高等数学上复旦大学(修订版)黄立宏 习题一答案详解

1 高等数学上（修订版）黄立宏 习题一答案

详解

1. 设{1},{2}00A x x B x x =<<≤≤,求,A B A B ,B\A .

解:

{1}{2}{1}000{1}{2}{2}000\{2}\{1}{12}{0}

00A B x x x x x x A

A B x x x x x x B B A x x x x x x =<<≤≤=<<==<<≤≤=≤≤==≤≤<<=≤≤

2. 设{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{2,4,6},{1,3,5}X A B C ====,求,A B C A B C , C X A ，C X A ∪C X B , C X A ∩C X B .

解: {1,2,3}{2,4,6}{1,3,5}A B C X ==

{1,2,3}{2,4,6}{1,3,5}A B C ==?

C X A =X\A ={1,2,3,4,5,6}\{1,2,3}={4,5,6}

C X B =X\B ={1,2,3,4,5,6}\{2,4,6}={1,3,5}=C

C X A ∪C X B ={4,5,6}∪{1,3,5}={1,3,4,5,6}

C X A ∩C X B ={4,5,6}∩{1,3,5}={5}.

3. 判定下列命题是否正确?若不正确,请举出反例.

(1)若A ∪B=A ∪C ,则B=C; (2)若A ∩B=A ∩C ,则B=C. 解: (1)不正确. 例如: A ={1},B={1,2,3},C={2,3}有A ∪B=A ∪C={1,2,3},但B≠C .

(2)不正确. 例如: A ={1,2},B={1},C={1,3}有A ∩B=A ∩C={1},但B≠C .

4. 判定下列映射哪些是满射,哪些是单射,哪些是一一映射?

(1) A=(-∞,+∞),B =(-∞,+∞),3:|f x A y x B ∈→=∈;

(2) A=(-∞,+∞),B =[-1,1],:|sin f x A y x B ∈→=∈;

(3) A=(-∞,+∞),B =[0,+∞],:|e x

f x A y B ∈→=∈.

解: (1) 12,x x A ?∈ 且12x x ≠,有3312x x ≠,即A 中不同的元素的有不同的像,∴f 是单射. 又y B ?∈,

A ,

y →,即B 中每个元素都有原像, ∴f 是满射.

2 综上所述, f 是一一映射.

(2)[1,1]y ?∈- ,有arcsin y A ∈,使arcsin |,y y →即B 中每个元素都有原像,∴f 为满射.但,当12,x x A ∈,且12x x ≠,如12ππ,2π,66x x k k ==+为整数时,有12sin sin x x =,即A 中不同的元素12,x x 有相同的像,∴f 不是单射.

综上所述, f 为满射,但不是单射.

(3)12,x x A ?∈ , 且12x x ≠,有12

e e x x ≠,即A 中不同的元素有不同的像,∴

f 是单射. 又0,,e 0x B x A ∈?∈≠ ,即B 中的元素0没有原像,∴f 不是满射.

综上所述, f 是单射.,但不是满射.

5. 下列函数是否相等,为什么

?

222(1)()();(2)sin (31),sin (31);1

(3)(),() 1.

1f x g x y x u t x x f x g x x x =

==+=+-==+- 解: (1)相等.

因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;

由

x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.

(2)相等.

因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.

(3)不相等.

因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.

6. 求下列函数的定义域

211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).

1y y x x x

y y x x =

=-==- 解: (1)要使函数有意义,必须

400

x x -≥??≠? 即 40x x ≤??≠? 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞ .

(2)要使函数有意义,必须

3

30lg(1)010x x x +≥??

-≠??->? 即 301x x x ≥-??

≠??

所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).

(3)要使函数有意义,必须

2

10x -≠ 即 1x ≠±

所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞ .

(4)要使函数有意义,必须

12sin 1x -≤≤ 即 11sin 2

2

x -

≤≤

即ππ2π2π6

6k x k -

+≤≤+或

5π7π2π2π6

6

k x k +≤≤

+,(k 为整数).

也即ππππ6

6

k x k -+≤≤

+ (k 为整数). 所以函数的定义域是ππ[π,

π]66

k k -

++, k 为整数.

7. 求函数1sin ,

00,0

x y x

x ?

≠?=??=?

的定义域与值域.

解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1x

可以是不为零的任意实数,此

时,1sin

x

可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].

8. 没1()1x f x x

-=+,求1

(0),(),().f f x f x

-

解: 10(0)110

f -=

=+,1()1(),1()

1x x

f x x x

--+-=

=

+--1

111().111x x f x x x

-

-=

=++

9.设1,10()1,02

x f x x x -≤

+≤≤?,求(1)f x -.

解: 1,

1101,01(1).(1)1,

012

,13x x f x x x x x -≤-<≤

-==?

?-+≤-≤≤≤??

10. 设()2,()ln x

f x

g x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x . 解: ()

ln (())2

2

,g x x x

f g x ==

(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x

x

x

g f x f x f x x ==?=?

4 ()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).

x

f x f f x

g g x g x g x x x x x ====

11. 证明:3()21f x x =-

和()g x =.

证:由321y x =-

解得x =故函数3()21f x x =-

的反函数是)y x =∈R ,

这与()g x =是同一个函

数,所以3()21f x x =-

和()g x =.

12. 求下列函数的反函数及其定义域:

2531(1); (2)ln(2)1;1(3)3

; (4)1cos ,[0,π].x x

y y x x

y y x x +-==+++==+∈ 解: (1)由11x

y x -=+解得11y

x y -=+, 所以函数11x

y x -=+的反函数为1(1)1x

y x x -=≠-+.

(2)由ln(2)1y x =++得1e 2y x -=-,

所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1e

2()x y x -=-∈ R . (3)由253x y +=解得31

(log 5)2x y =-

所以,函数253x y +=的反函数为31

(log 5)(0)2y x x =-> .

(4)由31cos y x =+

得cos x =,又[0,π]x ∈,

故arccos x =.

又由1cos 1x -≤≤得301cos 2x ≤+≤,

即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31cos ,[0,π]y x x =+∈的反函

数为arccos (02)y x =≤≤.

13. 判断下列函数的奇偶性:

22(1)()(2)e e sin .x x f x y x -==-+

5

解

: (1)()()f x f x -=

=

=

()f x ∴=

+

.

(2)222222()e e sin()e e sin (e e sin )()x x x x x x f x x x x f x ----=-+-=-+=--+=-

∴函数22e

e

sin x

x

y x -=-+是奇函数.

14. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:

2

(1); (2)ln 1x y y x x x

=

=++

解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有2

01x x

≤+,当0x >时,有

2

1122

x x x

x

≤

=

+,

故(,),x ?∈-∞+∞有12

y ≤.即函数2

1x y x

=

+有上界.

又因为函数2

1x y x

=

+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函

数必有下界,因而函数2

1x y x

=

+有界.

又由1212121222221

2

1

2

()(1)11(1)(1)

x x x x x x y y x

x

x x ---=

-

=

++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而

当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数2

1x y x

=

+在定义域内不单调.

(2)函数的定义域为(0,+∞),

10,0M x ?>?> 且12;e

0M

x M x >?>>,使2ln x M >.

取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<

故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增. 15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?

5

1

22

41

2(1)(1);(2)sin (12);

1(3)(110

);(4).

1arcsin 2x

y x y x y y x

-=+=+=+=

+

6 解: (1)1

24(1)y x =+是由124,1y u u x ==+复合而成.

(2)2sin (12)y x =+是由2,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)512(110

)x y -=+是由1

52,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成. (4)1

1arcsin 2y x =+是由1,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成.

16. 设()f x 定义在(-∞,+∞)上,证明:

(1) ()()f x f x +-为偶函数; (2)()()f x f x --为奇函数.

证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ?∈-∞+∞,

有()()()()F x f x f x F x -=-+=

故()()f x f x +-为偶函数.

(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ?∈-∞+∞,

有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=-

故()()f x f x --为奇函数.

17. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半).

解: 设年销售批数为x , 则准备费为103x ; 又每批有产品610

x 件,库存数为6

102x 件,库存费为6

100.052x ?元.

设总费用为,则63100.05

102y x x ?=+.

18. 邮局规定国内的平信,每20g 付邮资0.80元,不足20 g 按20 g 计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y 与重量x 的关系.

解: 当x 能被20整除,即[]2020

x

x

=时,邮资0.802025x x y =?=; 当x 不能被20整除时,即[]2020x

x ≠时,由题意知邮资0.80120x y ??=?+????

.

7 综上所述有,02000;2520200.80,02000.1202020x

x x x y x x x x ???<≤=??????=?

??????<≤≠+??????????且且 其中20x ??????,120x ??+????分别表示不超过20x ,120x +的最大整数. 19. 证明:

11(1)arcsin h ln( (2)arctan h ln ,1121x x x x x x +=+=

-<<-

证: (1)由e e

sinh 2x x y x --==得2e 2e 10x x y --=

解方程2e 2e 10x x y --=

得e x y =±因为e 0x >,

所以e x y =+

ln(x y =+ 所以sinh y x =

的反函数是arcsin h ln(().y x x x ==+-∞<<+∞

(2)由e e

tanh e e x x x x y x ---==+得21e 1x y y +=-,得11

12ln ,ln 121y

y

x x y y ++==--; 又由101y

y +>-得11y -<<,

所以函数tanh y x =的反函数为

1

1arctan h ln (11).21x

y x x x +==-<<-

20. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角?=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域

.

图1-1

解:

011

()(2cot )(cot )22S h A D B C h h B C B C h B C h ??=+=++=+

从而 0

cot S B C h h ?=-.

8

000()2

2

cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40

L AB BC C D AB C D S h h BC h h

S S h h

h

h

?????

=++==+=+---=

+

=+

由00,cot 0S h B C h h

?>=->

得定义域为.

21. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:

1234579

(1)0,

,,,,; (2)1,0,3,0,5,0,7,0,; (3)3,,,,.3456357---- 解: 1(1),1

n n x n -=

+当n →∞时,1n x →. 1(2)cos

π2

n n x n -=,

当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.

21(3)(1)

21

n

n n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.

22. 对下列数列求lim n n a x →∞

=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有

n x a ε-<

:

1π(1)sin

,0.001; (2)0.0001.2

n n n x x n εε=

==

=

解: (1)lim 0n n a x →∞

==,0ε?>,要使11π0sin

2

n n x n

n

ε-=

<

<,只须1

n ε

>

.取1N ε??

=

????

,则当n N >时,必有0n x ε-<. 当0.001ε=时,110000.001N ??

=

=????

或大于1000的整数.

(2)lim 0n n a x →∞

==,0ε?>,

要使2210n x ε-=

=

<

=

<

只要1

ε

>

即2

1

n ε

>

即可.

取21N ε??

=

????

,则当n N >时,有0n x ε-<. 当0.0001ε=时, 8

21100.0001N ??=

=????

或大于108的整数. 23. 根据数列极限的定义证明:

9

2

1313(1)lim

0;(2)lim ;

21

2

(3)lim

1;(4)lim 0.999 1.

n n n n n n n

n n

→∞

→∞

→∞

→∞

-==

+==

个

证: (1)0ε?>,要使

2

2

110n

n

ε=

<-,

只要n >

.

取N =,则当n>N 时,恒有2

10n

ε<-.故2

1lim

0n n

→∞

=.

(2) 0ε?>,要使

555313,2(21)421

2

n n n

n

n ε-=

<

<

<-

++只要5

n ε

>

,取5N ε??

=

????

,则当n>N 时,恒有

31321

2

n n ε-<-

+.故313lim

21

2

n n n →∞

-=+.

(3) 0ε?>,要

使

2

22

1a

a n

ε=

<

<,只

要n >

,

取

n =,则当n>N 时,

1ε<,

从而lim 1n n

→∞

=.

(4)因为对于所有的正整数n ,有

10.99991

n <- 个,故0ε?>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<- 个只要ln ,ln 10n ε->取ln ,ln 10N ε-??=????

则当n N

>时,恒有

,0.9991n ε<- 个

故lim 0.9991n n →∞

=

个

. 24. 若lim n n x a →∞

=,证明lim n n x a →∞

=,并举反例说明反之不一定成立.

证: lim 0n n x →∞

= ,由极限的定义知,0,0N ε?>?>,当n N >时,恒有n x a ε-<.

而 n n x x a a ε-<-<

0,0N ε∴?>?>,当n N >时,恒有n x a ε-<,

由极限的定义知lim .n n x a →∞

=

但这个结论的逆不成立.如(1),lim 1,n

n n n x x →∞

=-=但lim n n x →∞

不存在.

25. 利用夹逼定理求下列数列的极限:

10

(1)lim[(1)],01;k k

n n n k →∞

+-<<

(2)lim

n →∞

其中11,,,m a a a 为给定的正常数

;

1

(3)lim (123);

(4)lim

n

n

n n n →∞

→∞

++

解: 111

1(1)0(1)(1)1(1)1k k k k k

k n n n n n

n n -????<+-=<=+

-+-?

????

??? 而lim 00n →∞

=,当1k <时,11lim

0k

n n

-→∞

=

lim[(1)]0k k

n n n →∞

∴+-=.

(2)记12m ax{,,,}m a a a a = 则有

<

<

即

1

n a m a <

而 1

l i m , l i m ,

n n n a a m

a a →∞

→∞

=?= 故

lim

n a →∞

=

即

12

l i m a x {,,,}

m n a a a →∞

=

. (3)11

1

(3)(123)(33)n

n

n

n

n n n <++

即 1

13(123)3

n n n

n n

+<++<

而 1

l i m 3

3,

l i m 33

n n n n +→∞

→∞==

故 1

l i m (1

23)3

n

n

n

n →∞

++

=.

(4)111n

<<+

而 1l i m 10,

l i m (1)1

n n n

→∞

→∞=

+= 故

l i 1

n →∞

=.

11

26. 利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值

:

1111(1)1,2,; (2)1,1,1,2,.1n n n n

x x x n x x n x ++=

=

===+

=+

证

: (1)12x =< ,不妨设2k x <,则

12k x +=

<

=.

故对所有正整数n 有2n x <,即数列{}n x 有上界.

又1n n n x x x +-==

0>,又由2n x <

<

从而10n n x x +->即1n n x x +>,

即数列{}n x 是单调递增的.

由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限. 设lim n n x a →∞

=,

则a =

,于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2n n x →∞

∴=.

(2) 因为110x =>,且111n n n

x x x +=+

+,

所以

n x <<

, 即数列有界

又 1

1

111

1111(1)(1)n

n n n n n n n n n x x x x

x x x x x x --+---?

??

?

++-=-=

? ?++++???? 由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号， 从而可推得1n n x x +-与21x x -同号， 而 1221

131,1,02

2

x x x x ==+=

-> 故10n n x x +->, 即1n n x x +>

所以数列{}n x 单调递增，由单调有界准则知，{}n x 的极限存在. 设lim n n x a →∞

=, 则11a a a

=+

+，

解得

2

2

a a =

=(不合题意，舍去).

12 所以

1lim 2n n x →∞+=

27. 用函数极限定义证明：

22

222

1

02sin 31

4

(1)lim 0; (2)lim 3; (3)lim 4;

42141(4)lim 2; (5)lim sin 0.

21x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→∞→-→→---===-++-==+

证：(1)0ε?>,要使

1sin sin

0x x

x x x

ε=≤<-, 只须1

x ε>,取1

X ε>，则当x X >时，必有

sin 0x

x ε<-, 故sin lim 0x x x

→+∞=. (2)0ε?>,要使

222213

13

313||44x x x x ε-=<<-++,

只须x >

取X =X x >时，必有

2231

34x x ε-<-+, 故2

231

lim 34x x x →∞-=+.

(3) 0ε?>,要使

24

(4)22x x x ε-=<--++,

只要取δε=，则 当02x δ<<+时，必有2

4(4)2x x ε-<

--+, 故

2

24lim 42x x x →--=-+.

13 (4) 0ε?>,要使

2

1

142221221x x x x ε-==<+-++, 只须122x ε

<+，取2ε

δ=，则 当102x δ<<+时，必有2

1

4221x x ε-<-+ 故2

1

214lim 221x x x →--=

+.

(5) 0ε?>,要使

11

sin 0sin x x x x x ε=≤<-,

只要取δε=，则 当00x δ<<-时，必有1

sin 0x x ε<-, 故01lim sin 0x x x

→=. 28. 求下列极限：

22

2423123

242233(1)lim ;(2)lim ;

1311(3)lim ;(4)lim ;

21311

(1)(2)(3)(5)lim ;(6)lim ;

215x x x x x n x x

x x x x x x x x x x x x n n n x n →→→∞→∞→∞→∞-++-+-----++++++

(7)若2

1

1lim 2

21x x ax b x →∞??+=-- ?+??，求a 和b . 解：()()2

232233lim 33

9

3

3(1)lim 1lim 9151x x x x x x x →→→---===+++.

14

2

2

2

1

4

2

4

2

4

2

1

1

22

2

2

3

3342

2424lim ()11(2)lim

2.

31

lim (31)

1311

1111(3)lim

lim

.

1121

2

2111

1

lim (4)lim lim 0.3131311lim 1(5x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→∞

→∞

→∞→∞→∞→∞+++=

=

=--+-+-?+-

-==

---

-??--

?

-??===-+??

-+-+ ?

?

?22

2

2

22

12

1lim 21)lim

lim 0

111

1lim 1x x x x x x x x

x

x x

x →∞

→∞

→∞

→∞??++

?+??===+?

?+

+ ??

? 由无穷大与无穷小的关系知， 2

1

l i m 21x x x →∞+=∞+. 3

(1)(2)(3)

1

123(6)lim

lim 111551

1123lim lim lim .11155

n n n n n n n n n

n n n n n n →∞

→∞→∞→∞→∞+++?

?????=+++ ? ? ???????

?????

?=

??=+++ ? ? ???????

(7)因为

2

2

1(1)()(1)

1

1

x a x a b x b ax b x x +--++---=

++

由已知21

1lim 2

1x x ax b x →∞

??+=-- ?+??知，分式的分子与分母的次数相同，且x 项的系数之

比为

12

，于是

10a -= 且

()

11

2

a b -+=

解得 31,2

a b ==-

.

29. 通过恒等变形求下列极限：

2

2

2

2

21

4

123(1)

11(1)lim

; (2)lim ;122

2168(3)lim

; (4)lim ;

1

54

n

n n x x n n

x x x x x x x →∞

→∞

→→++++-?

?

+++ ???

-+-+--+

15

3

2

2

3

3

π5

4

22

(5)lim ; (6)lim 1cot (7)lim

lim

;

2cot cot (9)lim (1)(1)(1)(1);(10)n

x x x x x x x x x x x x x →+∞

→→→

→∞

----+++<

1

1

2

2

31

10

(1(1lim

;

(1)

11

3(11)lim ; (12)lim ;(1)11log (1)

1(13)lim

; (14)lim

n x x x x

a x x x x x x x x x a x

x -→→→→→-

-

-

--+??

- ?---??

+- 3

sin 0

;sin (15)lim (12); (16)lim ln

.

x x x x

x x

→→+解：2

2

123(1)

(1)111(1)lim

lim

lim

.1222

n n n n n n n

n

n →∞

→∞

→∞

++++--??===- ??? 1

2

2

1

1

1

224

4

4

11112(2)lim lim

2.

11221221(1)(3)lim

lim

lim (1)0.

11

68(2)(4)22(4)lim

lim

lim

.

54

(1)(4)

1

3n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +→∞→∞

→→→→→→??

- ?

????

==+++ ???-

-+-==-=---+---===-+---

32

2

(5)lim lim

lim

2.

(6)lim

lim

lim (1 2.

x x x x x x x

x

→+∞

→+∞

→+∞

→→→=

==-

==-+=--

5

5

5

5(7)lim

lim lim

lim

x x x x →→→→====

=

16

3

3

3

3

ππ4

4

2

2π4

2

2π4

1cot 1cot (8)lim

lim

2cot cot (1cot )(1cot )(1cot )(1cot cot )lim

(1cot )(11cot cot )1cot cot 3lim

.

2cot cot 4

x x x x x x

x x

x x x x x x x x x x x x

→

→

→

→

--=---+--++=-+++++==

++

1

22

22

2

(9)lim (1)(1)(1)(1)

(1)(1)(1)(1)

lim 111lim

.

11n

n

n x x x x x x x x x x x x

x

x

x

+→∞

→∞

→∞

+++<-+++=--==

--

1

1

11

1

(1(1(10)lim

(1)

lim

lim

1

1.

234!n x n x x x n

n -→-→→-

--

-===

=

????

22

2231112

2

1

1

1321

3(11)lim lim lim (1)(1)(1)(1)11(1)(2)(2)lim

lim

1.

(1)(1)

1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

→→→→→++-+-??==- ?-++-++--??-+-+===--++++

2

2

1

2

2

1

1

2

2

1

lim (1)(1)

(12)lim

1lim (1)

1lim

.

(1)

x x x x x x x x x x x x x →→→→--=

=-+-+-+∴=∞-

1

log (1)

(13)log (1)a x a x x x

+=+

而1

lim (1).x x x e →+= 而1lim log log ln a a u e

u e a

→==

log (1)

1lim

.ln a x x x

a

→+∴=

17 (14)令1,x u a =-则log (1),a x u =+当0x →时，0u →. 所以0001

1lim lim ln log (1)

log (1)lim x x u a a u a u a u x u u

→→→-===++(利用(13)题的结果).

11

22000336ln(12)ln(12)

sin sin 2sin 000

lim 6ln(12)6lim lim ln (12)

sin sin 61ln e 6(15)lim (12)lim e lim e e e e e .

x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x →→→++→→→??+??+??+======

(16)令sin x u x =， 则00sin lim lim 1x x x

u x →→==

而1lim ln 0u u →= 所以0sin lim ln 0.x x x

→= 30. 当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪个是高阶无穷小量？ 解：232

200lim lim 022x x x x x x x x x →→--==--

∴当0x →时，23x x -是比22x x -高阶的无穷小量.

31. 当1x →时，无穷小量1x -与221

(1)1,(2)(1)2x x --是否同阶？是否等价？ 解：211111

(1)lim lim 112x x x

x x →→-==-+

∴当1x →时，1x -是与21x -同阶的无穷小.

2111(1)

12(2)lim lim 1

12x x x x

x →→-+==- ∴当1x →时，1x -是与2

1(1)2x -等价的无穷小.

32. 利用0sin lim 1x x

x →=或等价无穷小量求下列极限：

002

000sin (1)lim ;(2)lim cot ;

sin 1cos 2ln(1e sin )

(3)lim ;(4)lim sin arctan 3(5)lim ;(6)lim 2sin ;

2x x x x x n n x n m x x x nx x x x x x x

x →→→→→→∞-+

18

2

2

10

2

3

2

2

41arctan (7)lim

;(8)lim

;

arcsin(12)sin

arcsin 2

tan sin cos cos (9)lim

;(10)lim

;

sin 1cos 4(11)lim

(12)lim

ln(1)2sin t x x x x x x x x x x x

x x x x

x x

x x x x αβ→→

→→→→------+ 2

2

2

20

;

an ln cos ln(sin e )(13)lim

;(14)lim

.

ln cos ln(e

)2x

x

x x x

ax x x bx

x x

→→+-+- 解：(1)因为当0x →时，sin ~,sin ~,mx mx nx nx

所以00

sin lim

lim

.sin x x m x m x m nx

nx

n →→==

2

lim cos cos (2)lim cot lim

cos lim

1.

sin sin sin lim 1cos 22sin sin (3)lim

lim

2lim

2.

sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x

x x x x x

x x

x

→→→→→→→→=?==

=-===

(4)因为当0x →

时，222

1ln(1e sin )~e sin 1~

2

x x x x x +,所以

2

2

2

00

2

e sin sin lim

lim

lim 2e lim 2.12x x x

x x x x x x x x

→→→→??

==?= ???

(5)因为当0x →时，arctan 3~3,x x 所以

00

arctan 33lim

lim

3x x x

x x

x →→==.

sin

sin

2

2

(6)lim 2sin

lim lim

.2

2

2

n

n

n

n

n n n n n x x x x x x x x →∞

→∞

→∞

=?

==

(7)因为当12

x →

时，arcsin(12)~12x x --,所以

2

2

11112

2

2

2

4141(21)(21)

lim

lim

lim

lim (21) 2.arcsin(12)

1212x x x x x x x x x x x

x

→

→

→

→

---+===-+=----

(8)因为当0x →时，22

arctan ~,sin

~,arcsin ~,22

x x x x x x 所以

19 2200arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x

x x

x x x

→→==?. (9)因为当0x →时，233

1sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以

2

33300001

tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11

lim .

2cos 2x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→?--==?==

(10)因为当0x →时，sin ~,sin ~2222x x x x αβαβ

αβ

αβ

++--，所以 22

002022

2sin sin cos cos 22lim lim 222lim 1().

2x x x x x

x x x x x x

x αβα

β

αβαβα

β

βα→→→

+---=+--??==- (11)因为当0x →

时，arcsin ~ln(1)~,x x --所以

0001

lim lim lim 1.ln(1)x x x x x →→→==-=--- (12)因为当0x →时，sin ~,sin 2~2,x x x x 所以

2

2222002

222

00201cos 42sin 2lim lim 2sin tan sin (2sec )

2(2)8

lim lim (2sec )2sec 8

4.

lim (2sec )

x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x →→→→→-=++?==++==+ (13)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时，cos 10,cos 10ax bx -→-→

故 l n [1(c o s 1)]~c o s 1,l n [1(c o s 1)]

a x a x

b x b x +--+--

20

又当x →0进，22

22

111cos ~

,1cos ~

,2

2

ax a x bx b x --所以

22

2

2000022

1

ln cos cos 1

1cos 2lim lim lim lim .1ln cos cos 11cos 2

x x x x a x

ax

ax ax

a

bx bx bx b b x →→→→--====-- (14)因为当0x →时，

2

2

2sin 0,

0e

e

x

x

x x →→

故 2

2

22

22sin sin ln ~,ln ~,11e e e e x x x x x x x x ????

++ ? ????

? 所以

2

2

2

2

22

222

222

2

20

00

020

sin ln 1ln(sin e )ln(sin e )ln e e lim

lim

lim

ln(e

)2ln(e )ln e

ln 1e sin sin sin e

lim

lim e lim e lim e

e 1 1.

x

x

x

x

x

x

x

x x x x x

x x

x x x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x →→→→→→→??+ ?+-+-??==+-+-??+

??

?????==?=? ? ???

??

=?= 33. 利用重要极限1

lim (1)e u

u u →+=，求下列极限：

2

2

21

2

3

2cot 0

1

13(1)lim ;(2)lim ;

12(3)lim (13tan )

;(4)lim (cos 2);

1(5)lim [ln(2)ln ];(6)lim

.

ln x

x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x

+→∞→∞

→→→∞

→+????

+ ? ?-????

+-+-

解：11

1

2222111(1)lim lim e 1lim 11x

x

x

x x x x x x →∞→∞

→∞?????????

?====

+++ ????? ? ??????

?????

10

2

21

21

5

535

5

5(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞

→∞

→∞??+??

????

??==?++?? ? ? ?

+ ?---??

?

??

???-????10

2

5

510510

55lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞

→∞????????=?=?=+?? ?+?? ?-???

???-????

2

223

3

1

1

2cot 323tan 23tan 0

00(3)lim (13tan )

lim e .lim (13tan )(13tan )x

x x

x x x x x x →→→????+===+??+???

???

21

[]

[]

[]

cos 21

1cos 2122

2

1

cos 21

2

1

cos 21

2

2

2

3

3

3

ln ln cos 21(cos 21)0

3(cos 21)

ln 1(cos 21)0cos 21

3lim

lim ln 1(cos 21)2sin 3lim

ln lim (4)lim (cos 2)lim e lim e

lim e

e e x x x x x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x

x

x

x ----→→→→???

?

??+-????

→→→-+-→-?+--?=====[]1cos 212

2

01(cos 21)sin 6ln e

lim 611

6

e

e

e .

x x x x x -→????

?

?+-????

?

?-?? ?-??-??

===

2

2222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln

lim 2ln 12

222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.

x

x x x x

x

x x x x x x x x

x x x →∞

→∞

→∞

→∞

→∞+?

?+-=?

?=+ ??

???????==?+ ? ?+ ? ????

???==

(6)令1x t =+，则当1x →时，0t →.

1

1

1

011

1

1lim

lim

1.ln ln(1)

ln e

ln lim ln(1)lim (1)x t t

t

t t x t x

t t t →→→→-=-=-

=-

=-

=-+??

++????

34. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：

()1

100

2(1)lim ;(2)lim ;e 3111(3)lim ;(4)lim .

sin cos 1x x x

x

x

x

x x x x

x x a b c x x x x →→→∞→∞

??+++ ??????

?++ ? ????

?

解：(1)令1

(e )x x y x =+，则1ln ln(e )x

y x x

=+

于是：

()0000ln e ln 111e lim ln lim ln lim ln e lim

1e e x

x x x x x x x x x x y x x x x →→→→??++ ?

?

???===++ ??

? e

000

1e 1lim 1lim lim ln 1ln 11e e e e 11ln e 2

x

x

x

x x x x x x x x x x →→→?????

?==+?+?++ ? ?????????=+?=

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