高二新课标版上学期期中测试题

高二新课标版上学期期中测试题

数 学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一个是正确的。

1．已知直线L1与L2的斜率是方程6x2?x?1?0的两个根，那么L1与L2的夹角是（ ）

A．45°

B．60°

C．30° C．(0,2D．15°

（ ）

14a,0)

2．抛物线y?ax2(a?0)的焦点坐标是

A．(0,)

4aB．(0,?14a)

14a) D．(3．经过点M(26,?26)且与双曲线

x2x4?y23?1有共同渐近线的双曲线方程为 （ ）

x2 A．

6?y28?1

B．

y28?x26?1

C．

8?y26?1

D．

y26?x28?1

4．由点P（－1，4）向圆x2?y2?4x?6y?12?0引的切线长是

A．3

B．5

C．10

D．5

（ ）

5．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是随圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|， 那么动点Q的轨迹是 （ ）

A．圆

B．椭圆

C．双曲线的一支

D．抛物线

6．某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为45个、50个，所用原料为A、B两种规格的金属 板，每张面积分别为2m2、3m2，用A种金属板可造甲产品3个，乙产品5个，用B种金 属板可造甲、乙产品各6个，则A、B两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用 料面积最省？

A．A用2张，B用6张 C．A用3张，B用5张 A．直线

B．椭圆

B．A用4张，B用5张 D．A用3张，B用6张

C．双曲线

- 1 -

7．动点P到直线x?5?0的距离减去它到M（2，0）的距离的差等于3，则点P的轨迹是

D．抛物线

（ ）

8．在同一坐标系中，方程a2x2?b2x2?1与ax?by2?0(a?b?0)的曲大致是 （ ）

A． B． C． D．

9．过双曲线2x2?2y2?1的右焦点且方向向量为(1,3)的直线L与抛物线y2?4x交于 A、B两点，则|AB|的值为

A．

837

22

C．

83

D．

1637

（ ）

B．

yb2216310．椭圆

xa??1(a?b?0)的半焦距为c，若直线y?2x与椭圆的一个交点的横坐标

恰好为c，则椭圆的离心率为

2212 （ ）

A．1?

103B．2? C．2?1 D．3?1

11．记定点M(3,)与抛物线y2?2x上的点P之间的距离为d1，P到抛物线准线L的距

离为d2，则当d1+d2取最小值时，P点坐标为 A．（0，0）

2 D．(,?8112)

（ ）

B．（1，2） C．（2，2）

12．对于抛物线y?4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（ ）

A．(??,0)

B．(??,2]

C．[0，2]

D．（0，2）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。） 13．设A、B两点是圆心都在直线x?y?0上的两个圆的交点，且A（－4，5），则点B的 坐标为 . 14．“神舟”五号飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地球半径约为6370公里，飞

- 2 -

船近地点、远地点的距离分别为200公里、350公里，则飞船轨道的离心率为 . （结果用既约分数表示）

15．到定直线L：x=3的距离与到定点A（4，0）的距离比是 .

16．已知抛物线y?x2上有一条长为2的动弦AB，则AB中点M到x轴的最短距离为 . 三、解答题（共74分） 17．（本小题满分12分）

已知双曲线过点P(?32,4)，它的渐近线方程为y??43x

32的点的轨迹方程是

（1）求双曲线的标准方程；

（2）设F1和F2是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求 ∠F1PF2的大小.

18．（本小题满分12分）

如右图，圆C通过不同三点P（k，0）、Q（2，0）、R（0，1），已知圆C在点P的

切线斜率为1，试求圆C的方程.

19．（本小题满分12分）

已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A（4，m）到焦点的

距离为6.

（1）求此抛物线的方程；

（2）若此抛物线方程与直线y?kx?2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，

求k的值.

20．（本小题满分12分）

过抛物线y?4x焦点的直线L与这条抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点. （1）求△AOB的重心G的轨迹方程；

（2）当直线L的倾斜角为45°时，试在抛物线的准线上求一点P，使AP⊥BP.

- 3 -

221．（本小题满分12分）

如右图，A、B分别是椭圆

ya22?xb22?1(a?b?0)的上、下两顶点，P是双曲线

ya22?xb22?1上在第一象限内的一点，直线PA、PB分别交椭圆于C、D点，如果D恰

是PB 的中点.

（1）求证：无论常数a、b如何，直线CD的斜率恒为定值； （2）求双曲线的离心率，使CD通过椭圆的上焦点.

22．（本小题满分14分）

设x、y?R，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量

a?xi?(y?2)j,b?xi?(y?2)j,且|a|?|b|?8.

（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；

（2）过点（0，3）作直线L与曲线C交于A、B两点，设OP?OA?OB，是否存在这

样的直线L，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线L的方程；若不存在， 请说明理由.

参考答案

一、选择题：

1.A 2.C 3.D 4.A 5.A 6.D 7.D 8.D 9.B 10.C 11.C 12.B 二、填空题：

13．（5，－4） 14．三、解答题：

17．解（1）由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为?32的点P?的纵坐

标绝对值为42

5443 15．

x212?y24?1 16．

34

- 4 -

?42?4 ∴双曲线的焦点在x轴上，设方程

18a2xa22?yb22?1??????3分

∵双曲线过点P(?32,4)又?ba?43??16b2?1 ①

②

x2由①②得a?9,b?16，∴所求的双曲线方程为（2）证|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1·d2=32

229?y216?1????6分

又由双曲线的几何性质知|d1－d2|=2a=6????8分

?d1?d2?2d1d2?36 即有d1?d2?36?2d1d2?100??????10分

2222又|F1F2|=2c=10 ?|F1F2|2?100?d12?d22?|PF1|2?|PF2|2 △PF1F2是直角三角形，?F1PF2?90?????????????12分

18．解：设圆C的方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，则k、2为方程x2?Dx?F?0的两根，

， ?k?2??D,2k?F,即D??(k?2),F?2k，又因圆过点R（0，1）故1+E+F=0，????4分

?E??2k?1,?圆的方程为x?y?(k?2)x?(2k?1)y?2k?0，圆心C的坐标 k?22k?1,)??????????7分 222k?1∵圆在点P的切线斜率为1，?kCP??1?，解得k??3??????11分

2?k22为(∴所求圆的方程为x?y?x?5y?6?0??????12分

219．解：（1）由题意设抛物线方程为y?2px，其准线方程为x??22P2，????2分

∵A（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离

?4?P2?6?p?4 ∴此抛物线的方程为y2?8x????6分

?y2?8x22（2）由?消去y得kx?(4k?8)x?4?0??????8分

?y?kx?2

- 5 -

∵直线y?kx?2与抛物线相交于不同两点A、B，则有?解得k??1且k?0解得k?2或k??1（舍去） ∴所求k的值为2??????12分 20．解：（1）抛物线的焦点坐标为（1，0）

?k?0???0????10分

当直线不垂直于x轴时，设L：y?k(x?1),代入y2?4x 得k2x2?2(k2?2)x?k2?0????2分 ∵L与抛物线相交于两点，?k?0

设A(x1,y1),B(x2,y2)，根据韦达定理x1?x2??y1?y2?k(x1?x2?2)?4k2(k2?2)2kx1x2?1

y1?y2?k2(x1?1)(x2?1)??4????4分

24?x??2??33k设△AOB的重心G(x,y)，则?

?y?4?3k?消去k并整理得y?243x?89??????6分

当L垂直于x轴时，A、B的坐标分别是（1，2）和（1，－2） ∴所求轨迹方程为y?243x?89????????????????8分

（2）当直线L的倾斜角为45°时，k=1 ?x1?x2?6,y1y2??4 设抛物线的准线上一点P（－1，y0） ?AP?BP?y1?y0x1?1?y2?y0x2?12??1????10分

整理得

y1y2?y0(y1?y2)?y0x1x2?(x1?x2)?1??1 即

?4?4y0?y01?6?12??1 解之y0?2

∴所求点P的坐标为（－1，2）????????????12分 21．解：（1）设P点坐标为(x0,y0)，又A、B坐标分别是(0,a)、(0,?a)

- 6 -

而D是PB的中点，∴D点坐标为(x02,y0?a22)，????????2分

把D点坐标代入椭圆方程，得：

(y0?a)a2?x0b22?4 ①

又

y0a22?x0b22?1 ②

由①②解得，y0?2a(y0??a舍去） x0?3b,?P点坐标为(3b,2a)????????????5分 y0?ax0a3ba3bya22故kPA??，直线PA的方程是y?x?a与?xb22?1联立，解得

C点坐标为(?3ba3a,)，又D点坐标为(b,)????????7分 2222∴C、D两点关于y轴对称，故无论a、b如何变化，都有CD//x轴，直线CD的斜率恒 为常常0.????????9分

（2）当CD过椭圆焦点(0,a2?b2)时，则a?b727222?a2,?b?34a，??10分

2双曲线中，c?a?b22?a，

∴双曲线的离心率e?ca?.????????????12分

22．（1）解法一：?a?xj?(y?2)j,b?xi?(y?2)j,且|a|?|b|?8，

∴点M（x，y）到两个定点F1（0，－2），F2（0，2）的距离之和为8.????3分 ∴轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，方程为

x212?y2162?1，??????5分

解法二：由题意知，移项，得

2x?(y?2)222?x?(y?2)22?8??????2分

x?(y?2)?8?x?(y?2)2，

- 7 -

两边平方，得x2?(y?2)2?x2?(y?2)2?162x?(y?2)22x?(y?2)22?64，整理，得

?8?y，

两边平方，得4[x?(y?2)]?(8?y)，展开，整理得

222x212?y216?1.???5分

（2）∵L过y轴上的点（0，3），若直线L是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点. ∵OP?OA?OB?0，

∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾，??????6分 ∴直线L的斜率存在，设L方程为y?kx?3,A(x1,y1),B(x2,y2).

?y?kx?3,?2由?x2消去y得：(4?3k2)x2?18kx?21?0.??????8分 y??1?16?12此时，??(18k)2?4(4?3k2)(?21)?0恒成立. 且x1?x2??18k4?3k2,x1x2??214?3k2.??????9分

?OP?OA?OB,?四边形OAPB是平行四边形，

若存在直线L，使得四边形OAPB是矩形，则OA?OB,即OA?OB?0.

?OA?(x1,y1),OB?(x2,y2),?OA?OB?x1x2?y1y2?0，??????11分

即(1?k)x1x2?3k(x1?x2)?9?0， 也即(1?k)?(?51622214?3k2)?3k?(?18k4?3k2)?9?0，

即k2?,解得k??5454.??????????????13分

∴存在直线L：y??

x?3，使得四边形OAPB是矩形.??????14分

- 8 -

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