广东海洋大学高数答案

班级： 姓名密 ： 学 号 ：封 试 题 共线 5 页 加白纸 3 张

GDOU-B-11-302

广东海洋大学 2013—2014学年第 二 学期

《 高 等 数 学 》课程试题答案及评分标准

A卷

□√ 闭卷

课程号： 19221101x2

□√ 考试

□□ 考查

□√ B卷

□ 开卷

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 阅卷教师 各题分数 21 14 28 32 5 100 实得分数 一 . 填空（3×7=21分）

1. 设,a???1,1,1?,b???1,0,1?，则?a?b?? 2

2. 过点?2,1,1?且与y轴垂直相交的直线方程为 y?1,x?2z 3. 过?1,1,1?与x轴垂直的平面方程为 x?1 4. 函数z?x2?y2?2x的驻点为 (0,1)

5. 幂级数?nxn5n的收敛半径为 1

i?16. 曲线z?x2?2y,y?z?0在xoy面上的投影曲线的方程为

x2?3y?0,z?0

7. 微分方程y??y满足y(0)?1的特解为 y?ex 二 .计算题（7×2=14分） 1. 设z?cosxy，求dz. 解：

?z?x??1ysinxy,?z?y?xxy2siny…………………………（4分） dz??1sinxdx?xysinxydy…………………………（3分）

yy2第 1 页 共 4 页

2.设z?f(x,y)是由方程e?z?y?xz?0所确定的具有连续偏导数的函数，求

?z?z,. ?x?y解：两边对x求偏导，得…………………………………………（1分）

?e?z?z?z?zz?z?x?0???z………………………………（3分） ?x?x?xe?x两边对y求偏导，得

?e?z?z?z?z?1?1?x?0???z ………………………………（3分） ?y?y?ye?x

三 .计算下列积分（7×4=28分）

1.???x?y?d?，其中D是由x轴y轴以及直线x?2y?2所围成的闭区域。

D1?0?y?1?x解：积分区域D可表示为?2…………………………（2分） ???0?x?2???x?y?d?=?D20dx?11?x20(x?y)dy ……………………………………（3分）

=1 ……………………………………………………（2分）

2.证明曲线积分?(0,0)(2x?y)dx?(x?2y)dy在整个xoy平面内与路径无关，并计算积分值。 解：设P?2x?y,Q?x?2y，则

?Q?P??1…………………………（2分） ?x?y(1,2) 故曲线积分与路径无关。 …………………………………（2分）

?(0,0)(2x?y)dx?(x?2y)dy=?02xdx??0(1?2y)dy?7 ………………（3分）

(1,2)12第 2 页 共 4 页

3. 计算???7xdydz?ydzdx?2zdxdy,其中?是某半径为2的球体的整个

?边界曲面的外侧。

解：设V是由?围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式得

???7xdydz?ydzdx?2zdxdy=???(?VV?(7x)?y?(2z)??)dv………………（3分） ?x?y?z =???10dv ………………（1分） =10V ……………………（2分） =10???23?

4.计算??De?x?yd?，其中D是由x2?y2?9围成的闭区域。 解：积分区域D在极坐标下可表示为??0???2? ……………（2分）

?0?r?32243320? ……………………（1分） 3??

De?x2?y2d?=?d??e?rrdr …………………………………（3分）

002?32 =?(1?e?9) ……………………………………（2分）

四 .计算题（8×4=32分） 1. 判别级数 ?n?1?n 是否收敛。 6nn?16n?1?limn?1?1?1 ……………………………（4分） 解：因为limn??n??6nn6n6所以级数?n?1?n收敛。 ……………………………………（3分） 6n

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2. 将函数f(x)?e?3x 展开为x的幂级数。

xn解：e?? （???x??）………………………………（4分）

n?0n!x?f(x)?e?3x(?3x)n?(?3)nn=???x,(???x???)………………（4分）

n!n!n?0n?0?

3. 求微分方程y??2y?x的通解。

解：y??2y?0的通解为y?ce2x ………………（2分） 设原方程的通解为y?c(x)e2x，代入方程得

11c?(x)?xe?2x，得c(x)??(x?)e?2x?c ……………………（4分）

2211故原方程的通解为：y??x??ce2x ……………………（2分）

24

4.求微分方程y???5y??4y?4的通解。

解：特征方程为?2?5??4?0，得特征根为?1?1,?2?4 ……（2分） 对应的齐次方程的通解为：y?c1ex?c2e4x………………（2分） y?1是原方程的一个特解。 ……………………………（2分） 原方程的通解为：y?1?c1ex?c2e4x ………………（2分） 五.证明 ?0dy?0e?yx??cosxdx?????x?ex??cosxdx（5分）

0?证明：设积分区域D为??0?y???0?x??，则D可表示为?……（2分）

?0?x?y?x?y????0dy?e0yx??cosxdx??dx?ex??cosxdy

0x?? =?(??x)ex??cosxdx……………………………………（3分）

0?第 4 页 共 4 页

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