（人教B版，理科）课时作业35

课时作业(三十五) 平面向量的数量积及平面向量应用举例

A 级

1．(2012·辽宁卷)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( ) A．a∥b C．|a|＝|b|

B．a⊥b D．a＋b＝a－b

→→

2．向量AB与向量a＝(－3,4)的夹角为π，|AB|＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为( )

A．(－7,8) C．(－5,10)

B．(9，－4) D．(7，－6)

→→

3．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量AB＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n·AC＝→2，则n·BC等于( )

A．－2 C．0

B．2 D．2或－2

→→→

4．(2012·天津卷)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP＝λAB，AQ→→→＝(1－λ)AC，λ∈R.若BQ·CP＝－2，则λ＝( )

1

A. 34C. 3

2B．

3D．2

→→

5．(2012·郑州二模)设A，B，C是圆x2＋y2＝1上不同的三个点，且OA·OB＝0，存在实→→→

数λ，μ，使得OC＝λOA＋μOB，实数λ，μ的关系为( )

A．λ2＋μ2＝1 C．λ·μ＝1

11

B．＋＝1

λμD．λ＋μ＝1

3

6．(2012·聊城模拟)设向量a，b满足|a|＝2，a·b＝，|a＋b|＝22，则|b|＝________.

2→→

7．(2012·浙江卷)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________. 8．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，→

y)，N(y，x)，则向量MN的模为________．

→→→→

9.如图所示，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(AB＋DC)·(AC＋BD)＝________.

10．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)． (1)设c＝4a＋b，求(b·c)a； (2)若a＋λb与a垂直，求λ的值； (3)求向量a在b方向上的投影．

→→→→11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB·AC＝BA·BC＝k(k∈R)． (1)判断△ABC的形状； (2)若c＝2，求k的值．

B 级

→→→→1．(2012·郑州三模)△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OA＋AB＋AC＝0，且|OA|＝→→→

|AB|，则CA在CB方向上的投影为( )

A．1 C.3

B．2 D．3

2．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.

3．(2012·太原模拟)已知f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－3sin 2x)，b＝(cos x,1)(x∈R)． (1)求f(x)的周期和单调递减区间；

→→

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，AB·AC＝3，求边长b和c的值(b＞c)．

详解答案

课时作业(三十五)

A 级

1．B 因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.

→

AB·a

2．D 设点B的坐标为(m，n)，由题意，cos 180°＝－1＝＝

→|AB||a|?m－1?×?－3?＋4×?n－2?

，

5×?m－1?2＋?n－2?2化简得，(－3m＋4n－5)2＝25[(m－1)2＋(n－2)2]，选项D符合题意，故选D. →→→→→

3．B n·BC＝n(BA＋AC)＝n·BA＋n·AC ＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.

→→→→→→→→→→→→4．B 由题意可知BQ＝AQ－AB＝(1－λ)AC－AB，CP＝AP－AC＝λAB－AC，且AB·AC2→→→→＝0，故BQ·CP＝－(1－λ)AC2－λAB2＝－2.又AB＝1，AC＝2，代入上式解得λ＝.

3

→→→→→→

5．A 依题意得，OA2＝OB2＝OC2＝1，又OC2＝(λOA＋μOB)2， →→→→→∴OC2＝λ2OA2＋μ2OB2＋2λμOA·OB，即1＝λ2＋μ2，选A. 6．解析： 由已知得|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋3＋|b|2＝8， ∴|b|＝1. 答案： 1

[来源学科网]

7．解析：

→→→→→→→→如图所示，AB＝AM＋MB，AC＝AM＋MC＝AM－MB，

→→→→→→→→→→∴AB·AC＝(AM＋MB)·(AM－MB)＝AM2－MB2＝|AM|2－|MB|2＝9－25＝－16. 答案： －16

8．解析： ∵a∥b，∴x＝4，∴b＝(4，－2)，

∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)． ∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)·(b－c)＝0， 即6－3(－2－y)＝0，∴y＝－4， →→

故向量MN＝(－8,8)，|MN|＝82. 答案： 82

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

→→→→→→

9．解析： 由于AB＝AC＋CB，DC＝DB＋BC， →→→→→→→→所以AB＋DC＝AC＋CB＋DB＋BC＝AC－BD.

[来源学。科。网Z。X。X。K]

→→→→→→→→→→(AB＋DC)·(AC＋BD)＝(AC－BD)·(AC＋BD)＝|AC|2－|BD|2 ＝9－4＝5. 答案： 5

10．解析： (1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)， ∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0. (2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a＋λb与a垂直， 5∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.

25

∴λ的值为.

2

(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cos θ. ∴|a|cos θ＝

a·b1×2＋2×?－2?22＝＝－＝－. |b|22222＋?－2?2→→→→

11．解析： (1)∵AB·AC＝cbcos A，BA·BC＝cacos B， →→→→又AB·AC＝BA·BC，∴bccos A＝accos B，

∴sin Bcos A＝sin Acos B，即sin Acos B－sin Bcos A＝0， ∴sin(A－B)＝0，

∵－π＜A－B＜π，∴A＝B，即△ABC为等腰三角形． b2＋c2－a2c2→→(2)由(1)知，AB·AC＝bccos A＝bc·＝＝k，

2bc2∵c＝2，∴k＝1.

B 级

1．C

→→→→→→→

如图，设D为BC的中点，由OA＋AB＋AC＝0得OA＋2AD＝0，即AO＝2AD， →→

∴A、O、D共线且|AO|＝2|AD|， 又O为△ABC的外心， ∴AO为BC的中垂线，

[来源学_科_网]

→→→→

∴|AC|＝|AB|＝|OA|＝2，|AD|＝1，

→→→

∴|CD|＝3，∴CA在CB方向上的投影为3. 2．解析： ∵(a＋b)⊥(ka－b)，

∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋(k－1)a·b－b2＝0，(*) 又∵a，b为两不共线的单位向量， ∴(*)式可化为k－1＝－(k－1)a·b，

若k－1≠0，则a·b＝－1，这与a，b不共线矛盾； 若k－1＝0，则k－1＝－(k－1)a·b恒成立． 综上可知，k＝1时符合题意． 答案： 1

π

2x＋?3．解析： (1)由题意知：f(x)＝2cos2x－3sin 2x＝1＋cos 2x－3sin 2x＝1＋2cos?3??

∴f(x)的最小正周期T＝π，

∵y＝cos x在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减， πππ

∴令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，得kπ－≤x≤kπ＋，

363ππ

kπ－，kπ＋?，k∈Z. ∴f(x)的单调递减区间?63??

ππ

2A＋?＝－1，∴cos?2A＋?＝－1， (2)∵f(A)＝1＋2cos?3?3???ππ7πππ

又＜2A＋＜，∴2A＋＝π，∴A＝. 33333→→∵AB·AC＝3，即bc＝6，由余弦定理得

a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc,7＝(b＋c)2－18，b＋c＝5， 又b＞c，∴b＝3，c＝2.

[来源:Z§xx§k.Com]

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