2第二章 导数与微分答案

第二章 导数与微分

重点：导数与微分的概念、关系、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。

难点：隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数、对数求导法、一阶微分形式的不变性。

第一节 导数概念

1．填空题.

2??x, x?0（1） 已知f?x???，则 f?(0)= 0 .

2???x, x?01及x2?3的两点，作过这两点的割线，则抛物（2） 在抛物线y?x2上取横坐标为x1?`线y?x2上在点 (2, 4) 处的切线平行于这条割线.

（3） 已知f'(3)?2，则limh?0f?3??f?3?h?? 1 . 2h?x2, x?1b? -1 . （4）欲使函数使f?x??? 在x?1处可导，则 a? 2 ，?ax?b, x?12．选择题. （1）设y?f(x)在x?a处可导，则

x?0 lim'f?a?x??f?a?x??（ B ）

x''A. f(a)； B. 2f(a) ； C. 0 ； D. f(2a). （2）设 f(x)为可导函数，且满足条件limx?0f?1??f?1?x???1，则曲线y?f?x?在

2x(1 , f?1?)处的切线斜率为（ B ）

A. 2; B. ?2; C. 1; D. ?1. （3） 若f(x)在点x?x0处可导，则f?x?在点x?x0处（ C ）

nA. 可导; B. 不可导; C. 连续未必可导; D. 不连续.

（4）设f(x)?x，xn是过点（1，1）的曲线y?x（n是正整数）的切线在x轴上的截距，则limf(xn)?（ D ）

n??nA. 1； B. 0 ； C. e ； D. e（5）设f(x)在点x?a处可导，则

?1.

f?x?在点x?a处不可导的充分条件是（ B ）

A. f(a)?0且f'(a)?0; B. f(a)?0且f'(a)?0; C. f(a)?0且f'(a)?0; D. f(a)?0且f'(a)?0.

?23x?1,?x, （6）设函数f?x???3 则f(x)在x?1处（ B ）

?x2, x?1,?A. 左右导数都存在； B. 左导数存在，右导数不存在；

C. 左导数不存在，右导数存在； D. 左右导数都不存在. 3．已知物体的运动规律为s(t)?t?t2，求物体在t?2时的瞬时速度. 解 令v(t)表示在t时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知

s?t??s?2?t?t2?(2?22)v(2)?s(2)?lim?lim?lim(1?t?2)?5.

t?2t?2t?2t?2t?2'4．设?求f??a?；若g(x)?|x?a|?(x)，g?x??x?在x?a处连续，f?x???x?a???x?，

在x?a处可导吗？ 解（1）因为??x?在x?a处连续， 故lim?(x)??(a)，所以

x?af'(a)?limx?af?x??f?a?(x?a)??x??0?lim?lim?(x)??(a). x?ax?ax?ax?a（2）类似于上面推导知

'g?(a)?lim?g?x??g?a?(x?a)??x??0?lim??(a),

x?ax?a?x?ax?ag?x??g?a??(x?a)??x??0'g?(a)?lim?lim???(a).

x?a?x?a?x?ax?a'''可见当??a??0时，g?a???(a)?0；当??a??0时，g??a??g?(a)， 故这时g?x? 在x?a处不可导。 5．求曲线y?x4?3在点?1,?2?处的切线方程和法线方程.

k1?y'|x?1?4x3|x?1?4,

解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为

从而所求切线方程为

y?(?2)?4(x?1), 即 y?4x?6. 所求法线的斜率为

k2??于是所求法线方程为

11??, k141(x?1), 417即 y??x?.

44 y?(?2)???1?x?1, x?0?6．证明函数f?x???在点x?0处连续，但不可导. x?0 , x?0?1x1?x?12f(x)?lim?lim?0?f(0)，又易知limf(x)?0?f(0)，证明 因lim?_x?0?x?0?x?0x?0xx故f?x?在点x?0处连续。

1?h?1而f?'(0)?lim?h?0f?h??f?0??limh?0?hhh?01h2??,， ?lim3?h?0h2故右导数不存在.

7. 设f(x)?x(x?1)?(x?100)，求f'(0). 解 由导数定义知

f'(0)?limx?0f?x??f?0?x(x?1)(x?2)?(x?100)?0?lim?100!. x?0xx

第二节 函数的求导法则

1．选择题. （1） 在函数

f(x)和g(x)的定义域内的一点x0处，

下述说法正确的是( D ) A. 若B. 若C. 若D. 若

f(x)，g(x)均不可导，则f(x)g(x)也不可导； f(x)可导，g(x)不可导，则f(x)g(x)必不可导； f(x)，g(x)均不可导，则必有f(x)+g(x)不可导； f(x)可导，g(x)不可导，则f(x)+g(x)必不可导.

（2） 直线l与x轴平行且与曲线y?A.

x?ex相切，则切点为( D )

,?; B. ??11,?; C. ?01,?; D. ?0,?1?. ?11（3）设F(x)?g(x)?(x)，?(x)在x?a处连续但是不可导，g?(a)存在，则g(a)?0是F（x）在x?a处可导的( A )条件

A. 充要； B. 必要非充分； C. 充分非必要； D. 非充分非必要. 2．求下列函数的导数. （1）y?3?x?ln2. 解 y?3ln3?3x. （2）y?x2cosx?'x3'x2?x.

132?1?21s?x)?x(?sinx?x)?2xcosx?x2sinx?2x2. 解 y?2x(cox22（3）y??x?1??x?2??x?3?.

解 y??x?2??x?3??(x?1)[(x?2)(x?3)]

''?(x?2)(x?3)?(x?1)(x?3?x?2)?3x?12x?11. (4) y?3xsinx?axex(a?0,a?1). 解

2

1?3y?xsinx?x3cosx?(axlna)ex?axex3'211??x3sinx?x3cosx?axexln(ae) 3（5）y?x2cotxlnx. 解

21y'?2xcotxlnx?x2(cotxlnx)'1?2xcotxlnx?x2(?csc2xlnx?cotx)

x?2xcotxlnx?x2csc2xlnx?xcotx.（6）y?xexsecx.

解 y'?exsecx?x(exsecx?exsecxtanx)?exsecx(1?x?xtanx). （7）y?xa?a2x?aa. 解 y'?a2xa（8）y?222?1?(a2)xlna2?a2xa.

2?1?a2xlna2.

1?x1?x11?1??x2(1?x)?(1?x)x21'2解 y?2??. 22(1?x)x(1?x)1?ex. （9） y?x1?e1?ex(1?ex)?(1?ex)ex2ex解 y???. x2x2(1?e)(1?e)'3．设y?xlnx?dydy1，求及

dxdxx3.

x?13dy11?21?2?lnx?x??(?)x?lnx?1?x, 解 dxx22因而

dydx?1?x?111?. 22

4. 求下列函数的导数. （1）y?cot'1. x2解 y??csc11'12121?()??csc?(?x?2)?2csc. xxxxx（2）y?ln?1?x?. 解 y?（3）y?解 y?''111?(1?x)'??(?1)?. 1?x1?xx?1x?x?x.

12x?x?x[1?12x?x(1?12x)].

（4）y?lnx?1?x2. 解 y?'??1x?1?x2(1?2x21?x2)?1x?1?x2x?1?x21?x2?11?x2.

（5）y?sincos2?tan3x?. 解

??y'?cos[cos2(tan3x)]?2cos(tan3x)?(?sin(tan3x))?sec2(3x)?3??3cos[cos(tan3x)]sin(2tan3x)sec(3x).aax22

（6）y?xa?ax?aa. 解 由(af(x)')?af(x)(lna)?f'(x)易知

ay'?aaxa?axaaa?1?1?axlna?(axa?1)?aalna?(axlna)a?1xaax?xax?axalna?a(lna).2

5. 在下列各题中，设

f(u)为可导函数，求

dy. dx（1）y?f[f(sinx?cosx)].

解 y?f[f(sinx?cosx)]f(sinx?cosx)(cosx?sinx). （2）y?fee''x'''??xf?x?.

f(x)解 y?f(e)ee

x?f(ex)ef(x)f'(x)?[ef(x)f'(ex)?f'(x)f(ex)]ef(x).

6. 设

f(1?x)?xe?x且f(x)可导，求f?(x).

解 把方程两端分别对x求导，得:

f'(1?x)?(?1)?e?x?xe?x?(?1)?e?x(1?x), 令1?x?y, 则f'(y)??yey?1, 即 f'(x)??xex?1. 7. 设

f(u)为可导函数，且f(x?3)?x5，求f?(x?3)和f?(x).

解 把方程两端分别对x求导，得f'(x?3)?5x4,

进而f'(x)?5(x?3)4. 第三节 高阶导数

1． 填空题.

（1）y?10x，则y?n??0??(ln10)n. （2）yn?n?sin2x，则y???x?? 2nsin(2x?) ..

22． 选择题. （1）设

f(x)在???,???内为奇函数且在?0,???内有f?(x)?0，f??(x)?0，则

f(x)在???,0?内是( C )

A.C.

f?(x)?0且f??(x)?0； B.f?(x)?0 且f??(x)?0； f?(x)?0且f??(x)?0； D.f?(x)?0 且f??(x)?0.

（2）设函数y?f?x?的导数f?(x)与二阶导数f??(x)存在且均不为零，其反函数为

x???y?，则????y??( D )

A．

f???x?1； B. ?2f???x?fx??????f??x???f???x?；C. ； D. ?. 3f???x??f??x??23. 求下列函数的n阶导数.

(1) y?(1?x). 解 y??(1?x)'??1, y\??(??1)(1?x)??2,?,

y(n)??(??1)?[??(n?1)](1?x)??n.

(2) y?5.

解 y?5ln5, y?5(ln5),?, y4．计算下列各题. （1）y'x\x2(n)x?5x(ln5)n.

?1?4?，求y?2?.

x?x?1?11?, 则y'??(x?1)?2?(?1)x?2, x?1x解 将原题改写为y?y''?2!(x?1)?3?2!x?3, y'''??3!(x?1)?4?(?1)3!x?4,

y(4)?4!(x?1)?5?4!x?5, 于是y(4)(2)?4![(2?1)?5?2?5]?（2）y93. 4?exx2?1，求y?20?.

??解 y'?exx2?1?ex?2x?ex(x2?2x?1),

??y''?exx2?2x?1?ex?(2x?2)?ex(x2?4x?1), y'''?exx2?4x?1?ex?(2x?4)?ex(x2?6x?5),

依此类推可用数学归纳法证明, 对一切自然数n有

????y(n)?ex[x2?2nx?(n?1)n?1],

将20代入得y(20)?ex(x2?40x?379). 注：本题也可用莱布尼茨公式计算. （3）y?1?n?.

，求yx2?3x?211?形式, x?2x?1解 将原式改写成 y? 则 y'??(x?2)?2?(?1)(x?1)?2,

依此类推可用数学归纳法证明, 对一切自然数n有 y(n)?(?1)nn![211?]. n?1n?1(x?2)(x?1)?n?（4）y?sinx，求y'.

解 y?2sinxcosx?sin2x, y?2cos2x?2sin(2x? y?2cos(2x?'''2''?2),

?)?22sin(2x?2?), 22? 依此类推可用数学归纳法证明,对一切自然数n有

y(n)?2(n?1)sin[2x?(n?1)?].

2（5）y?xsin2x, 求y2??50.?.

解 x的高阶导数都为0，应该用乘积导数的莱布尼茨公式计算本题.

4849y(50)?0?C50(x2)\(sin2x)(48)?C50(x2)'(sinx)(49)?x2(sinx)(50)50?49?49?50??2sin(2x?48?)248?50?2x?249sin(2x?)?x2?250sin(2x?) 22221225?250(sin2x?50xcos2x?x2sin2x).2?5. 设f'(cosx)?cos2x，求f''(x).

解 等式两端对x求导，得 f\(cosx)(?sinx)??2sin2x??4sinxcosx,

故 f\(cosx)?4cosx, 因此 f'(x)?4x 6. 已知f''(x)存在，y?f(lnx)，求y''. 解 y?f(lnx)?1, x111y\?f\(lnx)??f'(lnx)?(?1)x?2?[f\(lnx)?f'(lnx)]2.

xxx''

第四节 隐函数及由参数方程所确定的

函数的导数 相关变化率

1． 设x2y?e2x?siny，求

dy. dx解 把方程两边分别对x求导，得

2xy?x2dydy?2e2x?cosy?, dxdxdy2(e2x?xy) 故 ?2.

dxx?cosy2． 设x3?y3?sin3x?6y?0，求 解 把方程两边分别对x求导，得

dy

. dxx?0

3x2?3y2dydy?3cos3x?6?0, （*） dxdxdyco3sx?x2故 ?.

dxy2?2由原方程可得，x?0时，y?0，将x?0,y?0代入上式，即得

dy1?. dxx?02或：不必求出

dydy1的具体表达式，将x?0,y?0代入（*）式，可解得?. dxdxx?023t?x???1?t23．求曲线?在t?2处的切线方程和法线方程. 2?y?3t?1?t2?解 将t?2代入原方程得M0(x0,y0)的坐标 x0? 在点M0(x0,y0)的切线斜率为k?612,y0?, 55dy6t?dxt?23?3t2t?24??,

31246??(x?), 即4x?3y?12?0, 5351236?(x?), 即3x?4y?6?0 . 在点M0(x0,y0)的法线方程为y?545在点M0(x0,y0)的切线方程为y?4．利用对数求导法求导数.

（1）y?xsinx1?ex.

解 两边取对数, 得 lny?1ln(xsinx1?ex), 2上式两边对x求导, 得

1'11y??[sinx1?ex?x?(sinx1?ex)']y2xsinx1?ex1111exx[cosx1?e?sinx?(?)]} ??{?xx2xsinx1?e21?e11ex?[?cotx?)].x2x2(1?e)因此,

1exx1 y?xsinx1?e[?cotx?)]. x2x2(1?e)'（2）y??sinx?lnx.

解 两边取对数, 得 lny?lnx?lnsinx, 上式两边对x求导, 得

1'1cosxy??lnsinx?lnx? yxsinx1(lnsinx?cotx?lnx). xxy3 因此,

y?(sinx)'lnxdy 5．设y?y?x?由方程e?y?5x?0所确定，试求

dx解 应用隐函数方程求导法, 得

d2y，2dxx?0.

x?0exy(y?x将 x?0代入e得

xydydy)?3y2??5?0, (*) dxdx， ?y3?5x?0得y3??1，即x?0,y??1，将其代入（*）

dydx?2.

x?0在（*）式两端继续对x求导，

2dy2dyd2ydy2xy2dye(y?x)?e(2?x?2)?6y?()?3y?2?0, （**） dxdxdxdxdxxy将x?0,y??1，及

dydx， ?2.代入（**）

x?0d2y得

dx2?x?019. 36．求下列参数方程所确定的函数的各阶导数.

??x?lnsintdy?????. 0?t?（1） 设?，，求?t??2dxy?tan1?e????解 利用参数方程求导法, 得

dy[tan(1?e?t)]'sec2(1?e?t)?(?e?t)?t2?t????esec(1?e)tant. 'costdx(lnsint)sint?x?3t2?2t?3dy（2） 设y?y(x)由?y确定，求.

dxt?0?esint?y?1?0dydydxdydt解 利用参数方程求导法, 得?. 因此只需分别求及在t?0时的值.

dtdtdxdxdt易知，

dydx?2. 下面用隐函数方程求导法求.

dtdtt?0在esint?y?1?0两端对t求导，得

yey?dydy?sint?ey?cost??0， dtdty由 esint?y?1?0得，x?0时，y?1，将x?0,y?1代入上式，即得

dy?e. dtt?0于是

dye?. dxt?022??ax?bx?c, x?07．已知函数f?x???，在点x?0处有二阶导数，试确定参数a,b,c??ln?1?x?, x?0的值.

解 分别求在0点的左、右导数：

f?h??f?0?ah2?bh?c?lim, f(0)?limh?0?h?0?hh'?f?'(0)?lim?h?0f?h??f?0?ln(1?h)?lim?1. h?0?hh

由于 f?'(0)?f?'(0)?1, 得b?1,c?0. 又

f'?h??f'?0?2ah?b?1f(0)?lim?lim,

h?0?h?0?hh\?1?1????fh?f01?hf?\(0)?lim?lim??1.

h?0?h??0hh1\\因 f?(0)?f?(0)??1, 得a??.

2''

第五节 函数的微分

1． 填空题.

（1）设y?x2?2x在x0(2) 设y?2处?x?0.01，则?y? 0.0201 ，dy? 0.02 . lim?y? 0 . ?f?x?在x0处可微，则?x?0（3）函数f(x)在点x0可微的必要充分条件是函数f(x)在点x0 可导 . （4）dlnx?C ?（5）de1dx. x133x?C?e3xdx.

（6）d arcsinx?C ?11?x2dx.

（7）d

1sec2x?C?sec2xtan2xdx.. d 22． 选择题. （1） 设y?f?u?是可微函数，u是x的可微函数，则dy?( C )

A．f??u?udx; B．f??u?dx; C．f??u?du; D．f??u?u?du. （2） 若

f(x)可微，当?x?0时，在点x处的?y?dy是关于?x的 ( A )

A．高阶无穷小；B．等价无穷小；C．同阶无穷小；D．低阶无穷小. （3） 当

?x充分小，f?(x)?0时，函数y?f?x?的改变量?y与微分dy的关系是

( D )

A．?y?dy; B．?y?dy; C．?y?dy; D．?y?dy. （4）y?f?x?可微，则dy( B )

A．与?x无关； B．为?x的线性函数； C．当?x?0时是?x的高阶无穷小； D．当?x?0时是?x的等价无穷小. 3．求下列函数的微分. （1）y?1?4x. x2解 dy?[?21111?2]dx?2(?)dx. 33xxxx

（2）y?xcos2x.

解 dy?(cos2x?2xsin2x)dx. （3）y?x2e?x.

解 应用积的微分法则，得

dy?d(x2e?x)?e?xd(x2)?x2d(e?x)?e?x2xdx?x2(?e?xdx)?(2?x)xe?xdx.（4） y?cosx. 21?x解 应用商的微分法则，得

cosx(1?x2)d(cosx)?cosxd(1?x2)(x2?1)sinx?2xcosxdy?d()??dx.1?x2(1?x2)2(1?x2)2（5）y?(lnln2x)3. 解

3(lnln2x)2dy?d((lnln2x))?3(lnln2x)d(lnln2x)?d(ln2x)ln2x

3(lnln2x)23(lnln2x)2?d(2x)?dx.2x(ln2x)x(ln2x)324．设y?x2lnx2?cosx，求dyx?1. 解 因 dy?(2xlnx?x222x?sinx)dx?[2x(lnx2?1)?sinx]dx, 2x故 dyx?1?(2?sin1)dx.

5．f(x)可微，y?f(sinx)?sinf(x)，求dy. 解 dy?[f(sinx)cosx?cosf(x)?f(x)]dx. 6．y?x?xy?y，求dy.

解 上式两边对x求导，得3yy?2x?y?xy?2yy,

即 (3y?x?2y)y?2x?y, 故 dy?2'2'''322''2x?ydx. 23y?x?2y7．计算31.02和ln0.98的近似值.

解 （1）31.02?31?0.02, 这里 x?0.02, 利用近似公式

n1?x?1?1x, （n?3的情形），便得 n131.02?1??0.02?1.0067.

3（2） 同样，利用公式ln(1?x)?x可得

ln0.98?ln(1?0.02)??0.02.

8.钟摆摆动的周期T与摆长l 的关系是T?2?lg，其中g是重力加速度。现有一只挂钟，当摆长为10cm时走的很准确。由于摆长没有校正好，长了0.01cm . 问这只钟每天慢多少秒? 解 由?f?df, f(x)?f(x0)?f'(x0)?x, 得

T(l)?2??2??2?l02?1???0.01gg2l0

10???0.01g10g100.01(1?),g2?100.01?0.0005, 20从而一天要慢0.0005?24?60?60?43.2.

可见摆长了0.01cm时, 一个周期增加了

第二章测验题

1．填空题.

(1) 设周期函数f（x）可导，且周期为4，limh?0f?1??f?1?h???1，则曲线y?f(x)在点

2h（5，f（5））处的切线斜率是 -2 .

(2) f(x)在x0可导是 f(x)在x0可微的 充要 条件. (3) 若 f(x)为可导的奇函数且

f?(x0)?5，则f?(?x0)? _5 . ，

则

(4)设

13x?df?x????cos2x?e??dx?1?x2? f(x)=

11 arctan?xsin2x?e3x?C. 23(5) 设y?xx，则dy? 2|x| dx.

1x，则

2．选择题. (1) 设y??1?x?y??1??( D )

A．2； B．e； C.

1?ln2; D.1?ln4. 2(2) 已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f?(x)=?f?x??，则当n为大于2的正整数时，

2 f?n?(x)是( A )

A．n!C.

?f?x??2nn?1； B．n?f?x??n?1；

?f?x??； D. n!?f?x??.

32n(3) 设 f(x)=3x?x2x，则使 f?n?(0)存在的最高阶导数的n为( C )

A．0； B．1； C. 2; D. 3. (4) 下列命题正确的是（ A, C, D ）

A. 若函数 f(x)在点 x0处不连续，则 f(x)在点 x0处必不可导； B. 若函数 f(x)在点 x0处连续，则 f(x)在点 x0处必可导； C. 若函数 f(x)在点 x0处可导，则 f(x)在点 x0处必连续； D. 若函数 f(x)在点 x0处可导，则 f(x)在点 x0处必可微. 3．计算下列各题.

(1)y?xsinx?cosx, 求y'.

解 y'?sinx?xcosx?sinx?cosx.

(2) 设f(x)?arcsinx,?(x)?x2, 求f[?'(x)],f'[?(x)],[f(?(x))]'. 解 f(x)?'11?x2,?'(x)?2x.

f[?'(x)]是由f(u)?arcsinu与u??'(x)?2x复合而成的复合函数，故 f[?'(x)]?arcsin(2x).

f'[?(x)]是由f'(u)?11?x411?u2与u??(x)?x2复合而成的复合函数，故

f'[?(x)]?.

[f(?(x))]'表示对复合函数f(?(x))关于自变量x求导，故 [f(?(x))]'?f'(u)u'?f'(?(x))?'(x)?(3) y?'11?u22x?2x1?x4.

sin2x',求y. 2x2cos2x?x2?sin2x?2xcos2xsin2x?2(?). 解 y?423xxx(4) 解

y?fsin2x?sinf2?x?, 求 y'.

y'?f'(sin2x)?2sinxcosx?cosf2(x)?2f(x)f'(x)?f(sinx)sin2x?2f(x)f(x)cosf(x).'2'2??

(5) 设y?f?lnx?ef(x)，其中f?x?是可微函数，求 dy.

解 运用一阶微分形式不变性直接计算.

dy?df(lnx)?ef(x)?f(lnx)def(x)1?f'(lnx)?dx?ef(x)?f(lnx)ef(x)f'(x)dx

x1?ef(x)[f'(lnx)?f'(x)f(lnx)]dx.x(6) 设y?1?xexy, 求y'x?0,y\x?0.

解 由隐函数求导法，得

exy(1?xy); y?e?xe(y?xy), 即y?2xy1?xe'xyxy''所以 y'x?0,?y'x?0y?1?1.

再由隐函数求导法，得

y\?exy(y?xy')?exy(y?xy')?xexy(y?xy')2?xexy(y'?y'?xy\),

为求出y\(0), 代入y'(0)?1, 及x?0,y?1,有

y\(0)?2?1(1?0)?0?0?2.

?x2e?x, |x|?1?(7)设 f?x???1 ，求f'(x).

| x|?1?, ?e解 当|x|>1时, f(x)?()?0;

当|x|<1时, f'(x)?(x2e?x)'?2x(1?x2)e?x; 对于x?1及 x??1要用定义来讨论.

222'1e'f(?1?h)?f(?1)(?1?h)2e?(?1?h)?e?1'f?(?1)?lim?limh?0?h?0?hh1(1?2h?h2)e2h?h?11e2h?h?12h?h2?lim?lim[(?2?h)e?] ?h?0?eh?0heh1?(?2?2)?0;ef(?1?h)?f(?1)e?1?e?1f(?1)?lim?lim?0; ?h?0?h?0hh'?222所以，f(?1)?0.

'??2x(1?x2)e?x, |x|?1''类似可求出f(1)?0, 于是f?x??? .

? | x|?1?0, 2?x?t2?2t4．设函数y?y(x)由参数方程?确定，求曲线y?y(x)在x?3处的法线与x

?y?ln(1?t)轴交点的横坐标.

解 利用参数方程求导法, 得

dy1dydt1??1?t?. 2dxdx2t?22(t?1)dt

令x=t2?2t?3, 得t?1(t?-3 舍). 故

dy1?, 所以，过x?3处的法线方程为y?y0??8(x?x0)， dxt?18其中x0?3,y0?ln2， 即 y??8x?24?ln2，

上式令y?0，得8x?24?ln2，即x?5． f(x)=ex(x2?2x?2)，求 f(n)1ln2?3. 8(x).

解 f'(x)?exx2?2x?2?ex(2x?2)?ex(x2?4x?4),

??f\(x)?exx2?4x?4?ex(2x?4)?ex(x2?6x?8), f'''(x)?exx2?6x?8?ex(2x?6)?ex(x2?8x?14),

用数学归纳法可证

????f(n)(x)?ex[x2?2(n?1)x?n2?n?2].

解 利用参数方程求导法, 得

dy1dydt1??1?t?. 2dxdx2t?22(t?1)dt

令x=t2?2t?3, 得t?1(t?-3 舍). 故

dy1?, 所以，过x?3处的法线方程为y?y0??8(x?x0)， dxt?18其中x0?3,y0?ln2， 即 y??8x?24?ln2，

上式令y?0，得8x?24?ln2，即x?5． f(x)=ex(x2?2x?2)，求 f(n)1ln2?3. 8(x).

解 f'(x)?exx2?2x?2?ex(2x?2)?ex(x2?4x?4),

??f\(x)?exx2?4x?4?ex(2x?4)?ex(x2?6x?8), f'''(x)?exx2?6x?8?ex(2x?6)?ex(x2?8x?14),

用数学归纳法可证

????f(n)(x)?ex[x2?2(n?1)x?n2?n?2].

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