基于零极点配置的伺服控制器设计

　电气传动　2006年　第36卷　第1期基于零极点配置的伺服控制器设计　

基于零极点配置的伺服控制器设计

曹菁1,2　朱纪洪1

1.清华大学　2.江苏信息职业技术学院

Ξ

摘要:结合计算机控制技术和现代控制理论,,建立了稀土永磁无刷直流电机位置伺服系统的数学模型,,并采用

Matlab Simulink软件对伺服系统进行仿真,。,该控制器

模型可改善系统的跟踪性能。

关键词:ofControllerBasedonPole-zeroPlacement

CaoJing　ZhuJihong

Abstract:Combiningthetechnologyofcomputercontrolandthemoderncontroltheory,designtheoryandmethodofpole2zeroplacementcontrollerisintroduced.ThemathematicalmodelofREPMbrushlessDCmotorpositionservosystemisbuilt,thenacontrollerisdesignedbasedonthepole2zeroplacementmethodwithstate2space,andsimulationisdoneundertheMatlab Simulinkenvironment,atlast,thesystemtestisrealizedontheexperimentsystem.Thesimulationandexperimentalresultsshowthatthecontrollermodelcanimprovetrackperformanceofthesystem.

Keywords:brushlessDCmotor　servosystem　statefeedback　poleplacement

1　引言

近年来,由于稀土永磁无刷直流电机(BLD2

重量轻、控制结构简单、输出转CM)具有体积小、

矩大、可靠性高等优点,在航空航天、机器人、精密仪器仪表等对控制精度要求较高的领域得到了广泛应用。

从线性定常系统运动的分析中可知,

系统的稳定性和动态性能(如过渡过程中的超调量、过渡过程时间等)主要由系统极点的位置所决定,把闭环系统的极点配置到所希望的位置上,实际上等价于使综合得到的系统的动态性能达到期望的要求。输出反馈虽然在工程上较易实现,但由于输出往往不包含描述过程的全部状态,所以只能在小范围内改变极点的位置,不能任意地配置系统的全部极点。状态反馈是在输出反馈的基础上发展起来的,利用状态观测器可以对不能直接测量到的那些状态进行估计,采用状态反馈可以将系统

的全部极点配置在z平面期望位置上,从而可以达到改善系统性能的目的;同时,合理选择零点的位置,也可改善系统的跟踪性能,合适地配置闭环系统极点和零点的位置,才能使控制系统满足动态性能要求。

文中结合计算机技术和现代控制理论,设计了一种基于零极点配置的控制器,用于稀土永磁无刷直流电机位置伺服控制系统,该控制器结构简单,控制精度高,具有实用价值。

2　BLDCM位置伺服系统数学模型

的建立

以二相导通星形三相6状态为例,分析无刷电动机的数学模型。假设电机具有以下几种情况:

1)磁路不饱和,忽略磁滞、涡流损耗的影响,忽略高次空间磁势谐波的影响;

2)三相绕组完全对称,气隙磁场为方波,定子电流、转子磁场分布皆对称;

Ξ国家863高技术发展项目(2003AA755023)

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3)电枢绕组在定子内表面均匀连续分布;4)忽略齿槽、换相过程和电枢反应等影响;5)转子上无阻尼绕组,永磁体也不起阻尼

Ld=L-M

又由于ed=KeΞ　　Tm=KmidTm=J

作用。

根据三相绕组电路回路的电压平衡关系可列出下列微分方程:

ua

Rs

+Tl　　Ξ=dtdt

Rs

00

R

MML

iaib+iia

pib+[ea　eb　e

c]iT

　ub=

u00

LMM

MLM

(1)

式中:ud为加在电机两相绕组上的电压;id为导通相绕组中的电流;Km为转矩常数;Ke为电动势常数;J为折算到电机轴上的总的转动惯量;Tl为负载转矩。

,由于Ld<<,δx(t)(t)Bu(t)

y(t)=Cx(t)

式中:ua,

ub,uc,aib,ic,A,V;Rs,8;L为每相绕组的自感,H;M,H;p为微分算子,

p=d dt。

其中,状态变量x(t)=出量y(t)=Η。

01　

A=　B=

0-Tm

,输入量u(t)=ud,输

0NKeTm

　C=[1　0]

三相绕组为星形连接,且没有中线,则有

ia+ib+ic=0

(2)(3)(4)(5)

因此,可得

Mia+Mic=-MibMib+Mic=-MiaMia+Mib=-Mic

式中:N为减速机构的减速比;Tm为电机系统的

(KeKm)。机电时间常数,Tm=(RsJ)

设采样周期为T,离散化后的状态方程为

x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)y(k)=Cx(k)其中

F=e

AT

将式(2)～式(5)代入式(1),得到电压方程为

uaub=uRs

G=

∫

T

edtB

AT

C=[1　0]

0000

L-M

iaib+i

3　位置伺服系统控制器的设计

基于状态观测器的按极点配置设计的控制器通常有两部分组成。一部分是状态观测器,它根据所量测到的输出y(k)重构出全部状态xδ(k);另一部分是控制规律,它直接反馈重构的全部状态。由著名的分离性原理可知,控制器的设计可将控制规律和状态观测器的设计分开进行。图1为状态反馈控制系统框图。

0Rs000

L-M

0R00

L-M

iapib+ieae

be(6)

由于任意时刻只有两相导通,所以有

+ua-ub=Rs(ia-ib)+(L-M)

dt

(ea-eb)

ub-uc=Rs(ib-ic)+(L-M)

+dt

图1　状态反馈控制系统框图

(eb-ec)

+uc-ua=Rs(ic-ia)+(L-M)

dt

(ec-ea)

3.1　按极点配置设计控制规律L

由于三相绕组的对称性,令

ud=ua-ub=ub-uc=uc-ua

id=ia-ib=ib-ic=ic-iaed=ea-eb=eb-ec=ec-ea

按极点配置设计控制规律的关键在于如何根据系统的性能要求,合适地给定闭环系统的极点和求出反馈控制规律L。

假设控制规律反馈的是实际对象的全部状态,设控制对象的状态方程为

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x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)3.3　在控制器内引入参考输入使系统具有满意

其中,x∈Rn,u∈Rm。

控制规律为线性状态反馈,即u(k)=-Lx(k),设计反馈控制规律L,使闭环系统具有所需要的极点配置,由此得到闭环系统的状态方程为

x(k+1)=(F-GL)x(k)则其特征方程为

zI-F+GL =0

设闭环系统的极点为Κ1,Κ2,

则求得闭环系统的特征方程为

1)(z-Κ2)=0ac(z)=(z-Κ

所以,为获得所需要的极点配置,方程

I-=ac(L。

3.2K从工程应用角度来看,在实际系统中,测量所有的状态常常是不可能或不切实际的,状态反馈要求对所有的状态由理想的传感器测量,而实际的传感器有着有限的频带宽度,有时系统的状态不是实际的物理量,是不能测量的。因此,通常的方法是,设法找到一种算法,能根据所能量测到的输出量重构出全部状态,这种能够根据输出量来重构系统状态的算法称为观测器。按极点配置设计观测器的关键是合适给定观测器的极点和计算观测器矩阵增益K。

考虑到系统的状态变量中,Η为可测量的,故采用降维观测器。

控制对象为xa(k+1FaaFabxa(kGa

=+u(k)(()xbk+1

FbcFxbkG(7)xa(ky(k)=[I　0]

xb(k)

式中:xa(k)为能够测量的部分状态;xb(k)为需要重构的部分状态。

控制器方程为

xδb(k+1)=Fbbxδb(k)+Fbaxa(k)+Gbu(k)+

K[xa(k+1)-Faaxa(k)-δGau(k)-Fabxb(k)]

δu(k)=-Laxa(k)-Lbxb(k)假设要求状态重构能以最快的速度跟随实际

的状态,可将观测器特征方程的根配置在原点,即让Αe(z)=z,根据式 zI-F+K

C =Αe(z),可方便地计算出K。50

的动态和静态跟踪性能

引入参考输入后,使系统除了有输出量的反馈控制外,还包含有参考输入的前馈控制,反馈控制主要用来改变系统的极点,以使系统具有满意的稳定性和调节性能,前馈控制主要用来改变系统的零点,使系统具有满意的跟踪响应性能。

设M,N,则控1)=cxc(+Mr(k)

(8)

()()kCccNrk,可得对应的转换关系为Fc=Fbb-GbLb+KGaLb+KFab

Gc=Fba-GbLa-KFaa+KGaLa+FcK

Cc=-L

b

参考输入的引入方式有多种,这里采用任意选择M,N,使闭环系统具有要求的零点位置,以满足系统对静态精度的要求。

{=M 1)根据零点配置选择M研究结果表N。明,系统的性能不仅与极点有关,而且与零点也密

切相关。极点可以配到希望的位置,但整个系统的动态性能会因不可控零点的影响而达不到设计的要求。故为了使系统有更好的性能指标,必须研究闭环极点和零点的联合配置,以获得满意的控制效果。为了便于分析系统的零、极点,将系统的结构图表示成如图2所示的传递函数形式。

图2　跟踪系统的结构图

设电机系统的传递函数为

G(z)=C(zI-F)

-1

G=

A(z)

由式(8)可求得

D1(z)=U1(z) R(z)　　　　

=Cc(zI-Fc)-1M+N=B1(z) A1(z)D2(z)=Y(z) U2(z)　　　　

=Cc(zI-Fc)-1Gc+Dc

=B2(z) A2(z)

(9)

(10)

则闭环系统的传递函数为

H(z)=Y(z) R(z)

=

A(z)A2(z)-B(z)B2(z)

(11)

　基于零极点配置的伺服控制器设计

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可见,根据闭环系统性能的要求合理配置输入前馈函数D1(z)的零点,可使系统有满意的跟踪性能及稳态精度。

设由性能指标要求,将零点配置在z=z1

处,则

B1(z)=z-z1则有其中

{M=

δ)L

=-B1(FNLFF=F-GL-KC

-1

0　图4　参考输入为阶跃函数　图5　参考输入为正弦函数

时的仿真曲线时的仿真曲线

(12)(13)

δ

2)根据静态增益选择N。由闭环系统静态增益

的要求来确定N,对于跟踪系统,输入稳态无误差,即满足:lim(→1

调试,所示。仿真及,

,系统无超调,有较好的动态和静态跟踪性能。

式(13)可得H(z),1,G(1=,则可求得

-1N=-1Cc(I-Fc)M+1

(14)

　图6　参考输入为阶跃函数　图7　参考输入为正弦函数

时的实际试验波形时的实际试验波形

由式(9)、式(10)、式(12)可求得M、前馈控制

的传递函数D1(z)和反馈控制的传递函数D2(z)。

4　仿真与实验结果

如图3所示,在Matlab Simulink环境下搭建仿真模型,将基于零极点配置控制器应用在无刷直流电机伺服系统中进行仿真。系统参数为:电机额定电压Ud=24V,空载转速n0=5900r min,定子相绕组电阻Rs=0.658,转动惯量J=0.085

2

kg m,定子相间电感Ld=0.34mH,转矩常数

5　结论

采用基于零极点配置的伺服系统控制器,通过合理选择零极点位置,可以使闭环系统既具有较高的增益来减小静态误差,又可以使系统具有满意的极点位置而稳定工作,有效地解决了静态与动态之间的矛盾,同时使系统具有较好的起动性能和较强的抗干扰能力。

参考文献

1　孙增祈.计算机控制理论及应用[M].北京:清华大

Km=38.2mN m A。考虑到实际系统中电源电

压为24V,故在控制量后加了限幅环节,系统仿真框图如图3所示。图4、图5分别为参考输入为阶跃函数和正弦函数时的仿真曲线

。可以看出,无刷直流电机伺服系统在阶跃输入下有很快的响应速度,在正弦输入下有较强的位置跟踪能力。

学出版社,1992

2　薛定宇.反馈控制系统与设计-MATLAB语言应用

[M].北京:清华大学出版社,2004

3　PillyP,KrishmanR.Modeling,SimulationandAn2alysisofPermanent2magnetMotorDrive.Part :.onIn2TheBrushlessDCMotorDrive.IEEETrans

～279dustryApplication,1989,25(2):274

收稿日期:2005203203

图

3

　Matlab Simulink系统仿真框图

修改稿日期:2005209218

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/l161.html