二项式定理在数列求和中的应用
更新时间:2024-03-14 03:54:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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二项式定理在数列求和中的应用
【摘要】 本文利用二项式定理和杨辉三角的内在联系,结合组合不等式,推导出形如
an?na(a?2,3,4)的前n项和的公式,并给出求更高次求和公式的一般方法。
【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数 一, 二项式定理和杨辉三角介绍:
0n01n?112n?221,二项式定理: (a?b)n?Cnab?Cnab?Cnab?rn?rr?Cnab?n0nCnab
其中Cn叫做二项式系数。 2,杨辉三角:
r 二,
重要组合恒等式:
r?1rr(1),Cn?1?Cn?1?Cn
证明:
r?1rCn?1?Cn?1?(n?1)!(n?1)!?(r?1)!(n?r)!r!(n?1?r)!
=
(n?1)!n!r[r?(n?r)]??Cn(证 毕)
r!(n?r)!r!(n?r)!rr?1?Cn?C?1n(n?r)
rrr (2),Cr?Cr?1?Cr?2?证明(数学归纳法):
r?1当n?r?1时 上式 左边=1 右边是Cr?1?1,所以是正确的。 rrr假设上式对n?k(k?r)正确 即Cr?Cr?1?Cr?2?rrr那么就有Cr?Cr?1?Cr?2??Ckr?1?Ckr?1
?Ckr?1?Ckr?Ckr?1?Ckr 再有组合不等式(1)可得
Crr?Crr?1?Crr?2??1?Ckr?1?Ckr?Ckr?1
故综上所述 对于所有大于r的正整数n(2)式都是成立的。 三,
一元n次多项式根与系数的关系
an?1x?an?0 若x1,x2,x3nn?1n?2对于多项式x?a1x?a2x?xn是它的n个根则有一
下等式成立:
(?1)1a1?x1?x2??xn
?xn?1xn
(?1)2a2?x1x2?x1x3?(?1)iai??xk1xk2(?1)n?a1a2a3an
xki(所有i个不同的根的乘积的和)
四, 应用举例
rrr为了方便应用,(2)式也可以写成Cr?Cr?1?Cr?2??1?Crr?n?1?Crr?n(n?r)
当r=1,2,3,4的时候上式也就是: 1?2?3?
1?3?6?1n(n?1) 2!11?n(n?1)?n(n?1)(n?2) 2!3!?n??11n(n?1)(n?2)?n(n?1)(n?2)(n?3) 3!4!11n(n?1)(n?2)(n?3)?n(n?1)(n?2)(n?3)(n?4) 4!5! 1?4?10?
1?5?15?例一:求数列
2?an?n2 的前n项和。
分析:因为k?2?1k(k?1)?k 所以 21?n(n?1)]?(1?2?3?2?n)
12?22?32??n2?2[0?1?3?6?111?2?(n?1)n(n?1)?n(n?1)=n(n?1)(2n?1)
6263例二:求数列an?n的前n项和。
分析:因为k?6?311k(k?1)(k?2)?6?k(k?1)?k 所以 6213?23?33??n3 111?6?(n?2)(n?1)n(n?1)?6?(n?1)n(n?1)?n(n?1)24621?n(n?1)[(n?1)(n?2)?4(n?1)?2]4
11?n(n?1)n(n?1)?[n(n?1)]2424例三:求数列an?n的前n项和。
分析:因为k?24?所以:144111k(k?1)(k?2)(k?3)?36?k(k?1)(k?2)?14?k(k?1)?k 4!3!2!?24?34??n4=
1111(n?3)(n?2)(n?1)n(n?1)?36?(n?2)(n?1)n(n?1)?14?(n?1)n(n?1)?n(n?1)5!4!3!2!n(n?1)=?(6n3?9n2?n?1)
3024?五, 归纳总结
推论 若多项式
f(k)?k(k?1)(k?2)(k?a?1)他的根分别是
k1?0,k2?1,k3?2,他的展开式中ka?1ka?a?1,则
的系数是a1??(0?1?2?3??a?1)??(a?1)a 2a2?k1k2?k1k3?同理
?ka?1ka k(1?k)2?(k)?k(2?a开式)中ka?2的系数是:展
f'(k?)a1'??(0?1?2??a?2)
a规律总结:求数列an?n(a?5)的方法
步骤一:分拆通项
ka?a!?1k(k?1)(k?2)a!(k?a?1)?[(a?1)!?a1]1k(k?1)(k?2)(a?1)!(k?a?2)+(a1?a1?a2)(a?2)!'1k(k?1)(k?2)(a?2)!(k?a?3)+?k
步骤二:利用组合不等式(2)分组求和就可求出前n项和。
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