结构静力计算和动力计算的对比分析

结构静力计算与动力计算的对比分析

结构精力计算和结构动力计算是一个比较理论化和深度比较广的论述题目，在此，我仅凭本人有限的学识来展开对两者内容及关系的介绍和论述。也藉此契机，对结构力学上下册作一个比较系统的梳理和总结，为以后的学习以及工作打下坚实的基础。

首先，我想先介绍一下有关结构力学的基本概念，让读者可以带着一个整体、宏观的概念去深入理解具体的内部结构内容。

那么，我想从静力荷载和动力荷载的含义入题。静力荷载是指其大小、方向和位置不随时间变化或变化很缓慢的荷载，它不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力的影响。结构的自重及其他恒荷载即属于静力荷载。动力荷载是指随时间迅速变化的荷载，它将引起结构振动，使结构产生不容忽视的及速度，因而必须考虑惯性力的影响。除荷载外，还有其他一些非荷载因素作用也可使结构产生内力和位移，例如温度变化、制造误差、材料收缩以及松弛、徐变等。

在结构静力计算中，最核心的内容就是计算结构的位移，而一切都要从虚功原理说起。虚功原理的两种表述：1、对于刚体体系，刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，所有外力所作虚功总和为零；2、对于变形体系，其处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所作虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和，简单说，外力虚功等于内力虚功。

虚功方程：

由于力状态与位移状态是彼此独立无关的，因此运用单位荷载法：

由：

得位移计算一般公式：

同过几何关系可得弯矩图乘法便捷计算公式（为计算带来极大的方便）:

力法：

力法典型方程： （系数δ?、的求解方法如同上述虚功原理的原理。）

该方程的物理意义为：基本结构在全部多余未知力和荷载共同作用下，在去掉各多余联系处沿各多余未知力方向的位移，应与原结构相应的位移相等。可见，力法可以求解出超静N u s s

W F d Md F d ?γ=++∑∑∑???1k R N u s s F c F d Md F d ?γ?+=++∑∑∑∑???

N S S s k N s R F ds Md F d F M F F c EA EI GA γ?=++-∑∑∑∑???S w c Md A y M EI EI =∑?1111221211222200P P X X X X δδδδ++?=??++?=?基本体系

1

X 结 构

定结构中的多余未知力，进而通过叠加原理求出结构的内力图。

位移法。其实，力法和位移法都是分析超静定结构的两种基本方法，但对于高次超静定结构，位移法相对较便捷。力法是以多余未知力为基本未知量，而位移法是以位移作为基本未知量。运用力法，通过等截面直杆的转角位移方程，可以将结构上每根杆件梁端的角位移和线位移求得，则全部杆件的内力均可由转角位移方程确定。因此，在位移法中，基本未知量应是各结构的角位移和线位移。在计算时，应首先确定独立的结点角位移和线位移的数目。

位移法典型方程：

其物理意义是：基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同作用下，每一个附加联系上的附加反力偶和附加反力都应等于零。因此，它实质上反映原结构的静力平衡条件。而系数可以同过查表计算后获得，那么方程的未知位移便可以求出，通过叠加原理便可以把弯矩内力图求出。

对于更加复杂的结构可以运用力矩分配法、剪力分配法和矩阵位移法，此时可以借助计算机软件来提高效率，例如MATLAB 软件等。下面我想简单介绍矩阵位移法的内容要点。

随着计算机的不断发展和改革，而矩阵位移法的运算规律十分适合计算机要求的特点，便于编制计算机程序。杆系结构的矩阵分析，也称杆系有限元法，它主要内容包括单元分析和整体分析。在矩阵位移法中，我们要掌握单元刚度矩阵、单元刚度矩阵的坐标转换和结构的原始刚度矩阵，也称结构的总刚度矩阵（简称总刚）。还有理解支承条件的引入的知识点。这对在计算机上运用矩阵位移法的帮助是莫大的，从而可以更加适应以后大量运用计算辅助工程辅助软件的工作需要。

单元刚度矩阵（解题会用到）

以上是对结构静力学的一个简单、扼要的介绍，下面接着对结构动力学计算部分进行论述。

关于结构力学与结构动力学之间的关系，我觉得主要是论述力法和位移法与结构动力学的联系。显然，位移法和位移法为结构动力学提供了计算的方法，所以，前者是后者的树1111221211222200P P k Z k Z R k Z k Z R ++=??++=?

结 构

20

R =Z

根，而后者因为前者而枝繁叶茂。下面，我想从执果索因的思路来浅谈他们之间的基本关系。 所谓结构动力学就是研究动力荷载对结构的影响。结构受到了动力荷载的影响，使结构产生了不容忽视的惯性力，各种量值均随时间而变化。而结构动力计算的最终目的在于确定动力荷载作用下结构的内力、位移等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计或检算的依据。结构的振动形式分为自由振动和强迫振动，但在结构力学下册中，我们着重讨论了结构的自由振动。

结构振动时，为了寻求结构振动时其位移以及各种量值随时间变化的规律，应先建立其振动微分方程，然后求解。具体有两种方法：一种是列动力平衡方程，又称刚度法；另一种是列位移方程，又称柔度法。

举个单自由度的例子加以说明：

动力平衡方程： 位移方程：

可见，其实这两个方程的最终形式是一样的，再仔细观察，实质上这两个方程就是位移法和力法的平衡方程，对于力法来说，F1就是一个被解开的多余未知力，对于位移法来说，Y 就是一个加上了链杆待求的位移。那么，要求解振动微分方程，首先得会求刚度和柔度，而这一切都要追溯到虚功原理，运用单位荷载法，通过虚功平衡方程，即外力虚功等于内力虚功，就可以直接或间接求出结构的位移。而刚度也是建立在力法的基础上而求得的，可以通过查表快捷得到。有力单位位移和单位刚度，振动微分方程基本可以求解了。

既然我们会运用数学工具来求解结构动力学问题，那么我们如何赋予我们的数学公式更加正宗的结构物理意义，使之更加生动形象、易理解和易求解。所以，下面我想着重介绍一个比较经典和重要的方法，杜哈梅积分。

在结构动力学中，为了寻求结构在荷载作用下各种量值的变化规律，我们通过位移平衡方程和动力平衡方程建立了微分方程。对于单自由度结构的自由振动及其在简协荷载作用下的微分方程，我们都可以通过高等数学解微分方程的方法容易求得振动方程。但是对于单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动微分方程，如果要求解，必须先求得任意荷载的原函数，但是该原函数是很难直接得到的。既然正面攻打不下，那么我们就从侧面下手。就这样，杜哈梅积分便应运而生了。

其实，杜哈梅巧妙地运用了动量定理，使结构动力学和物理学有机地结合在一起，从另一个角度攻破了这一难题。我们先来看看单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动微分方：

)(t F ky y

m =+ （无阻尼） 简谐振动：()sin F t t θ= 其实这是任意荷载强迫振动中的一个特例，因为()sin F t t θ=的原函数容易求得，所(c)

(b)(a)

F I e

m

110

my k y +=1111I y F my δδ==-

以微分方程比较容易求解。但是，对于其他任意荷载，我们要找它的原函数是一件吃力不讨好的事情。而杜哈梅换了一个角度，他将任意荷载()F t 设想为由一系列微小冲量（()F d ττ）所组成的，当其中一个冲量在t o =时作用在结构上时，结构便瞬间获得了一个初速度（()F d m

ττ）而位移仍为零（0y =0），而后冲量随即消失，此时的状态恰好等效于单自由度结构的自由振动状态，于是我们把已经求得的自由振动方程请上来：

()sin F d y t m ττωω= 将在单个冲量下获得的初速度（()F d t m

τττ=）和位移（00y =）代入上式，便得： ()()0

1sin t y F t d m τωττω=-? 若该冲量作用时间在t τ=时刻，则上式为：

()()sin F d y t m ττωτω

=- 若所有一系列冲量在t τ=时刻开始连续作用在结构上，那么上式为：

()()01sin t y F t d m τωττω

=-? （无阻尼） 就这样，杜哈梅在牛顿的帮助下，搭着自由振动方程的船，成功地攻克了这一难题。上面这个等式，我们称之为杜哈梅积分。其实经典就在于它的简单。

以上是我个人学习完结构力学后的点滴思考以及对所学知识的一个整理，由于能力有限，难免有疏漏之处。最后我想用一句话来作为点睛之笔:结构动力学计算建立于结构静力学基础之上，两者相互融合，密不可分。

2012.1.9 于宿舍

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