2016年第二十一届华杯赛初赛高年级组讲解

第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛

初赛试卷（小学高年级组）

答案的英文字母写在每题的圆括号内．）

一、选择题（每小题 10 分，共 60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确1. 算式 999 9 ? 999 9 的结果中含有（

）个数字 0．

2016 个 2016个

A.2017 B.2016 C.2015 D.2014 【考点】计算，多位数计算【难度】☆【答案】C

【分析】(10

2016

? 1) ? (10

22016

? 2) ? 10

2016

? 1 ? 999...998000...001

2015个

2015 个

2.

已知 A,B 两地相距 300 米．甲、乙两人同时分别从 A, B 两地出发，相向而行，在距 A 地 140 米处

相遇；如果乙每秒多行 1 米，则两人相遇处距 B 地 180 米．那么乙原来的速度是每秒（ A. 2 3 B. 2 4 5 5

【考点】行程，比例方程解行程【难度】☆【答案】D

C.3

）米．

D. 3 1 5

【分析】设甲速v1 乙速v2 ，有

??v

1

??v????

????

140

2

300 ?140

??

7 8

?v ??14 解得??

?? v1 ? 300 ?180 ??

2 3

??1 v

5 ?

16 ???2

?v2 ?1

3.

180 5 ??

在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除的三位数，则这个七

位数最大是（ A.9981733

）

B.9884737

C.9978137

D.9871773

【考点】数论，整除【难度】☆【答案】

B

【分析】注意到由于任意三个连续排列的数字都能构成三位数，所以这个七位数的前五个数字不能是 0，

逐步极端分析，得988 ? 13 ? 76 ，884 ? 13 ? 68 ，847 ? 11 ? 77 ，473 ? 11 ? 43 ，737 ? 11 ? 67

4. 将 1，2，3，4，5，6，7，8 这 8 个数排成一行，使得 8 的两边各数之和相等，那么共有（ ）

种不同的排行． A.1152

B.864

C.576

D.288

【考点】计数，加乘原理与排列组合【难度】☆☆【答案】A

【分析】1 ? 2 ? 3 ????? 7 ? 28 ，8 的两边之和都是 14

研究有 7 的一边，14 ? 7 ? 6 ? 1 ? 7 ? 5 ? 2 ? 7 ? 4 ? 3 ? 7 ? 4 ? 2 ? 1

数的两侧分法有 4 种，两侧可互换，每个分法都是一边四个数另一边三个数，两边内部可互换（全排列），共4 ? 2 ? A 4 ? A 3 ? 1152 种排法

4

3

D

5. 在等腰梯形 ABCD 中， AB 平行于 CD ， AB ? 6 ， CD ? 14 ， ?AEC 是直角， CE ? CB ，则 AE 等

2

于（ ）

E

A

B

C

A.84 B.80 C.75 D.64

【考点】几何，勾股定理【难度】☆☆【答案】A

【分析】做出两侧的高，连结 AC，有

D

FG ? AB ? 6 ，CF ?

2

2

2

12 ( CD ? FG) ? 4 ，CG ? 10 ，令 AG ? BF ? h ，由勾股定理，

22

2

AC ? AG ? CG ? h ?100 CE ? BC ? BF ? CF ? h ?16 AE ? AC ? CE ? 84

A

E

B

222

222

6.

G F C

从自然数 1，2，3，…，2015，2016 中，任意取 n 个不同的数，要求总能在这 n 个不同的数中找到

5 个数，它们的数字和相等．那么 n 的最小值等于（ A.109

B.110

C.111

）

D.112

【考点】组合，最不利原则【难度】☆☆☆

【答案】B

【分析】1 到 2016 中，数字和最大

28。数字和 28 的数只有 1999； 数字和 27 的数有 999、1899、1989、1998；数字和 1 的数有 1、10、100、1000；

数字和 2~26 的数都至少有 5 个最坏情况：取数字和 1 到 27 的数各 4 个，以及 1999，共 109 个数。

再多取一个数就保证有 5 个数字和相等，n ? 110

二、填空题（每小题 10 分，共 40 分）

7.

两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足

上述条件的所有正方形共有 对．

【考点】数论，因数个数定理【难度】☆☆【答案】12

【分析】a ? b ? ( a ? b )( a ? b) ? 2016

a ? b 与a ? b 奇偶性相同，乘积是偶数，必然都是偶数，且和大于差， 2016 ? 4

? 504 ? 2 ? 3 ? 7 的因数有 24 个，即 12 组不同的分拆，故有 12 组解．

8.

如下图， O, P, M 是线段 AB 上的三个点， AO ? 5 AB，BP ? 3 AB, M 是 AB 的中点，且 OM ? 2 ，

3

2

22

42

那么 PM 长为

A ．

P M

O

B

【考点】应用题，分数应用题【难度】☆【答案】

【分析】OM ? AO ? AM ? 5 AB ? 2 AB ? 10 AB ， AB ? 2 ? 10

109 413

3

?

2021112010 PM ? BP ? MB ? AB ? AB ? AB ? 33266 ? 3 ? 9

9. 设 q 是一个平方数．如果 q ? 2 和 q ? 2 都是质数，就称 q 为 P 型平方数，例如，9 就是一个 P 型平

方数，那么小于 1000 的最大 P 型平方数是 ．

【考点】数论，同余【难度】☆☆☆

【答案】441

【分析】显然，q 是奇数，且q ? 2 和q ? 2 都不是 3 的倍数，而平方数除以 3 只能余 0 或 1，若 q 除以

3 余 1 则q ? 2 是 3 的倍数，所以 q 只能除以 3 余 0，即 q 是 3 的倍数，

极端分析，33 ? 1000 ，27 ? 2 ? 731 ? 17 ? 43 ，21 ? 2 ? 439 ，21 ? 2 ? 443 都是质数

2

2

2

2

10. 有一个等腰梯形的纸片，上底长度为 2015，下底长度为 2016，用该纸片剪出一些等腰梯形，要求剪

出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，

则最多可以剪出 个同样的等腰梯形．

【考点】组合，最值【难度】☆☆☆

【答案】4029

【分析】如图，将大等腰梯形分成2 n ? 1 个等腰梯形，由于底角相等，大小等腰梯形的上下底之差

也相等（相差一个平行四边形），设小等腰梯形上底为 x，有 n (2x ? 1) ? x ? 2015

n ??2015 ? x ??2015.5 ? 0.5 ??2015.5 ? 0.5 ? 2015

1 2 x ? 1 2 x ? 1

∴n 的最大值是 2014，最多可以剪出 4029 个

x

x x+1

… 2n个

x+1

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