2016届山东省枣庄市滕州一中高三(上)9月月考数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年山东省枣庄市滕州一中高三（上）9月月

考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．复数z=1﹣i，则+z对应的点所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数．

【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【解答】解：∵复数z=1﹣i， ∴+z=

=

+1﹣i=

+1﹣i=

对应的点

所在的象限为第四象限． 故选：D．

【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．

2．若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（ ） A．{1，4}

B．{﹣1，﹣4}

C．{0} D．

【考点】交集及其运算． 【专题】集合．

【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．

【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}， N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}， 则M∩N= ． 故选：D．

【点评】本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．

3．设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑．

【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可．

【解答】解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p成立，

所以p是q成立的必要不充分条件． 故选：C．

【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．

4．设f（x）=A．﹣1 B． C． D．

【考点】分段函数的应用；函数的值． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可． 【解答】解：f（x）=故选：C．

【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．

5．在等差数列{an}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=（ ） A．10

B．18

C．20

D．28

，则f（f（﹣2））=f（2﹣2）=f（）=1﹣

=1﹣=．

，则f（f（﹣2））=（ ）

【考点】等差数列的性质．

【专题】计算题；等差数列与等比数列．

【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2（a5+a6）=2（a3+a8）．即可得到结论． 【解答】解：由等差数列的性质得：

3a5+a7=2a5+（a5+a7）=2a5+（2a6）=2（a5+a6）=2（a3+a8）=20，

故选C．

【点评】本题考查等差数列的性质及其应用，属基础题，准确理解有关性质是解决问题的关键．

6．P是双曲线A．1

B．17

D．以上答案均不对

F1，F2分别是双曲线左右焦点， 上一点，若|PF1|=9，则|PF2|=（ ）

C．1或17

【考点】双曲线的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】求得双曲线的a，b，c，由双曲线的定义，可得||PF1|﹣|PF2||=2a=8，求得|PF2|，加以检验即可． 【解答】解：双曲线

的a=4，b=2

，c=6，

由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=8， |PF1|=9，可得|PF2|=1或17，

若|PF2|=1，则P在右支上，应有|PF2|≥c﹣a=2， 不成立；

若|PF2|=17，则P在左支上，应有|PF2|≥c+a=10， 成立． 故选：B．

【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意讨论P的位置，运用双曲线的性质，属于中档题和易错题．

7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）

A．30 B．12 C．24 D．4

【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离．

【分析】三视图复原的几何体是三棱柱去掉一个三棱锥的几何体，结合三视图的数据，求出体积即可

【解答】解：由三视图知，几何体是某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体，几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的， 如图所示，

所以几何体的体积为：故选：C．

=24．

【点评】本题考查三视图的识别以及多面体的体积问题．根据三视图得出几何体的形状及长度关系是解决问题的关键．

8．（文）设函数y=xsinx+cosx的图象上的点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若k=g（x0），则函数k=g（x0）的图象大致为（ ）

A． B． C．

D．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的综合应用．

【分析】先根据导数的几何意义写出g（x）的表达式．再根据图象的对称性和函数值的分布，逐一判断．

【解答】解：由题意，得g（x）=xcosx，因为g（﹣x）=﹣g（x）所以它是奇函数， k=g（x0）=y′（x0）=x0cosx0，图象关于原点对称，排除A，C，排除B，C． 又当0＜x＜1故选：B．

【点评】对于这样的图象信息题，要根据选项，找出区分度，如图象的对称性，单调性，函数值的特征等，再逐一判断．在选择题的作答中，排除法一直是切实有效的方法之一，特别是这样的图象题，优势尤为明显．

9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）

时，cosx＞0，∴xcosx＞0，知D项不符合，

A．14 B．15 C．16 D．17

【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图．

【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果．

【解答】解：第一次循环：第二次循环：第三次循环：…

第n次循环：令

解得n＞15

，n=2； ，n=3；

，n=4；

=，n=n+1

∴输出的结果是n+1=16 故选：C．

【点评】本题考查程序框图的应用，数列的应用，考查分析问题解决问题的能力．

10．△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则的取值范围是（ ） A．[1，2]

B．[0，1]

C．[0，2]

D．[﹣5，2]

【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用．

【分析】由于D是边BC上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设+

AB=2，AC=1，（0≤λ≤1）．由∠BAC=120°，可得

=﹣7λ+2．

=

=2×1×cos120°=﹣1．代

入利用数量积运算性质即可得出

再利用一次函数的单调性即可得出．

∵D是边BC上的一点∴可设【解答】解：（包括端点），∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴∴=

=[

+

﹣

+]

=

+

（0≤λ≤1）．

=2×1×cos120°=﹣1．

=﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ =﹣7λ+2． ∵0≤λ≤1，

∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]．

∴ 的取值范围是[﹣5，2]．

故选：D．

【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

11．如图过拋物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（ ）

A．y2=x B．y2=3x C．y2=x D．y2=9x

【考点】抛物线的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得．

【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D， 设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a， 由定义得：|BD|=a， 故∠BCD=30°， 在直角三角形ACE中， ∵|AF|=3，|AC|=3+3a， ∴2|AE|=|AC|

∴3+3a=6，从而得a=1， ∵BD∥FG，

∴，

求得p=，

因此抛物线方程为y2=3x， 故选：B

【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握．

12．若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）

可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”

有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点】分段函数的应用． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据题意可知，只需作出函数y=x2+2x（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=

（x≥0）交点个数即可．

【解答】解：根据题意可知，“友好点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y=x2+2x（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=数即可．如图所示：

（x≥0）交点个

当x=1时，0＜＜1

观察图象可得：它们有2个交点． 故选：C．

【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．设变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为6．

【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用．

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【解答】由约束条件作出可行域如图，

化z=3x+y为y=﹣3x+z，

由图可知，当直线y=﹣3x+z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最大， z有最大值为3×2+0=6． 故答案为：6．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．在

的展开式中的x3的系数为 ﹣910 ．

【考点】二项式系数的性质． 【专题】计算题；二项式定理． 【分析】根据组合数的意义，在即得含x3的项；

或取3个﹣x2，3个，1个1，也得含x3的项；由此求出结果． 【解答】解：在

的7个因式（1﹣x2+）的乘积，

的7个因式中，取2个﹣x2，1个，4个1，

在这7个因式中，有2个取﹣x2，有一个取，其余的因式都取1，即可得到含x3的项； 或者在这7个因式中，有3个取﹣x2，有3个取，剩余的一个因式取1，即可得到含x3的项；故含x3的项为

2

﹣

23=210﹣1120=﹣910，

展开式中的x3的系数为﹣910． 故答案为：910．

【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应用组合数的性质，应用转化思想，是基础题目． 15．已知a=

（ex+2x）dx（e为自然对数的底数），函数f（x）=

，则f

（a）+f（log2）= 7 ． 【考点】定积分的简单应用． 【专题】导数的概念及应用．

【分析】确定被积函数的原函数，求得定积分的值，即可得到a的值，再由分段函数的取值范围，直接代入即可．

【解答】解：∵（ex+x2）′=ex+2x，

∴a=

（ex+2x）dx=（ex+x2）=﹣e1+1﹣e0=e，

又由函数f（x）=，

则f（e）=lne=1，故f（a）+f（log2）=7． 故答案为：7．

，

【点评】本题考查定积分以及分段函数值的计算，解题的关键是确定被积函数的原函数，属于基础题．

16．已知数列{an}的前n项和Sn=2an﹣2n+1，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an对 n∈N+恒成立，则整数λ的最大值为 4 ．

【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列．

【分析】由数列递推式求得首项，然后构造出等差数列{

}，求出通项后代入不等式2n2

﹣n﹣3＜（5﹣λ）an，整理后得到5﹣λ最值得答案．

【解答】解：当n=1时，当n≥2时，

．然后根据数列的单调性求得

，得a1=4；

，两式相减得

，得

，

∴．

又∴数列{，}是以2为首项，1为公差的等差数列，，即 ．

∵an＞0，∴不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an，等价于5﹣λ

．

记，n≥2时，．

∴n≥3时，，．

∴5﹣λ，即，

∴整数λ的最大值为4．

【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了恒成立问题，是中档题．

三、解答题：（本大题共5小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，a，b，c是其三个内角A，B，C的对边，且a≥b，sin2A+（Ⅰ）求角C的大小 （Ⅱ）设c=

，求△ABC的面积S的最大值．

cos2A=2sin2B

【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）化简已知可得sin（2A+结合已知大边对大角即可解得C的值． （Ⅱ）由（Ⅰ）可求sinC，由余弦定理cosC=面积S的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）∵sin2A+∴2（sin2A+∴2sin（2A+∴sin（2A+∴2A+

cos2A=2sin2B，

可得ab≤1，从而可求△ABC的

）=sin2B，从而有2A+

=2B或2A+

=π﹣2B，

cos2A）=2sin2B， ）=2sin2B， ）=sin2B，

=π﹣2B，

=2B不可能成立，所以2A+

=π﹣2B，

=2B或2A+

由a≥b，知A≥B，所以2A+

即A+B=所以C=

，

=

…6分

，所以sinC=

，

（Ⅱ）由（Ⅰ），C=S=

，

cosC= ﹣

﹣ab=a2+b2﹣3 3﹣ab=a2+b2≥2ab ab≤1，

即△ABC的面积S的最大值为…12分

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的综合应用，属于基本知识的考查．

18．第117届中国进出口商品交易会（简称2015年春季交广会）将于2015年4月15日在广州市举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：m），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”． （1）计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数）；

（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列． 【专题】概率与统计．

【分析】（1）根据茎叶图，利用平均数公式和中位数定义能求出男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数．

（2）由茎叶图知“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高个子”有5人，女志愿者的高个子有3人，从而ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

【解答】解：（1）根据茎叶图，得： 男志愿者的平均身高为：女志愿都身高的中位数为：

=168.5（cm）．

≈176.1（cm），

（2）由茎叶图知“高个子”有8人，“非高个子”有12人， 而男志愿者的“高个子”有5人，女志愿者的高个子有3人， ∴ξ的可能取值为0，1，2，3， P（ξ=0）=

=

，

P（ξ=1）==，

P（ξ=2）==，

P（ξ=3）==，

∴ξ的分布列为：

∴Eξ=

=．

【点评】本题考查平均数、中位数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

19．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在线段EC上．

（Ⅰ）当点M为EC中点时，求证：BM∥平面ADEF； （Ⅱ）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为

时，求三棱锥M﹣BDE的体积．

【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定． 【专题】综合题．

【分析】（I）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，验证从而可证BM∥平面ADEF；

（II）利用平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为

，确定点M为EC中点，从

，即

，

而可得S△DEM=2，AD为三棱锥B﹣DEM的高，即可求得三棱锥M﹣BDE的体积． 【解答】（I）证明：以直线DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0）C（0，4，0），E（0，0，2），所以M（0，2，1）． ∴又∵

，∴

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 是平面ADEF的一个法向量．

∴BM∥平面ADEF﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （II）解：设M（x，y，z），则又

4λ，2﹣2λ）． 设

是平面BDM的一个法向量，则

取x1=1得又由题设，

即

，设

，

，则x=0，y=4λ，z=2﹣2λ，即M（0，

是平面ABF的一个法向量，﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴|cos＜， |==，

∴λ=﹣﹣

即点M为EC中点，此时，S△DEM=2，AD为三棱锥B﹣DEM的高， ∴VM﹣BDE=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

【点评】本题考查线面平行，考查三棱锥的体积．考查利用向量知识解决立体几何问题，属于中档题． 20．椭圆

+

=1（b＞0）的焦点在x轴上，其右顶点（a，0）关于直线x﹣y+4=0的对称

点在直线x=﹣上（c为半焦距长）．

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆左焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交直线x=﹣原点，且

+

=2

，求△OAB的面积．

于点C．设O为坐标

【考点】椭圆的简单性质．

【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（1）利用轴对称的性质、椭圆的标准方程及其性质即可得出；

（2）把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，再利用向量运算及其相等即可得出．

【解答】解：（1）椭圆的右顶点为（2，0），

设（2，0）关于直线x﹣y+4=的对称点为（x0，y0），则

…

解得x0=﹣4，∴∴c=1，

=，

∴b==，

∴所求椭圆方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣4，y3）

椭圆的左焦点F的直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0 ∴x1+x2=﹣∵

+

=2

①，x1x2=

②．

，∴（x1，y1）+（﹣4，y3）=2（x2，y2）

∴2x2﹣x1=﹣4③． 由①③得：x2=﹣

，x1=

，

代入②整理得：4k4﹣k2﹣5=0． ∴k2=， ∴x2=﹣，x1=． 由于对称性，只需求k=此时，y1=

，y2=﹣

时，△OAB的面积， ，

…

∴△OAB的面积为|OF||y1﹣y2|=

【点评】本题考查椭圆的方程，掌握轴对称的性质、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为把直线的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系、向量运算及其相等是解题的关键．

21．已知函数f（x）=x lnx（e为无理数，e≈2.718） （1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程； （2）设实数a＞

，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值；

（3）若k为正整数，且f（x）＞（k﹣1）x﹣k对任意x＞1恒成立，求k的最大值． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】导数的综合应用．

【分析】（1）由已知得x＞0，f′（x）=lnx+1，由此能求出y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程．

（2）由f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[a，2a]上的最小值．

（3）记h（x）=f（x）﹣（k﹣1）x+k=xlnx﹣（k﹣1）x+k，x＞1，则h′（x）=lnx+2﹣k，x＞1，由此利用导数性质能求出k的最大值． 【解答】解：（1）∵f（x）=x lnx， ∴x＞0，f′（x）=lnx+1， ∵f（e）=e，f′（e）=2，

∴y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程为：y=2（x﹣e）+e， 即y=2x﹣e．

（2）∵f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=， 当x∈（0，）时，F′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（

）时，F′（x）＞0，f（x）单调递增，

当a≥时，f（x）在[a，2a]单调递增，[f（x）]min=f（a）=alna， 当

时，a＜

，[f（x）]min=f（）=﹣．

（3）记h（x）=f（x）﹣（k﹣1）x+k=xlnx﹣（k﹣1）x+k，x＞1， 则h′（x）=lnx+2﹣k，x＞1，

当k≤2且k∈Z时，h（x）在x∈（1，+∞）上为增函数， ∴h（x）＞h（1）=1＞0，符合．

当k=3时，由f（x）＞（k﹣1）x﹣k，得x lnx﹣2x+3＞0对任意x＞1恒成立， 设F（x）=x lnx﹣2x+3，则F′（x）=lnx﹣1，

由F′（x）=0，得x=e，当x∈（0，e）时，F′（x）＜0；当x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0， ∴F（x）＞F（e）＞0，符合．

当k≥4且k∈Z时，h（x）在x∈（1，ek﹣2）上为减函数，在x∈[ek﹣2，+∞）上为增函数， ∵k≥4，∴k﹣2≥2，∴2∈（1，ek﹣2]， ∴h（2）=2ln2+2﹣k＜2+2﹣k≤0，不符合． 综上，k≤3且k∈Z，∴k的最大值是3．

【点评】本题考查切线方程的求法，考查函数的最小值的求法，考查实数的最大值的求法，解题时要注意构造法和导数的几何意义的合理运用．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．【选修4-1：几何证明选讲】

22．如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F．

（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；

（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

【考点】分析法和综合法． 【专题】计算题；证明题．

【分析】（I）依题意，可证得△BAD≌△CBE，从而得到∠ADB=∠BEC ∠ADF+∠AEF=π，即可证得A，E，F，D四点共圆；

GA=GE=GD=，（Ⅱ）取AE的中点G，连接GD，可证得△AGD为正三角形，即点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为． 【解答】（Ⅰ）证明：∵AE=AB， ∴BE=AB，

∵在正△ABC中，AD=AC， ∴AD=BE，

又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE， ∴△BAD≌△CBE， ∴∠ADB=∠BEC，

即∠ADF+∠AEF=π，所以A，E，F，D四点共圆．… （Ⅱ）解：如图，

取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE， ∵AE=AB， ∴AG=GE=AB=，

∵AD=AC=，∠DAE=60°， ∴△AGD为正三角形，

∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，

所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．

由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为．…

【点评】本题考查利用综合法进行证明，着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算能力的考查，属于难题．

【选修4-4：极坐标与参数方程】

23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为l与曲线C分别交于M，N．

（1）写出曲线C和直线l的普通方程；

（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值． 【考点】直线的参数方程． 【专题】坐标系和参数方程．

【分析】（1）利用极坐标化为直角坐标方程的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲线C的方程；消去参数t即可得到直线l的方程；

（2）把直线的方程代入抛物线的方程得到根与系数的关系，利用两点间的距离公式和等比数列的定义即可得出．

【解答】解：（1）由曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），可得ρ2sin2θ=2aρcosθ，化为y2=2ax．

，直线

由直线l的参数方程为，消去参数t可得直线l：y=x﹣2．

（2）联立，

化为x2﹣（4+2a）x+4=0， ∵直线l与抛物线相交于两点，

∴△=（4+2a）2﹣16＞0，解得a＞0或a＜﹣4．（*） ∴x1+x2=4+2a，x1x2=4． ∴|MN|=

=

=，|PN|=

=．

．

∴|PM||PN|=2|（x1+2）（x2+2）|=2|x1x2+2（x1+x2）+4| =2|16+4a|

∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列， ∴|MN|2=|PM||PN|， ∴

=2|16+4a|，

化为a（4+a）=|4+a|， ∵a＞0或a＜﹣4． 解得a=1． ∴a=1．

【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交问题转化为把直线的方程与抛物线的方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式和等比数列的定义等基础知识与基本技能方法，属于难题．

【选修4-5：不等式选讲】

24．已知a，b∈R+，a+b=1，x1，x2∈R+． （Ⅰ）求

的最小值；

（Ⅱ）求证：（ax1+bx2）（ax2+bx1）≥x1x2． 【考点】基本不等式．

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