cm )2

服 从 正 态 分 布 N( ,40 )。 从 中 选 取 一 种 容 量 为 9的 样 本 ， 得 x = 7 8 0 k g /c m 。 能 否 据 此 样 本 认 为 这 批 钢 索 的 断 裂 强 度 为 8 0 0 k g /c m ? ( = 0 . 0 5 )2 2

2

解 ： H 0 : 800u x 0 n

0.05780 800 40 9

u 1 .9 6

=1.5 <1.96

不能否定H0 即可以认为这批钢索的断裂强度为800kg

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2、 检 验 假 设 H 0 : 0X n N ( 0 ,1)

x 0 x 故P u 2 P u 2 n n X- 0 n

故

取 统 计 量 U= x 0 n

当

u

u 2 时 ， 否 定 H 0

但 当 u u 2 时 ， 不 否 定 H 0 , 依 据 不 足 。

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例 3 工 厂 排 放 污 水 要 求 有 害 物 浓 度 不 超 过 19 (毫 克 /立 升 )。 过 去 数 据 表 明 ， 有 害 物 浓 度 分 布 为 N( ,1.25)。 抽 检 10次 ， 得 到 有 害 浓 度 的 平 均 值 为 19.5(毫 克 /立 升 )。 该 工 厂 的 废 水 达 标 了 吗 ？ ( =0.05)

解 ： H 0 : 19

0.05u x 0 n

u 2 2 .5 8 1 9 .5 1 9 1 .2 5 10

x 19.5

1.414 2.58

不能否定H0 即可以认为工厂的废水达到了排放标准。

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(二)未知方差，关于期望的检验1、 待 检 假 设 H0 : 0T X 0 S n t ( n 1)

选取检验统计量

查 表 确 定 t 使 P T t 求出 t x 0 s n

若 t t ,则 否 定 H 0 若 t t ,不 能 否 定 H 0

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例 4 从 某 年 的 新 生 儿 中 随 机 抽 取 20个 ， 测 得 其 平 均 体 重 为 3160g, 样 本 标 准 差 为 300g。 据 过 去 统 计 资 料 ， 新 生 儿 体 重 服 从 正 态 分 布 ， 平 均 体 重 为 3140g。 问 该 年 与 过 去 的 新 生 儿 体 重 有 无 显 著 差 异 ？ ( =0.01)

解 ： H 0 : 3140t x 0 s n

n=20

0.01

t 2 .8 6 1

3160 3140 300 20

0.298 2.861不能否定H0

即该年与过去新生儿体重没有显著差异。

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例 5 掷 1 0 0次 硬 币 ， 出 现 6 0次 正 面 ， 该 硬 币 是 否 均 匀 ？ ( 0 .0 5 )

解：大样本，可用正态总体来做

H 0 : E 0 .5

n=100x 0 .6t

= 0.052

t 1 .9 8

s 0.2424 0 .6 0 .5 0 .4 9 100

s 0 .4 9

x 0 s n

2.04

1 .9 8

否定H0

即认为该硬币不是均匀的

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2、 检 验 假 设 H 0 : 0X S故

t ( n 1)

n

X 0 X P t 2 P t 2 n n S S

取统计量T 当 t= x 0 s n

X 0 S n

t 2 时 ， 否 定 H 0

类似也可检验H0 : 0

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例6 某服务系统的相应时间服从正态分布，需

求 其 平 均 相 应 时 间 在 0.5秒 之 内 。 若 16次 抽 样 测 试 得 到 样 本 平 均 值 为 x=0.56秒 ， 样 本 标 准 差 为 s=0.12秒 ， 该 服 务 系 统 工 作 是 否 正 常 ？ ( =0.05)

解 ： H 0 : 0.5 t 2 1.753t x 0 s n

n=160 .5 6 0 .5 0 .1 2 16

= 0.05

=2 >1.753

否定H0 即该服务系统工作不正常

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(三)关于方差的检验1、 检 验 假 设 H 0: 02

2

2

选取检验统计量 =

(n-1)S 02

2

( n 1)2

要使得

2 ( n 1)S P a b 1 2 0

查表确定a与b使得P b 22

P a 1 22

求出 =2

(n-1)s 022

2

若 b或 a, 否 定 H 02

若 a b, 不 能 否 定 H 02

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例7 某钢铁厂铁水含碳量在正常情况下服从正态 分布。现对操作工艺进行了某些改进，从中抽取 5炉 铁 水 ， 测 得 含 碳 量 数 据 如 下 ： 4.421 4.052 4.357 4.287 4.683

是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍 为 0 . 1 0 8 ? 0 .0 5 ) (2

解：n 5

0.052

s 0 .2 2 82

2

查表可得 a=0.484 =2

b=11.12 2

( n 1)s 02

4 0 .2 2 8 0 .1 0 8

17.83

>11.1

否定H0,即方差不能认为时0.1082

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2、 检 验 假 设 H 0 : 02

2

(n-1)S 2

2

( n 1)2

2 ( n 1)S 2 ( n 1)S P b P b 2 2 0

选取

=2

( n 1)S 02 2

2

当 =2

( n 1)s 02

b时 ， 否 定 H 0

当 b时 ， 不 能 否 定 H 02

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例8 葡 萄 酒 厂 用 自 动 装 瓶 机 装 酒 ， 每 瓶 规 定 重 量 为 500克 ,标 准 差 不 超 过 10克 ， 每 天 定 时 检 查 。 某 天 抽 得 9 瓶 ， 测 得 平 均 重 量 为 x 4 9 9克 ， 标 准 差 为 s 1 6 .0 3 克 。 假 设 瓶 装 酒 的 重 量 服 从 正 态 分 布 。 问 这 台 机 器 工 作 是 否 正 常 ？ ( =0.05)

解 ： n 9, 0.05, x 499, s 16.03 (1)检 验 假 设 H 0 : 500, 未 知2

t 2 .3 0 6t x 0 s n 499 500 1 6 .0 3 9

0.187

<2.306

不能否定H0,即平均重量是正常的。

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(2)检 验 假 设 H 1: 10P ( 15.5) 0.052

2

2

b=15.52

2

(n-1)s 02

2

8 1 6 .0 3 102

2 0 .5 6 1 5 .5

否定H1.即认为方差超过100 该台机器运转无系统误差，但不够稳定。 因此，认为这台机器该天工作不正常。

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§3 两个正态总体的假设检验对 1 N( 1 , 1 )与 2 N( 2 , 2 ) 进 行 比 较2 2

(一)方差的比较检验1、 检 验 假 设 H 0: 1 2 若 H 0成 立 时 ，1 S 2 的 值 不 应 太 大 或 太 小 S F S1 S 2 F(n 1 1, n 2 1)2 2 2 2 2 2

其 中 S1 与 S 2 分 别 表

示 与 两 个 总 体 对 应 的 样 本 方 差 。

2

2

对 给 定 , 查 F 分 布 表 使

P (F a ) P (F b ) 2

样表如下：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/l4j1.html