求阴影部分的面积

如何利用平移变换解决问题（二）

一、教学目标：

1、知识与技能：使学生能够利用平移变换解决有关周长和面积的计算问题；

2、过程与方法：在研究问题的过程中培养学生的直观感知能力和归纳能力；

3、情感态度价值观：（1）体验数学知识是通过观察猜想和验证的过程，欣赏数学图形之美

（2）体验数学的学习是一个观察、猜想、归纳、验证的过程

二、重点与难点

1、重点： 平移变换的正确使用；

2、难点： 能对复杂图形进行恰当的平移变换是难点。

三、教学用具：计算机

四、教学过程

（一）课题引入

平移变换是图形变换的基础，利用平移的特征。

（二）分析问题和解决问题

1、运用平移解决周长计算问题

例1、如图2—1，多边形的相邻两边互相垂直，则这个多边形的周长为（ ）.

（A）21 （B）26 （C）

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（D）42

图1 图2

分析：图中只给出了一个底边的长和高，所以要从现有的条件入手.我们可以利用平移的知识来解决：把所有的短横线移动到最上方的那条横线上，再把所有的竖线移动到两条竖线上，这样可以重新拼成一个长方形（如右图2—2），可得多边形的周长为2×（16＋5）=42．

答案：选（D）．

教师总结：本题通过平移将未知线段的和转化到已知线段上去解决，使问题变得简单．

2、运用平移解决面积计算问题

例2、已知正方形ABCD的边长为10cm.E、F分别为AB、CD边的中点，以BC为直径作半圆，再以EF为直径作半圆与AD切于点G，则阴影部分的面积为_______cm2．

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图1 图2

分析：图中的阴影部分是一个不规则的图形，要想直接去求它的面积很困难，但是如果想到平移阴影部分的半圆，把它移到和下方的半圆重合，从而把阴影部分面积转化为一个矩形（正方形面积的一半）来解决，问题就变得简单多了．

答案：50cm．

教师总结：在求阴影部分面积时，我们可以根据条件，考虑利用平移变换把要求的不规则图形转换为规则图形来解决．

例3、如图4—1，某小区有一块长42米、宽20米的矩形草坪，现要在草坪中间铺设一横两纵三条等宽的甬道，若铺设后草坪的面积为760米，求甬道的宽．

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图1 图2

2分析：常规方法可设甬道的宽为x米，根据总面积减去空白部分的面积为760米，

可列方程：42 20 2 20x 42x 2x2 760，然后进行求解、检验、作答，但这样考虑很容易出现列式错误，如果利用平移变换来解决，将六块草坪通过平移变换拼接到一起变成一块新的矩形来考虑面积，问题就能变得简单（如图4-2）．

解：设甬道的宽为x米，则拼接后的整个草坪的长为(42 2x)米，宽为(20 x)米，可列方程：(42 2x)(20 x) 760

解得：x1 1，x2 41

经检验x2 41不符题意舍去，

答：甬道的宽为 1 米．

教师总结：本题利用平移变换，把分散的图形集中到一块

拼接成一个容易计算面积的规则图形.，使问题变得简单，若

本题的纵向两个甬道改为水平宽度处处相等的曲边形，如图

3，此时甬道的宽度又是多少呢？ 图3

当图形的形状不规则时，方法一不可行，而平移方法依然有效。由此可知利用平移变换解决问题有时不仅简便，而且还是必要的方法．

例4、、工人师傅手中有一个如图5-1所示的零件，他为求出此零件的表面积。采取了如下的方法：

第一步：连结两圆的圆心O1O2；

第二步：作大圆的弦AB，使得弦AB与⊙O2的相切，且AB//O1O2；

第三步：测量弦AB的长为12；

2

据此他就求出了此零件的表面积，你知道他是怎样求的吗？表面积是多少？

图5-1 图5-2 图5-3

分析：要求出表面积，应该要用大圆面积减去小圆面积，但是现在不知道两圆的半径分别为多少，感觉缺少条件，但是如果我们将小圆进行平移，使得两圆圆心重合，这时利用垂径定理构造出直角三角形，并由勾股定理将两圆半径的平方差进行整体代换，即用已知弦长的一半的平方来表示，从而巧妙地求出表面积来．

解答：将⊙O2沿直线O1O2平移，使得点O2和点O1重合，如图5-3所示，

作OC⊥AB于C，连结OA

则AC BC 1AB 6 2

在Rt△AO1C中，有：O1A2 O1C2 AC2

则S阴影 （O1A2 O1C2） AC2 36

教师总结：利用平移变换将图形转移到特殊位置，用整体代换的方法，能巧妙地解决问题．

（三）课堂练习：

1、如图，是一块矩形ABCD的场地，长AB＝102m，宽AD＝51m，从A、

B两处入口的小路宽都是1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草

坪，则草坪面积为 ．

2、AB是圆O的直径，其长为6，它的三等分点分别为C与D，在AB

的两侧以AC、AD、CB、DB为直径分别画圆，如图所示。这四个半圆

将原来的圆分成三部分，其中阴影部分面积为_____________．

3、如图，图中的长方形的长和宽均分别为a,b．

将图1中线段A1A2向右平移两个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1，将图2中折线A1A3A2向右边平移两个单位到B1B3B2，得到封闭图形A1A3A2B2B3B1．

图1 图2

（1）请你在图3中类似的画一条有两个折点的折线，同样向右平移两个单位从而得到一个封闭图形，并用斜线划出阴影；

3

图3 图4

（2）请你分别写出上述三个图形的除去阴影部分后剩余部分的面积；

（3）在一块长方形草地上有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是2个单位），如图4，请你猜想草地面积一共是多少？

（四）课堂总结

请大家结合本节课的学习，谈谈你的收获和体会？

五、教学反思

“数学课程标准”指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。下面我对在实践本节课中出现的不足及今后的改进方法进行总结：

本节课是在初三总复习中所上的一节专题复习课，问题设计对于学生来讲并不太难，下面我就针对本节课的优点以及教学中的不足进行一下分析。

（一）成功的地方

1.本节课让老师和学生积极互动起来，给学生足够的空间进行讨论，课堂气氛比较活跃，教学效果比较好。教师的角色发生了转变：学生是数学学习的主体，教师是教学过程中的组织者和引导者，是学生学习过程中的学习伙伴。

2小组合作学习基本上达到了全员参与，两个人或四个人一个小组讨论起来更具有时效性，尤其对于基础较弱的同学而言，组长基本上可以帮他讲明白，可以说是受益匪浅。

（二）不足的地方

1.上课时有些问题问得不太具体，学生不知道应该从哪些方面来回答。

2.学生有独立思考的环节，还进行了了小组讨论，最后在进行全班交流时，个别时候老师讲的有点细，学生已经讲明白的问题老师就可以不重复了，这样还可以节省时间，提高课堂效率。

（三）改进的方法

1.我们现在采取小组合作的教学模式，问题设计对于学生很重要，一份好的问题设计可以激发好孩子的进一步思考，可以在学习方法上对学生进行指导。在上课前可以和老师们讨

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论应该怎样设计问题，或者上网查找资料，争取把问题设计好。

2.在教学过程中，两个人或四个人一个小组进行讨论比较有实效性，一个学生（组长）完全可以给另一个学生（组员）讲明白，因此学生能够讲明白的问题老师就不要重复去讲，要相信学生的能力。

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