07 粘性流体动力学基础 - 图文

第七章 粘性流体动力学基础

第一节 粘性流体运动的基本方程

采用流体力学微元体平衡分析方法可以推导出粘性流体运动的基本方程组，该方法可参考本书的第二章和第三章。本节将直接由两大守恒定律（质量守恒定律和动量守恒定律）来建立控制流体运动的基本方程组。首先需要给出空间某点物理量的随体时间导数表达式、雷诺输运方程以及本构关系。

一、随体导数

描述流体运动规律有拉格朗日和欧拉两种基本方法。拉格朗日法着眼于确定的流体质点，观察它的位置随时间的变化规律。欧拉法着眼于从空间坐标去研究流体流动，它的描述对象是流场。随体导数的物理意义是：将流体质点物理量q的拉格朗日变化率以欧拉导数的形式表示出来。随体时间导数的数学表达式为：

?dq?q??V??q dt?t??

(7-1)

式中右边第一项代表由时间的变化所引起的变化率，也就是由于场的时间不定性所造成的变化率，叫做当地导数。第二项代表假定时间不变时，流体质点在流场中的位置变化所引起的变化率。这是由于场的不均匀性造成的，叫做迁移导数。

二、雷诺输运方程

雷诺输运方程描述了积分形式的拉格朗日法和欧拉法的时间导数的变换关系。设封闭系统在t时刻占有体积??t?，如图7-1所示。其中关于物理量q的总量的随体时间导数有

1

图7-1 封闭系统输运示意图

??d?qqd??d??qV?ndS ????????dt??t??t??t?S?t?? (7-2)

其中S?t?为封闭体积的曲面，n为曲面的法向向量。上式表明：封闭系统中，某物理量总和的随体导数等于该瞬间与该系统重合的控制域中该物理量总和的当地时间导数（非定常效应）和通过控制面流出的该物理量的流量（对流效应）之和，此即为流体的雷诺输运方程。用广义的高斯公式将面积分转换成体积分，上式也可以写成

??d??qqd?????????qV?d? ???dt???t???t???t?? (7-3)

三、连续方程

连续性方程反映了流体在运动过程中必须满足质量守恒定律。其中拉格朗日法的研究对象是流体中一个确定质量的流体物质团（称为封闭系统），随着流体的运动，封闭系统的表面的位置会不断随时间而变化，但没有流体穿过它的边界。质量守恒定律可表述为：封闭系统内流体的质量在流体运动的过程中不发生变化。而欧拉法的研究对象则是流场空间中一个固定的区域（称为控制域），控制域表面的位置不随时间而变化，由于流体的运动，控制域的表面通常会有流体通过。质量守恒定律可表述为：控制域内流体质量随时间的增加与流体经控制体表面流入的质量相等。

在式(7-3)中令q??，可得连续方程

?????????V?d??0 ???????t???t?? (7-4)

考虑到积分体积的任意性并假定被积函数连续，上式可以写成

???????V?0 ?t?? (7-5)

这是基于欧拉观点的微分形式的连续方程。它表明控制体中流体质量在单位时间内的增加来自流体质量经控制体表面的流入速率。将随体时间导数表达式代入上式，便得到基于拉格朗日观点的微分形式的连续方程。

?1d????V?0 ?dt???V?0

(7-6)

对于不可压缩流动，恒有d?/dt?0成立，此时连续方程简化为

(7-7)

2

连续方程仅反映了流体的运动学特性，与流体的本构关系无关。动量方程反映了流体的动力学特性，因此需要先介绍本构方程。

四、 本构方程

本构方程反应了应力和应变率之间存在的制约关系，这是建立流体动力学方程的基础。真实流体的力学性质是很复杂的，不同种类的流体可能表现出完全不同的力学特性，即便是同一种流体在不同的外部条件下，比如温度不同时，力学特性也会有很大的差异。因此要建立一个普适的本构方程几乎是不可能的。Stokes提出了适用于牛顿流体的如下三条假设：

（1）流体是各向同性的，也就是说流体的物理性质与方向无关，只是坐标位置的函数； （2）应力张量?ij是应变率张量eij的线性函数，与旋度无关。 （3）静止流体中，切应力为零，正应力的值为流体的静压。

根据以上假设，考虑到应力张量和应变率张量的对称性，由张量理论便可以推导出应力和应变率间的关系如下：

?ij??p?ij??ekk?ij?2?eij

(7-8)

其中?为动力粘性系数，?为第二粘度。静压p是一个热力学状态参数p?p??,T?。在热力学平衡态下，它总是等于三个相互垂直方向上正应力的平均值(力学压强)。在流体力学研究的问题中，有相当一部分是接近平衡态的非平衡体系，这时p与一点处的平均压强p是有一定的差别的。将上式的下标缩并后两边除以?3后得到

12??p???kk?p??????ekk?p??Bekk

?33? (7-9)

图7-2 应力张量示意图

其中

3

?B????

23 (7-10)

称为体积粘性系数。这表明热力学平衡压强或静水压强p与力学压强p相差?Bekk。式（7-8）也可写成：

?ij???p??Bekk??ij?2??eij?ekk?ij?

??13?? (7-11)

对于单原子气体p＝p，?B＝0。对于多原子牛顿流体，根据Stokes假设，通常满足体积粘性系数?B为零的条件，不必区分力学压强p与热力学压强p，本构方程简化为

?ij??p?ij?2??eij?ekk?ij?

??13?? (7-12)

其中只含有动力粘性系数，该本构关系样适用于静止流体、理想流体（?ij??p?ij）。

五、动量方程

动量方程在物理上反映了流体在流动过程中满足的动量守恒定律。基于拉格朗日观点，动量守恒定律可叙述为：封闭系统内流体动量随时间的变化率等于作用在该系统上所有外力之和。其数学表达式可以写成

?????d?Vd???fd??n??dS ????????dt??S (7-13)

?在雷诺输运方程中（7-3）式中，令q??V并代入上式，可得到基于欧拉观点的积分形

式的动量方程

???????????V???VVd???fd??n??dS ??????????????t?S???? (7-14)

利用广义高斯公式将上式中的面积分项改写成体积分，考虑到积分体积的任意性并假定被积函数连续，则有

???????(?V)????VV??f???? ?t?? (7-15)

这是基于欧拉观点的微分形式的动量方程。以连续方程（7-5）代入上式，得到动量方程的另一种常见的形式

?????1??V?V??V?f???? ?t??? (7-16)

4

将牛顿流体的本构方程式（7-12）代入式（7-16）后，得到牛顿流体的动量方程（或称为Navier-Stokes方程）

?????1??V12?V??V???p???V?????V?f ?t?3???? (7-17)

式中?2即为Laplace算子，?为运动粘滞系数。在不可压缩流动中，有

??????V12?V??V???p???V?f ?t??? (7-18)

对于理想流体的假设，则可简化简化为欧拉方程

?????V1?V??V???p?f ?t??? (7-19)

第二节 边界层的概念

由于N—S方程的非线性特征，使得问题的求解非常困难。在许多情况下，需要根据流动的特点对方程进行不同程度的简化。在低雷诺数流动中，由于粘性力远大于惯性力的特点，Stokes近似将N—S方程的惯性力项略去，使基本方程得以线化，得到了具有一定精度的小球阻力公式。在Oseen近似中，在方程中保留了线化的惯性力项，使小球绕流的远场特性得到了改善。

大雷诺数流动的情况相反，惯性力项远大于粘性力项。作为近似将粘性力项略去后，

N—S方程化为无粘流体的欧拉方程。若使用与它相匹配的无粘流的可滑移边界条件，对固

体的绕流问题会出现零阻力的非物理解（达朗贝尔佯谬）；若使用无滑移的粘性固壁条件会导致数学模型在边界条件上的过约束。

为了解决大雷诺数情况下欧拉方程和粘性边界条件间的矛盾，普朗特（1904）引入了边界层的概念。对绕流问题，他认为在固壁附近的很薄的一层区域内，沿固壁切向的速度由外部势流的值迅速下降为零，以满足粘性流体的固壁边界条件。如图7-3所示，边界层形成的原因也可通过从涡旋传输的观点来解释。流动中的任何固体边界层都相当于连续分布的涡源，它不断的在流动中产生涡旋。紧靠表面附近的涡旋，一方面向外扩散，另一方面随着流体向下游流动。涡旋扩散的速度取决于流体的粘性系数，粘度越大，扩散得越快，而涡旋向下游流动的速度取决于来流速度。当雷诺数足够大时，平板表面附近的涡旋向下游流动的速度比向垂直于流动方向的速度大得多，以致包含这些涡旋的流动仅仅限于贴近表面的一个向下游伸展的薄层，这个薄层就是边界层。在边界层内，流动是有旋的；而边界层以外的流动则可视为无旋的。

5

目前边界层理论已成为近代流体力学的重要基石，它澄清了大雷诺数流动问题中粘性对流动的影响。在许多情况下，大雷诺数与湍流相互关联，本章将分节讨论低速层流边界层和湍流边界层。边界层理论基于大雷诺数流动的近似，首先需在近似中保留部分粘性项而建立Prandtl边界层方程。为了说明边界层的基本特征，本章将先引出描述边界层的数学方程式，接着讨论一个最典型的边界层流动（平板边界层），然后再介绍边界层分离现象。

图7-3 边界层内的涡旋和速度分布示意图

第三节 边界层的微分方程式

由粘性流体力学的基本方程，采用量级分析方法和普朗特展开方法都可以推导出边界层的微分方程式。本节将介绍第一种方法。考虑大雷诺数的二维绕流问题，假定固壁是平直的(平板或楔)。设y轴与壁面垂直，x轴与壁面平行且指向下游，坐标原点和顶点重合，如图7-3所示。连续性方程和动量方程的两个投影分别为

?vx?vy??0 ?x?y (7-20a)

??2vx?2vx?vx?vx?vx1?p?vx?vy???????x2??y2?t?x?y??x??? ?? (7-20b)

?vy??2vy?2vy1?p?vx?vy?????2?2??x?t?x?y??y?y??vy?vy?? ?? (7-20c)

当雷诺数Re远大于1时，在边界层内x方向和y方向的物理量具有不同的数量级。设板长为L、无穷远来流速度为U，边界层厚度为?（当横截面上速度恢复到99％时的厚度）、边界层外缘的y向速度分量为V。且有

V?~~UL1Re??1。取L、U分别为x方向的特征长

度与特征速度； ?、V分别为y方向的特征长度与特征速度。p?为远前方来流的静压，则将

x*?vxy， y*?，vx*?x， L?Uvy*?vyV t*?tUp， p*? Lp?代入式(7-20)中并将各项的量级标注如下：

6

*U?vxV?vy??0 **L?x??y*

1 1 (7-21a)

?vx*?t*?vx*?vx*2*2*?2?v?vx?p??p*VL*?vx1?Lx? ?v????y*22*2??x*U??y*?U2?x*Re??x??y??* 1 1 1

1（1 ReRe） (7-21b)

***?2*2*?*??v?v?v?v?vy?p1??p1y?y?v*y?v*y????? ??Rexy***?2*2?*2*2??Re?t?x?y??U?yRe??x?y??1 Re

1（1 Re2Re） (7-21c)

当Re>>1时，在式（7-21）中略去高阶小量，并恢复为有量纲的形式可得

?vx?vy??0 ?x?y (7-22a)

?vx?vx?vx?2vx1?p ?vx?vy????2?t?x?y??x?y (7-22b)

?p?0 ?y (7-22c)

式(7-22c)表明边界层内压力的法向梯度近似为零，只是x的函数，它可由外部势流区的压力分布来描述。考虑到边界层外的势流区的速度只有一个方向的分量vx?ve?x?，则欧拉方程简化为

?vedv1dp ?vee???tdx?dx将(7-22b)式中的压力项用外流速度表示，得到

(7-23)

?vx?vx?vx?vedve?2vx ?vx?vy??ve??2?t?x?y?tdx?y (7-24)

7

对于曲率不大的二维曲面壁而言，分析表明，只要将x取成沿壁面的流线坐标，边界层方程的形式与上式完全相同。在边界层方程中，保留了惯性力项，部分保留了粘性力项，压力项由外部势流解给出定。与Navier-Stokes方程组相比，边界层方程组是大大的简化了，方程由椭圆型方程变为了抛物型方程，使问题的求解由二维无穷域变为一个半无限的长条域。 对于前者必须在封闭边界上给出边界条件，而对于后者则下游边界条件无需给定，只需给出：

vx?0 vy?0 ?y?0: ? vx?U ?y??: (7-25)

边界层方程仍然是非线性的。边界层内的解与外部势流区的解在边界层的边缘上衔接，在给定边界层方程外部边界条件后，对边界层方程的求解时，则需要对边界层厚度的定义加以说明。

第四节 边界层厚度

边界层是在大雷诺数流动中近壁处的涡量集中区。由于全流场中从粘性区向无粘区的过渡是逐渐进行的，不存在一个非此即彼的明确界限，因此边界层的边缘并不非常清晰。为了实际应用的方便，边界层厚度有着如下几种较为严格的定义。

即边界层的位移厚度?1，边界层的动量损失厚度?2，以及边界层的能量损失厚度?3，上节中提及的边界层厚度?即为边界层与外部势流的边界，亦称为名义厚度。

一、边界层的位移厚度?1

由于壁面摩擦的影响，与理想流体相比，边界层内实际流过的体积流量会有所减少。为了使基于理想流体理论计算得到的流量与粘性流的实际情况一致，需要把原来的固壁向外推一个距离?1，该距离被称为边界层的位移厚度。如图7-4所示，矩形OACE的面积与相当与减少流量的面积ODE应相等，对于不可压流动?ve?1?y???0??ve?vx?dy，即：

（7-26）

?1??y???0vx? ?1??v??dye??在实际问题中，往往应该考虑边界层的存在对外部势流场的影响。例如溢流坝面流动中，下泄流量不变，但随着边界层发展，必然迫使自由水面抬高一个位移厚度。又例如，对于低速风洞的试验段，不能设计成一个平直段，通常有一个约0.5的扩散角，以补偿边界层增厚的影响。

o 8

式（7-26）的积分上限为无穷，在实际计算中，通常取为边界层名义厚度?。在定常流中，边界层内的vx总是小于ve且两者方向保持一致，则可直接推出定常层流边界层的位移厚度总小于边界层厚度。

图7-4 边界层位移厚度

二、边界层的动量损失厚度?2

边界层厚度的另一种定义是基于考虑边界层存在所导致的无粘流中流体动量的损失。在

?边界层中通过的动量为

?02?vxdy，如果这些质量的流体具有的动量为

???vxvedy，则二者之差

0相当在无粘流中将固体壁面向流动内部移动一个

?2距离，即

Df?2?ve?2?2??ve0?vxve?vx?，所以有： ??1?v??dye????2??通常将?2称为动量损失厚度或简称动量厚度。

vxv0e?vx??1?ve????dy ? (7-27)

三、动能损失厚度?3

与动量损失类似，边界层由于粘性阻滞而造成的动能流通量损失为：

?0?2?2?vevx?dy。这一动能通量损失，如果用物体表面的一层无粘性流体流动的动能通?vx???22???3?ve量来表示，并设这一流层的厚度为?3，则：

29

?3???02?2?vev?vx??x?dy

?22???

v?3??xv0e??vx2??1??dy

2??ve?? （7-28）

上式就是动能损失厚度?3的定义。从理论上说，粘性的影响可以由壁面一直延伸至无穷远处。本节在动量厚度和能量厚度的表达式中，已将积分上限由?换成?；前者基于渐近边界层概念，后者基于有限边界层概念。

第五节 边界层动量积分关系式

边界层微分方程的求解通常可分为近似解和相似解（精确解）。在工程计算中，求解边界层问题可以使用各种近似解法，以期较为迅速地得到具有一定精度的计算结果。这种方法是针对边界层微分方程积分后得到的动量方程进行求解的，故本节先介绍卡门动量积分关系式，下节将介绍它在平板问题中的运用。

首先推导动量积分关系式，从二维层流边界层的微分方程出发，即：

?vx?vy??0 ?x?y （7-29a）

?vx?v?v?vdv1?? ?vxx?vyx?e?vee??t?x?y?tdx??y式中

（7-29b）

????vx。以ve乘以式（7-29a）两边，考虑到ve?ve?x,t?，得到： ?y?vevx?vevy?v??vxe ?x?y?x （7-30a）

vx乘以式（7-29a）再加上式（7-29b）而得到：

?vx??vxvx??vxvy?v?v1?? ???e?vee??t?x?y?t?x??y?? （7-30b）

式（7-30a）与式（7-30b）逐项相减后：

?v??ve?vx????vevx?vxvx???ve?vx?e??vevy?vxvy??1??（7-31a） ?t?x?x?y??y??

固壁边界条件如下：

10

y?0：vx?0，vy?0，???w

（7-31b）

y??：vx?ve，??0

利用边界条件式（7-31b）对式(7-31a)沿边界层厚度方向积分；由于式（7-31a）左边第4项积分后自动为零，故得到：

?ve????????v?vdy?vv?vdy?exxex?t?0?x?0?xw??v?vdy?ex?0???

根据边界层位移厚度和动量损失厚度定义式, 上式可以写成：

?wCf??21?1?ve ?ve?1?????1?2?2???2?2?xve?x2?veve?t令 H? （7-32）

?1 为边界层的形状因子，对于层流边界层其变化范围大约为H?2.0~3.5，对于?2湍流边界层其变化范围大约为H?1.3~2.5。可以得出定常不可压层流边界层的积分关系式：

Cfd?2?dv ??2?H?2e?dxvedx2该式即为卡门动量积分关系。

（7-33）

在动量积分关系中，未知量是壁面摩擦系数Cf、动量厚度?2和形状参数H(或位移厚

度?1)，它们都可由速度分布vx确定。作为近似解，如果能给出一个恰当的取决于单参数的速度分布vx，边界层问题便归结为求解单参数的卡门动量积分关系。以下平板边界层的例子来说明卡门动量积分关系的应用。

第六节 平板层流边界层的计算

对于平板边界层问题，由于外流速度是个常数，卡门动量积分关系式简化成

dvedp?0，即ve?U?。同时有e?0，dxdx?d?2?w2 dx?ve (7-34)

11

2d(?ve?2)??wdx表明壁面阻力所做的功等于边界层动量损失的增量。动量积分法求解，需

要先假设一个满足边界条件的速度分布，但并不要求与边界层内每点的流速都符合。设

vxy?f???，其中??，边界条件（7-31b）需要作进一步的分析。为了使近似的速度分布

?ve与实际情况相近，速度在物面和边界层外缘必须满足边界条件

vxy?0?vyy?0?0，

vxy???ve

为使边界层外缘的速度过渡平滑，速度的一阶导数满足边界条件（零切应力）

?vx?y速度二阶导数满足的边界条件是

?0

y???2vx?y2y?0dve?2vx1dp， ??ve??dx?vdx?y21?0

y??其中上面左式由边界层方程式（7-24）使用壁面边界条件得到的，反映了壁面速度剖面曲率和压力梯度间的关系，称为“壁面第一兼容条件”；右式代表边界层外缘速度的过渡平滑。速度的三阶导数满足

?3vx?y3y?0?3vx?0，

?y3?0

y??其中第一式由边界层方程对y求导后在物面取值得到，第二式仍代表边界层外缘速度的过渡平滑。对平板边界层即有：f?0??f''?0??f\'?0??0，f?1??1和f'?1??f\?1??f\'?1??0。

如果必要可以使用速度更高阶导数的边界条件。

假定了速度分布

vx?f???后，可分别计算 ve

?2???f?1?f?dy?a2?

01 （7-35）

?ve'??vx???w????f?0? ??y????y?0其中?2? （7-36）

?0f?1?f?d?

12

1式(7-34)可写为：

d??f'?0? ??dx?2ve （7-37）

可以认为平板边界层是从前缘开始的，当x?0时??0，积分上式得：

??x??由上式可以得到边界层的各种参数，例如： 壁面摩擦阻力系数：

2f'?0??x

?2ve （7-38）

Cf?2?2f'?0?

平均壁面摩擦阻力系数：

?vex （7-39）

CDf?

动量损失厚度：

1l?' ??Cdx?22?f0f2?0lvel （7-40）

?2?2?2f'?0??xve （7-41）

位移厚度：

?1??12f'?0??x

?2ve （7-42）

其中?1??0?1?f?d?

1根据上述分析，只要选定f???的具体函数形式问题即可解决。通常f???取做多项式、三角函数或双曲函数等。例如：选用三次多项式：

f?a0?a1??a2?2?a3?3

13

根据四个边界条件：f?0??0，f\?0??0，f?1??1，f\?1??0，决定四个待定系数：

13a0?0，a2?0，a3??，a1?

22313速度分布剖面的近似函数为：f????

22可以得到边界层的各参数表达式如下：

?2?0.646?xve

?1?1.740?xve

Cf?0.646?vex

CDf?1.292

?veL

表7-1所列为选用各种函数的计算结果比较。最简单的情况是线性分布f?????,边界条件自动满足，由于没有待定常数，关于速度导数的边界条件不必考虑。读者可进一步用其它形式的函数进行计算，并将它们与Bulasius的精确解（相似解）进行比较。

表7-1 平板边界层近似解

速度剖面 vx?f??? vef????? ?1 ?2 1 62 1539 2804?? 2?f?0??1've?x ?2 ve?x?w?ve2 vex?CDfveL? 1 21 33 8??2 ?1 2 1.732 1.825 1.740 1.741 1.721 0.577 0.730 0.646 0.655 0.664 0.289 0.365 0.323 0.327 0.332 1.155 1.460 1.292 1.310 1.328 f????2???2 31f???????3 223 2???f????sin??? ?2?Blasius解

? 2 14

第七节 平板湍流边界层

实验证明，当雷诺数ReL?veL/?较小时，平板上的边界层流动可能全部都是层流边界层。当ReL足够大时，就可能同时存在三种流态：在靠近平板的前缘一段是层流，在后缘一段是湍流边界层，在此两段之间是过渡段。

通常边界层的概念出现在大雷诺数的流动中，但是大雷诺数是指外流而言的。在边界层内的流动，特征尺度是边界层的厚度?，当地雷诺数应表示成Re??ve?/?。由于边界层的厚度远小于全流场的特征尺度，其中的扰动并不能马上发展起来。若在平板前缘施加一个随机的小扰动，当雷诺数Re?小于某一临界值时，随机脉动在向下游的过程中会很快消失，边界层保持稳定的层流状态。当Re?一旦达到某一临界雷诺数的值（根据稳定性理论来分析），便进入向湍流转捩的过渡区域。在向下游继续发展的过程中，最后将使边界层迅速进入完全的湍流状态。概括起来，湍流边界层的有如下的分层结构：

?????粘性底层（0?y?5）v*??????? 内层 ?过渡层（5v?y?30v）**?????湍流边界层 ? ?对数律层（30v?y?0.28?）*?????尾迹律层（0.28??y?0.48?）???外层???粘性顶层（0.48??y??）??其中

v???w ? (7-43)

具有速度的量纲，与壁面切应力有关，称为摩擦力速度（或剪切流速）。

湍流边界层的速度分布可使用Prandtl混合长度理论来分析。考虑无限长平板在自身平面内运动引起的二维定常平行剪切流，湍流的平均速度只有沿x轴方向的一个分量，且只与坐标y有关，这时可得到

dv?dvx?x??l2??dydy?? ????w

?2 (7-44)

考虑到湍流的大雷诺数特性，在壁面之外的大部分区域内,粘性力项与雷诺应力项比较是个高阶小量，上式可进一步近似为?l2?dvx/dy?2??w,这表明

dvx1?wv??? dyl?l以混合长度的表达式l?ky代入上式，其中k?0.417，积分后得到

15

(7-45)

vx?称为平板湍流的速度对数分布律。

v??lny?C? k (7-46)

以上分析在非常接近壁面处是不成立的，由于该处雷诺应力变小，粘性力增大，事实上，上式的对数项在该处已经发散。在非常接近壁面的区域，考虑到粘性力占主导地位的事实，有

?积分得到满足边界条件的解为

dvx??w dy2v? (7-47)

vx???y

(7-48)

上式表明流体的速度呈线性分布，由于该层中粘性力占主导，通常称为粘性底层。粘性底层比边界层薄得多，其外满足速度对数分布律的区域称为对数律层，两者间存在一个过渡层。

而工程上通常采用如下的近似方法求解平板湍流边界层。在没有压力梯度的情况下，

在105?Rex?vex/??107的范围内，vxve??y??1/n的指数函数形式对平板湍流边界层内

的速度分布近似成立，其中n?7。当Rex变小的话，n将比7小，随着Rex的增大，n会变大，在有压力梯度的情况下，指数定律的精度会降低。

采用上述指数函数形式求解平板湍流边界层，并借鉴圆管湍流关于壁面阻力的研究成果，假设

????0.0225?v?2?ve?e

与平板层流边界层的计算类似，有?2??有

?w????1/4 （7-49）

?01f?1?f?dy?a2??7?，利用动量积分式（7-34）72??7d??0.0225??v?72dx?e????1/4 （7-50）

可以认为平板边界层是从前缘开始的，当x?0时??0，积分上式得：

??x??0.37其中Rex?x/5Re1x （7-51）

vex?，上式即为湍流平板边界层厚度沿x方向的计算公式，与式（7-38）相比，湍

流边界层厚度是x的0.8次方，而层流边界层厚度是x的0.5次方。可见湍流边界层厚度增长比层流边界层要迅速。与第六节类似，可求解如下物理量 边界层动量厚度：

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?2?x??0.036

壁面摩擦阻力系数：

x/5Re1x （7-52）

d??vx?Cf?22?0.0576?e?dx???平均壁面摩擦阻力系数：

?1/5 （7-53）

CDf1l?vl??Cfdx?0.072?e?l0????1/5? （7-54）

式中的系数可根据实验数据稍加修正，得出Prandtl湍流边界层阻力计算公式：

CDf?vl??0.074?e?????1/5，适用范围为105?Rel?vel??107。相应的Blasius层流边界层阻力计算

公式见第六节，图7-5给出它们随雷诺数变化的曲线表示形式（曲线①和②所示）。针对实验数据的其它拟合曲线形式本节不作详细介绍。

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图7-5 平板阻力系数

第八节 边界层的分离

本章中重点讨论了平板边界层，但这只是最简单的一种边界层流动。在平板绕流中，势流流场中的压强及速度保持为常数，而当固体壁面为曲线时，压强会沿程变化。逆压梯度区将有可能产生边界层分离现象。

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为了说明边界层的分离，先来分析一下二维椭圆柱大雷诺数绕流问题的流动图象（Bradshaw，1970）。在椭圆柱的迎流面区域，外部势流是加速的，压力梯度dp/dx?0。如果流体是理想的，它在上下顶点位置上达最大速度，然后进入逆压区减速，直至后驻点处速度下降为零。而在粘性层中的流体运动，由于粘性损耗了一部分动能，在同样的压力梯度下，流体的速度在到达后驻点前便降为零。这时其后的流体不会继续静止，在当地逆压梯度的作用下会形成逆流，它使得顺壁而下的边界层产生分离，离开壁面进入外流区。这使得涡流区迅速变厚，形成复杂的尾迹。

图7-6 椭圆柱绕流

一般我们称在边界层坐标x的某一固定点处的速度vx随y的变化曲线，为边界层的速度

??2vx剖面。在接近边界层的外缘处, y??，vx?ve，由边界层方程式（7-24）有???y2????0，??y??故在接近边界层的外缘处，速度剖面是凸向下游的曲线。另外由边界层方程（7-22b），恒定流动在不可渗透的固体壁面上，y?0，

??2vxu?v?0：有??2??y??1?p??，故在物面上速???x?y?0度剖面的曲率决定于

?p。 ?x?2vx?p?0，即对于柱形体的二维定常绕流，在物面附近的顺压梯度区中?x?y2?0，即

y?0在物面上的速度剖面也是凸向下游的曲线，因此整个速度剖面没有捌点。在物面的逆压梯度

?2vx?p?0，即区中?x?y2?0，即在物面上速度剖面是凹向下游的曲线，故在速度剖面上必

y?0x然出现捌点。同时在逆压梯度区，通常?w?????y??随x的增加而减小的，如果在某点

??y?0??v???vxx?xs，???y???vx???y?

??vx????0即壁面的切应力。而当时，??0x?xws??y???y?0???0，x?xs时，??y?0???0。这就是说，当x?xs时，物体表面附近发生了反向回流。从壁上x?xs这一??y?019

点起，流体不再贴着物面流动，而是从物面“分离”出去。S称为分离点，如图7-7 至7-9所示。

边界层分离后所形成的尾流区中流动通常是非恒定的，涡旋周期性的脱落，将影响附近的势流流场，使得压强也周期性变化，从而分离点的位置通常是有所摆动的。边界层分离不但依赖于雷诺数，也与压力分布、表面曲率、表面粗糙度、来流湍流度及其它环境因素有关。由于边界层分离对绕流物体的升力和阻力特性都有重要影响，随着边界层理论的发展，工程中有不少利用和避免边界层分离的相应措施，此处不作深入叙述。

图7-7顺压梯度时边界层特性

图7-8 逆压梯度时边界层特性

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图7-9 分离点附近的流动

习题

1． 试运用微元体法推导牛顿流体的连续和运动方程。 2． 查阅相关资料，学会用Prandtl 展开法推导边界层方程。

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