09级《线性代数与空间解析几何》试题(B)

福州大学工科《线性代数与空间解析几何》试题(B)(20100221)

题号 得分 评卷人 得分 一 二 三 四 五 总成绩 一、单项选择（每小题2分，共10分）

1.向量组?1?(0,a,1),?2?(1,2,1),?3?(?1,1,0)共面，则( )。

评卷人 (A)a?1 (B)a?2 (C)a?3 (D)a?4 2．设A，B为任意两个n阶方阵，则下列等式一定成立的是（ ）。

(A)(AB)T?BTAT (B)(AB)?1?B?1A?1 (C)|A?1|?|A|?1 (D)AB?BA

?13.设三阶方阵A相似于B??????1??，I为三阶单位矩阵，则A3=（ ）。 ?1??(A) I （B）A （C）3A （D）3I

4．设A为m?n矩阵，则线性方程组Ax?0只有零解的充分必要条件为（ ）。 (A) R(A)?m (B) R(A)?n (C)|A|?0 (D)R(A)?n 5．设A为n阶正定矩阵，矩阵B与A相似，则B必为（ ）。

(A)实对称矩阵 (B)正定矩阵 (C)可逆矩阵 (D)正交矩阵 得分 二、填空题（每小题2分，共12分）

101100200300202397＝ 。 604评卷人 1.行列式199301?02.设A??0??0?1000??4

1，则A＝ 。 ?0??3.设3阶矩阵A的特征值为1,1,2,则行列式|2A?1|＝ 。 4.过x轴与点(1,2,?1)的平面方程为 。

5.设n阶矩阵A的秩R(A)?n且满足A2?4A?0，则A＝ 。 6.已知?1,?2为2维列向量，矩阵A?(?1??2,?2??1),B?(?1,?2)。若|A|?10, 则|B|? 。

???????? 1

得分 评卷人

??12.求矩阵A???4??0?三、计算题(每小题10分，共30分)

TTTT1．求向量组：?1?(1,0,1),?2?(1,2,?1),?3?(?1,2,0),??(?1,1,1) 的秩，并将?表示成?1,?2,?3的线性组合。

1301???2的特征值和特征向量，并问A是否可相似对角化。 ?3??

3.确定t的范围使二次型f(x1,x2,x3)?x12?x22?5x32?2tx1x2?2x1x3?4x2x3为正定二次型。

2

得分 四、计算题(每小题8分，共24分)

1.设||a||?1,||b||?2,u?2a?3b,v?a?b, 且向量a,b的夹角

???3,

评卷人

求Prjvu。

2.求过点M(1,2,1)且与直线?

?x?y?0?x?y?z?2平行，与平面3y?z?1垂直的平面方程。

?x1?x2?ax3?1?3.已知线性方程组?x1?ax2?x3?1有解但不唯一，求a的值，并求此方程组的通解。

??ax1?x2?x3?1

3

得分 五、证明题(每小题8分，共24分)

1．设A?为n阶矩阵A的伴随矩阵，且A?为可逆，证明：A也可逆。

评卷人

2.设I为n阶单位矩阵，A为n阶实对称矩阵且满足：A2?A，证明：A?I为正定矩阵。

3.设向量组?1,?2,?3,?4线性无关。，证明：(1)向量组?1??2,?2??3,?3??1线性无关；(2)向量组?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性相关。

4

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