复变函数与积分变换测验题2参考答案

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第二章 解析函数

一、选择题：

1．B 可参照填空题第四小题的处理方法。

2．B 注： 函数f(z)在点z可导，f(z)在点z不一定解析；反之，f(z)在点z不解析，则函数f(z)在点z可导；函数f(z)在一

区域内处处可导等价于处处解析

3．D 注： A 三角函数的模可能大于1或无界；

B 若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不一定不可导

C 解析的条件; u,v在区域D内可微，u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程， 4． C 由柯西黎曼方程可得。

5．B 第二节例2.3的结论： 解析函数若f?(z)在某一区域内处处为零，则函数在此区域内为常数。

6．C 注：选项A，B，D中函数f(z)只是有定义，并为要求解析。反例：f(z)?cosx?isinx 选项C 设解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y) 则 解析函数 f(z)?u(x,y)?iv(x,y)

?u?0 ?x?v?0 两式相减得到解析函数h(z)?2v(x,y) 满足柯西黎曼方程 ，因此 ?x?u?v?i?0 所以，函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的导数f'(z)??x?x两式相加得到解析函数g(z)?2u(x,y) 满足柯西黎曼方程 ，因此

根据：第二节例2.3的结论： 解析函数若f?(z)在某一区域内处处为零，则函数在此区域内为常数。

7．A 导数公式 若f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，则导数f'(z)??u?v?i ?x?x8．A 注： 本题 函数是

ez，不是 e 。

zez?ex?iy?ex(cos(?y)?isin(?y))

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判定时，按照判定复变函数可导解析的方法进行处理。 9．C

二、填空题

1．设f(0)?1,f?(0)?1?i，则limz?0f(z)?1? 1+i z2z2．设f(z)?z2sinz?iez，则f?(z)?2zsinz?zcosz?ie 3．设f(z)?x3?y3?ix2y2，则f?(?332727?i ?i)? 2244注：第二，三题 ，关于复变函数导数的计算方法：

若函数f(z)利用z表示，则求导规则与高数中形式一致；若f(z)利用x,y表示，则利用公式

若f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，则导数f'(z)?得到具体导数值。

?u?v?i 确定所要计算点的实部x,虚部y，?x?x15z?(1?i)z2，则方程f?(z)?0的所有根为 z?0,32(1?i) 5152注： f(z)?z?(1?i)z 是利用Z表示的，所以它的导数计算规则与“高数”中情形相同

55．设f(z)?f?(z)?z4?2(1?i)z?0

6．方程1?e?z?0的全部解为 2k?i(k?0,?1,?2,?) ；sinz?0的全

(k?0,?1,?2,?)

部解为 k?解： 1?e?z?0 即e?z?1?e0 根据复指数函数的周期性 ：若ez1?ez2，则z1?z2?2k?i

?z?0?2k?i，得结论。

7．函数

z?2?i的奇点 ?1,i,?i

(z?1)3(z2?1)注：使分母为零的点。 三、计算题

函数f(z)?zIm(z)?Re(z)何处可导？何处解析？

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考察知识点：本题考查函数可导，解析的判定。具体的计算步骤：

2.判定函数f(z)何处可导，何处解析？a.确定函数f(z)的实部u(x,y),虚部v(x,y);?u?u?v?vb.计算偏导数,,,判定它们在哪些点处连续？?x?y?x?y

?u?u?v?vc.判定偏导数,,,在哪些点处满足?x?y?x?y柯西?黎曼方程？d.判定b,c中的共同点为f(z)的可导点, 若可导的点构成一个区域，则f(z)在此区域内也解析； 若可导的点只是一个点或不构成区域，则f(z)处处不解析。

解： 令z?x?iy带入函数，得 f(z)?zIm(z)?Re(z)?(x?iy)y?x?xy?x?iy2

2实部u(x,y)?xy?x，虚部v(x,y)?y

?u?u?y?1 ?x ?x?y?v?v?0 ?2y ?x?y这些偏导数在整个复平面上处处连续。

??u?v??x??y?y?1?2y?对于柯西-黎曼方程? 即? ，所以，柯西-黎曼方程在点x?0，

?x??0??u???v??x??yy??1即 z??i处成立。

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因此，函数f(z)在点z??i可导。 所以，函数f(z)处处不解析。

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