华东师大数学分析习题解答1

《数学分析选论》习题解答

第 一 章 实 数 理 论

１．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S有下确界，且??infS?S，试证： （１）存在数列{an}?S,使liman??；

n??（２）存在严格递减数列{an}?S,使liman??．

n??证明如下：

（１） 据假设，?a?S,有a??；且???0,?a??S,使得??a?????．现依 次取?n?1,n?1,2,?,相应地?an?S,使得 n??an????n,n?1,2,?．

因?n?0(n??)，由迫敛性易知liman??.

n??（２） 为使上面得到的{an}是严格递减的，只要从n?2起，改取

?1??n?min?,??an?1?,n?2,3,?，

?n?就能保证

an?1???(an?1??)????n?an,n?2,3,?． □

２．证明§1.3例６的（ⅱ）．

证 设A,B为非空有界数集，S?A?B，试证：

infS?min?infA,infB?．

现证明如下．

由假设，S?A?B显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何x?S,有x?A或x?B，由此推知x?infA或x?infB，从而又有

x?min?infA,infB??infS?min?infA,infB?．

另一方面，对任何x?A, 有x?S，于是有

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x?infS?infA?infS；

同理又有infB?infS．由此推得

infS?min?infA,infB?．

综上，证得结论 infS?min?infA,infB?成立． □

３．设A,B为有界数集，且A?B??．证明： （１）sup(A?B)?min?supA,supB?； （２）inf(A?B)?max?infA,infB?．

并举出等号不成立的例子．

证 这里只证（２），类似地可证（１）．

设??infA,??infB．则应满足：

?x?A,y?B,有x??,y??．

于是，?z?A?B，必有

z?????z?max??,??， z???这说明max??,??是A?B的一个下界．由于A?B亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论inf?A?B??max?infA,infB?成立．

上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设

A?(2,4),B?(0,1)?(3,5),则A?B?(3,4)，

这时infA?2,infB?0,而inf(A?B)?3，故得

in?fA?B??ma?xinAf,inBf?． □ ４．设A,B为非空有界数集．定义数集

A?B??c?a?ba?A,b?B?，

证明：

（１）sup(A?B)?supA?supB； （２）inf(A?B)?infA?infB．

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证 这里只证（２），类似地可证（１）．

由假设，??infA,??infB都存在，现欲证inf(A?B)????．依据下确界定义，分两步证明如下：

１）因为?x?A,y?B,有x??,y??,所以?z?A?B，必有

z?x?y????．

这说明???是A?B的一个下界．

２）???0,?x0?A,y0?B，使得

x0????2,y0????． 2从而?z0?x0?y0?A?B,使得z0?(???)??，故???是A?B的最大下界．于是结论 inf(A?B)?infA?infB 得证． □

５．设A,B为非空有界数集，且它们所含元素皆非负．定义数集

AB??c?aba?A,b?B?，

证明：

（１）sup(AB)?supA?supB； （２）inf(AB)?infA?infB． 证 这里只证（１），类似地可证（２）．

a?supA,??由于?c?(AB),?a?A,b?B(a?0,b?0),使c?ab,且?b?supB,?c?supA?supB,?因此supA?supB是AB的一个上界．

另一方面，???0,?a0?A,b0?B，满足

a0?supA??,b0?supB??，

故?c0?a0b0?(AB)，使得

c0?supA?supB?[(supA?supB)??]?．

由条件，不妨设supA?supB?0，故当?足够小时，???[(supA?supB)??]? 仍为

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一任意小正数．这就证得supA?supB是AB的最小上界，即 inf(AB)?infA?infB 得证． □

?６．证明：一个有序域如果具有完备性，则必定具有阿基米德性．

证 用反证法．倘若有某个完备有序域F不具有阿基米德性，则必存在两个正元素，从而?,??F，使序列{n?}中没有一项大于?．于是，{n?}有上界（?就是一个）由完备性假设，存在上确界sup{n?}??．由上确界定义，对一切正整数n，有??n?；同时存在某个正整数n0，使n0?????．由此得出

(n0?2)????(n0?1)?，

这导致与??0相矛盾．所以，具有完备性的有序域必定具有阿基米德性． □

７．试用确界原理证明区间套定理． 证 设?[an,bn]?为一区间套，即满足：

a1?a2???an???bn???b2?b1,n??lim(bn?an)?0．

由于

?an?有上界bk，?bn?有下界ak（k?N?），因此根据确界原理，存在

??sup?an?,??inf?bn?,且??? ．

倘若???，则有

bn?an???????0,n?1,2,?，

而这与lim(bn?an)?0相矛盾，故?????．又因an?????bn,n?1,2,?，

n??所以?是一切[an,bn]的公共点．

对于其他任一公共点??[an,bn],n?1,2,?，由于

????bn?an?0,n?? ，

因此只能是???，这就证得区间套?[an,bn]?存在惟一公共点． □

８．试用区间套定理证明确界原理．

证 设 S 为一非空有上界的数集，欲证 S 存在上确界．为此构造区间套如下：令

[a1,b1]?[x0,M]，其中x0?S(?S??),M为S的上界．记c1?a1?b12，

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若c1是S的上界，则令[a2,b2]?[a1,c1]；否则，若c1不是S的上界，则令[a2,b2]?[c1,b1]．一般地，若记cn?an?bn2，则令

?[an,cn],cn当是S的上界,[an?1,bn?1]???[cn,bn],cn不是S的上界,,n?1,2,?．

如此得到的?[an,bn]?显然为一区间套，接下来证明这个区间套的惟一公共点?即为S的上确界．

由于上述区间套的特征是：对任何n?Ν?，bn恒为Ｓ的上界，而an则不为S的上界，故?x?S，有x?bn，再由limbn??，便得x??，这说明?是S的一个上

n??界；又因liman??，故???0,?an????，由于an不是S的上界，因此???更

n??加不是S的上界．根据上确界的定义，证得??supS．

同理可证，若S为非空有下界的数集，则S必有下确界． □ ９．试用区间套定理证明单调有界定理．

证 设?xn?为递增且有上界M的数列，欲证?xn?收敛．为此构造区间套如下：令[a1,b1]?[x1,M]；类似于上题那样，采用逐次二等分法构造区间套?[an,bn]?，使

an不是

?xn?的上界，bn恒为?xn?的上界．由区间套定理，???[an,n??n??bn]，且使

n??liman?limbn??．下面进一步证明 limxn??．

一方面，由xn?bk,取k??的极限，得到

xn?limbk??,n?1,2,?．

k??另一方面，???0,?K?Ν?,使aK????；由于aK不是

?xN?aK；又因

?xn?的上界，故

?xn?递增，故当

n?N时，满足xn?xN．于是有

n?N，

????aK?xN?xn??,这就证得limxn??．

n?? 同理可证?xn?为递减而有下界的情形． □ ?10．试用区间套定理证明聚点定理．

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