泛函分析答案2.3

泛函分析 江泽坚 版,答案,有全部答案呢,可以向我索要哦!泛函好难,答案是必须有的!

X是Banach空间，X0

是X的闭子空间，映射 :X X/X0，定义为

其中[x]表 :x [x] x X，

示含x的商类. 求证 是开映射.

证法1 用开映射定理, 只需证明 满射. 事实上,

[x] X X0,任取x [x],则有x X, x=[x].

证法2 不用开映射定理. 教材p94, 定理 2.3.8 的证明中的 (1)为了证T是开映射，必须且仅须 >0, s.t.

TB( ,1) U( , ) . 取 =1.并设

B( ,1) X中的开单位球;

1

U ,1) X X0中的开单位球.

下面证明U( ,1)= B( ,1).

x B( ,1) x<1 [x] x<1 x=[x] U( ,1) B( ,1) U( ,1)反之,

[x] U( ,1) [x]<1 x [x],使得

x<1 x B( ,1),[x]= x. U( ,1) B( ,1)

2.3.2设X,Y是Banach空间. U L(X,Y)，设方程Ux=y对每一个y Y有解x X，并且 m>0，使得

Ux m x , x X.求证：U有连续逆U 1，并且

2

U 1/m .

证明由条件, U是满射,且是单射. 所以根据Banach定理,U 1 L(Y,X), y Y,y=1,设U 1y=x,则

1=y=Ux m x =m U 1y U 1 =sup U 1y 1/m .

y=1

x (RA)),

?

0=故有

|(Ax,x)| m x 2 x= ,

?

(R(A))={ }.

2.3.3设H是Hilbert空间，A L(H)并且 m>0，使得|(Ax,x)| m x 2, x H.求证 A 1 L(H) .证明由条件, x H,

所以R(A)是稠的. 设{yn}是R(A)中的基本列, 并设Axn=yn ,

则由 Ax m x {xn}是基本列.

xn x0 H yn=Axn Ax0 R(A).R(A)是闭的. R(A)=RA=H即A是满射 .所以根据Banach定理, A 1 L(H).

2.3.4设X,Y是线性赋范空间，

m x 2 |(Ax,x)| x Ax Ax m 所以

A是单射.

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是X的线性子空间，

A:D Y是线性映射. 求证:(1) 如果A连续，D是闭集，则A是闭算子;

(2) 如果A是连续且是闭算子，则Y完备蕴含D闭;

(3) 如果A是一一的闭算子，则A 1也是闭算子;

(4) 如果X完备，A是一一的闭算子，R(A)在Y中稠密，并且A 1连续，那末R(A)=Y . (1) 如果A连续且D是闭的，则A闭算子；

xn D(A),xn x

,设

Axy n

D x D(A) A , y=Ax

5

闭算子

(2) 如果A连续，又Y完

备, 那么根据定理 2.3.12 (B.L.T), A能一地延拓到

D上成为连续线性算子 A,A|=A,A=A.本题

D

还有一个条件A是闭算子,下面证明D闭. 设xn D,xn x.则有Axn= Axn Ax,于是因为A是闭算子,所以 xn D,xn x

Axn Ax

6

x D且Ax=Ax.

(3) 如果A是单射的闭算子，则A 1也是闭算子.设

yn R(A),yn y xn D(A),x

1

x=Ay xyn=Axnnn 因为 A 是闭算子, 所以x D(A),y=Ax y R(A),x=A 1y. i.e. A 1是闭算子.

(4) 如果X完备，A是单射的闭算子, R(A)在Y中稠密, 并且A 1连续，那末R(A)=Y.

X A 1 闭.

(2)

R(A)=DA 1

()

. YR(A)

R(A)

最后 R(A)=R(A)=Y.

2.3.5用等价范数定理证明

(C[0,1], 1)不是Banach空间，其

1

中 f =!0|f(t)|dt f C[0,1] .证明用反证法. 假如C[0,1], 1是B空间,

(

f=maxf(t). !0f(t)dt maxf(t

1

0 t 1

0 t 1

)

A是单射的闭算子

也是闭算子.

(3)

A 1

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是比 1强的范数, 用等价范数定理, 与 1等价, 即 M>0, s.t.f Mf1即maxf(t) M!0f(t)dt

1

( f C[0,1]).

0 t 1

令

p(x+x) p(x)+p(x) x,x X ;

(4) 当xn x时，p(xn) p(x) .求证: M>0，使得p(x) M x x X .证明令

x1=x+supp(x),

x=1

$

1 Mt(0 t ) 1 M f(t)= 2M0t1 ()

矛盾.

2.3.6 Gelfand引理. 设X是Banach空间，p:X R1满足(1) p(x) 0 x X ;(2)

p("x)="p(x) ">0,x X ;(3)

x1是X上的完备范数,然后用等价范数定理.

所给的条件(4), 有两处发挥作用.其一是证明p( )=0:

x0&0,其二是证明从

0 p( ) p(nx0)=np(

(X,x)

1

n %n %

完备时,

910

xn xm1 0 xn xm 0, (X,x完备, x X,使得

xn x.

N N, ' (0,1),

xn xm1<( n>N),2

)

pex

i(

y=ei(x

=pysupp(y)=supp(x)

y=1

x=1

y=1

suppei(x supp(x);

x1

x=1

()

p(x)=pei( e i(x

p

(

xn xm

xn xm

supp((x)=supp(ex

i(

x=1

x=1

x=1

( n>N)

)

<

m %

2

p

(

xn xxn x

)

p

m %

(

xn xmxn xm

)

y=1

2

(supp(ey)

i(

y=1

)(

y=e i(x

=

pei(y

()

()

supp(x) suppei(x.

x1

x=1

)

=(suppex=(supp(x)

i(

x=1

()

x0&0,

0

p( ) p(x0)

n %

(x1=x注

1

( ( R).

1

=p(x0)=0 p( )=0.

x X,x=1

n %

下面证明

(X,x)

1

完备.

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xn xm1 0 xn xm 0, (X,x完备, x X, s.t. xn x. ' (0,1), N N,xn xm1<'( n>N),x xm' pxn< xnm m %

x xxn xm

p pxn

xn xmn xm %

( n>N)

xn xm< m %

xx2 ( n>N)n

)

xn x+2xn x=(1+2)xn x< <'

( n>N).

(

()

)

根据等价范数定理, M>0,使得x1 Mx p(x) Mx.注: 存在某个线性空间上的强、弱两个范数，

使弱范数完备而强范数不完备．见反例 p36, 12.

2.3.7设X,Y是Banach空间. An L(X,Y)(n=1,2, ) . 又对 x X，{Anx}在Y中收敛. 求证 A L(X,Y)，使得An强收敛到A，且 A lim An .

14

()

2

xn x1=xn x+supp(xn x)

xn x=1

13

x X,

Ax=limAnx,

n %

$

{Anx}

在在

Y

Y中收敛, 中有界, 即

{Anx}

x=)k p保证*ak)k收敛，求证{ak} q . 又若

f:x *ak)k，求证f作为 p上的线性泛函，有

f =(*|ak|).

q

%

1supAnx<%

n 1

( x X)

证

%

x={)k} p,

k=1n

k=1

令

由共鸣定理2.3.15, M>0,s.t. An M.( n 1).于是

f,x=*(k)k;fn,x=*(k)kfn p

Ax=Anx Anx Mx A

n %

n %

()

p

k=1+

=L p,K,

()

且lim

n %

L(X,Y),

并且

A An.

n %

fn,x=f,x.f

由习题2.3.7,

2.3.8 设1<p<%并且11

+=1，如果序列{ak}，使得

下面证明(={(k} q.

()

+

.

取

n N,

x() , 其坐标

n

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xk=, x

n

k

q 1

e i kk n

k>n

,

f,x=(,x

H lder

q

x

p

f (q.

k=arg(k

(n)

,p+q=1,p

联合

q 1

(q f

f (

q

f=q.

一方面f,x

q 1

(n)

=*(kk

k=1

k

n

e

q

i k

=*k

k=1

n

kei e i =*(k;

k

n

2.3.9证令

%k=1

x={)k} 1,

k=1

另一方面,

(q 1)p=-(q 1)p.

f,x fx=f/*k=0

1k=12nnn

--q.q.q

*(k f/*k0 /*k0 f k=11k=121k=12且

q f.

(n)

(n)

n

17

f,x=*(k)k;

n

fn,x=*(k)k

fn 1f

()

1+

k=1+

=L 1,k,

()

且lim

n %

fn,x=f,x.

由习题2.3.7,

下面证明(={(k} %.

18

()

.

k

ek={0, 0,1,0,0, } 1,(k=f(ek).

$

ek=1

则

px=supAx

p(x) Mx Ax Mx A M( A W).

2.3.11设X,Y是Banach空间，A L(X,Y)是满射. 求证如果在Y中yn y0，则 c>0与xn x0使Axn=yn，且 xn c yn .证明

设N(A)={x X|Ax=0},考虑映

射A:X N(A)

Y, [x] X N(A), x [x].证明 A[x]=Ax,A

$

A W

(k=f(ek) fek且% f.又

nk=1

1 k n%

f (={(k} ,

fn,x *k)k supk fn supk 1 k n

*k=1

n

k

sup(k1 k n

由习题2.3.7,

f limfn n %

%

(% f.

f=

f (%

%

=supk.

k 1

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A[x]

Y

=Ax3

Y

Ax3 2A

[x],

3

xn ,且

3

定义ynAxn,

yn

3

Axn= A46xn57

3

xn 64xn75

则有设

x Cyn,3

n

1 C=2A.

推出A有界.由 Banach 逆算

子定理，

1 A L(Y,X N(A)).不妨假

设

y0=0,yn 0,记

1 x=Ayn,46n57

1 1 yn.46xn57=Ayn A

记yn y0& ,

1 1 46xn57=Ayn,46x057=Ay0,

1 1 1 yn y0xn57 46x057=Ayn Ay0 A

3

x0 46x057,

取

满足

3

x0 246x057,3xn 46xn57,满足

33xn x0 246xn57 46x057.于是

3333xn xn x0+x0 Cyn y0+Cy0

于是, 取

xn 46xn57,

便有

使得

xn 246xn57,

xn Cyn,

1 C=2A.

其中

Cyn+2Cy0.

21

22

y0

上去．

yn y0& ,n>N0

折合到

yn

N0,

y0 yn yn y0 于是对

上面取法，

1y0 y0 2yn.

按

A满射， y Y,

x3 X,使得

Ax3=y A[x3]=Ax3=y.

A满射． A[x]

=Ax3

Ax3

1.4.17(5)

3

n>N0,xn3xn 5Cyn.

满足

n N0,

取

3

xn 46xn57,

x N(A) [x]= .

3

xn 24则有6xn57,

3Axn= A46xn57=yn

1

3 xn 2yn=Cyn

xn57 2A

A[x]=0 Ax=0( x [x])

1

设yn 0,记46xn57=Ayn,

1 1 yn.46xn57=Ayn A

A有界．

由 Banach 逆算子定理，

1 A L(Y,X N(A)).

Y

Y

2A

[x],

A

单

注意到这个结论与要证的结果十分

1 类似，其中A相当于C.

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中的[] , 去掉，

3

4取xn

6xn57,使得

1

3 xn 24yn

6xn57 2A

3

xn ,且

3

ynAxn,定义yn 0

46xn57

过河拆桥．

3x0 246x057,3xn 46xn57,满足

33xn x0 246xn57 46x057.于是

1

33 xn x0 Cyn y0,C=2A.

3

x0 Cy0

3

Axn= A46xn57

1

C=2 A.

3xn 46xn57

则有设

3

xn Cyn,

33

xn x0

33

yn=Axn,Ax0=y0

3333

xn xn x0+x0 Cyn y0+Cy0

记yn y0& ,

1 1 46xn57=Ayn,46x057=Ay0,

1

1

1

46xn57 46x057=Ayn Ay0 A取

3

x0 46x057,

yn y0

满足

25

Cyn+2Cy0.

再想办法将y0折合到yn上去．

yn y0& , N0, n>N0

26

x a Tx x DT

y0 yn yn y0 2y0 y0 2yn.

3

于是对按 n>N0,xn

3

上面取法，xn 5Cyn.

满足

n N0,

取

3

xn 46xn57,

3

则有xn 246xn57,

3Axn=A46xn57=yn

1

3 xn 24yn=Cyn

6xn57 2A

(3) R(T)在Y中闭的充分必要

条件是 a>0，

d(x,N(T)) a T ( x D(T)).其中d(x,C)表示x到X的子集C的距离.证明(1)

2.3.12设X,Y是Banach空间，T是闭线性算子，

D(T) X,R(T) Y，求证

(1) N(T)是X的闭线性子空间;

(2) N(T)={0}，R(T)在Y中闭的充分必要条件是 a>0，使

xn x xn N(T)

xn x Txn=0 0

0=Tx x N(T).即得N(T)闭

(2) ( ) R(T)是 B 空间, T:D(T) R(T)

单射、满射, 由逆算子定理知

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T 1 L(RT),X).T 1y (y是令

(>0, s.t.

于

考虑

( y R(T)).

x (.

x X,y=Tx,即有

:T

X N(T)X

是B空间. Y

N(T)

.

(8)

R(T) yn y

s.t. yn=Txn y,由所给的不等式,

xn D(T),

=[ ],显然NT

=R(T).RT

是闭算子, 用(2)的结果, 如果T

={[x] X N(T)|x D(T)},DT

[x]=Tx.T

()

()

()

xn xm (n Txm x X

, s.t. xn x.于是xn x T

y=Tx y R(T).

Txn y 即证得

即得结论.

下面证明T

是闭算子. 就看

R(T)

闭.

29

30

RT)闭:

(2)

RT

()

单射) 闭( T

DT 4xy=T[x].6xn57 [

4x5 yT6n7

T

()

,x] DT

()

d(x,N(T) (Tx.

2.3.13设a(x,y)是Hilbert空间

H上的一个共轭双线性形式，满足(1) M>0，使得|a(x,y)| M x y ;(2) >0，使得|a(x,y)| x 2.

求证: f H+， !yf H，使得

: (>0, s.t.

[x],即x]0 (9

xn D(T),xn xx DT), 246xn x570

4x5 yTxn=T6n7

y

a(x,yf)=f(x) x H,

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yf连续依赖于f .证明根据 Lax-Milgram 定理

2.3.17, 必存在唯一的有连续逆的连续线性算子A L(H), s.t.a(x,y)=(x,Ay).又根据Riesz表示定理, 对 f H+, 1zf H,使得f(x)=x,zf,对

x H

取x=yf y3f , 便有

0=ayf y,yf y

(

3f3f

)

(2)

yf y3f

2

y3f=

()

此

zf,

求解方程

Ay=zf 1再证所产生的

yf=A 1zf f(x)=x,zyf

是唯一的. 设

则有

f

(

2.3.14设;是R2中边界光滑的有界开区域, (:; R1有界可测并满足0<(0 (,f L2(;).规定

a(u,v)=!;(<u<v+(uv)dxdy

( u,v f(x)=ax,y3f, x H,0=ax,yf ax,y

()

F(v)=!;fvdxdy

y

3

f

()(

3f

)=a(x,y),

求证； |u H1(;)满足a(u,v)=F(v).

( v L(;)).

2

33

34

( M(.注意到

u1=u+<u

以及 Cauchy-Schwarz 不等式, 有

2

2

2

au,u) !;<u+(0u

(

22

)dxdy min{1,(}0

( u H(;)).

1

a(u,v) (<u,<v)+M((u,v) <u<v+又

F(v)=!;fvdxdy f

L2

v

L2

f

L2

v1.

u1v1+M(u1v1=(1+M()uv

1

F H1(;)

()

+

( u,v H(;)).

1

用2.3.13 题的结论, 1u H1(;), s.t. a(u,v)=F(v) v H1(;).

()

由此可见 2.3.13 题的条件 (1) 满足. 再验证2.3.13 题的条件(2).

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/l3vi.html