排列组合知识点和例题

1．分类计数原理: 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法， ，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= n1+n2+n3+ +nM种不同的方法．

2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法, ,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1·n2·n3· nM 种不同的方法．

注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。

3. 排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元．．．．．．素的一个排列.

排列数的定义: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n

m个不同元素中取出m个元素的一个排列数， 用符号An表示. 其中n，m∈N，并且m≤n．

m 排列数公式: An n(n 1)

(n m 1)

n!

(m≤n,n,m N)

(n m)!

当m=n时，排列称为全排列，排列数为

n

=n (n 1) An

2 1 记为n!, 且规定O!=1.

mm 1

注：n n! (n 1)! n! ; An nAn 1

4. 组合的定义: 从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 组合数的定义: 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示.

m

An! 组合数公式: C n n(n 1)(n m 1) . Amm!m!(n m)!m

m

n

m

规定Cn

1，其中m，n∈N+，m≤n.

注: 排列是“排成一排”，组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序. 组合数的两个性质: ①C

mn

因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法 Cn mn; 从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，

是一一对应的，因此是一样多的. ②C

m 1

n

m

Cmn Cn 1 根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存

在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有Cn种，依分类原理有C

m

m 1mm

n Cn Cn 1.

m 1

n，如果不取这一元素，则

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5．解排列、组合题的基本策略与方法 (Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法： ①直接法; ②排除法;

③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;

④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”. ⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.

⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有Ann种，m(m n)个元素的全排列有Amm种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元

素排成一列，其中m个元素次序一定，共有

AnnAmm

种排列方法.

(Ⅱ)排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略； ②合理分类与准确分步策略；

③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）； ④正难则反，等价转化策略； ⑤相邻问题插空处理策略； ⑥不相邻问题插空处理策略； ⑦定序问题除法处理策略；

⑧分排问题直排处理的策略； ⑨ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑩构造模型的策略.

1.1两个计数原理(1)

例1、某班共有男生28名，女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会。 （1）若学校分配给该班1名代表，有多少不同的选法？

（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女代表各一名，有多少种不同的选法？ 解： 练习1、乘积

例2（1）在下图（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？ （2）在下图（2）的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？

a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 c5 展开后共有多少项？

（1）

解：

（2）

例3、为了确保电子信箱的安全,在注册时通常要设置电子信箱密码.在网站设置的信箱中, （1）密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的 密码共有多少个?

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（3）密码为4～6位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的 密码共有多少个? 解：

例4、用4种不同颜色给下图示的地图上色， 要求相邻两块涂不同的颜色， 共有多少种不同的涂法？ 解：

一、选择题

1．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（ ）．

（2）密码为4位,每位是0到9这10个数字中的一个,或是从A到Z这26个英文字母中的1个,这样的密码共有多少个?

1）

（3） 4）

（2）

A． 种 B． 种 C． 种 D． 种

2．将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（ ）．

A．种 B． 种 C．18种 D．36种

3

．已知集合 ， ，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（ ）． A．18 B．10 C．16 D．14

4．用1，2，3，4四个数字在任取数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和共有（ ）． A．8个 B．9个 C．10个 D．5个

1．由数字2，3，4，5可组成________个三位数，_________个四位数，________个五位数． ２．用1，2，3 ，9九个数字，可组成__________个四位数，_________个六位数．

３．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有_______种不同的选法．要买上衣、裤子各一件，共有_________种不同的选法．

４．大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的面标着的两个数字之积不小于20的情形有_______种． 三、解答题

1．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，能得到多少个不同的对数值？ 2．在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多少个？

2.用1，2，3，4，四个数字组成没有重复数字的四位数，所有四位数的数字之和是（ ） A. 10 B.24 C.240 D.60

3.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ ） A.25 B.26 C.36 D.37

4.某城市的电话号码由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话门数是（ ）

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A. 9×8×7×6×5×4×3 B.8×96 C.9×108 D.81×105

5.将3名大学生分配到4个不同的工厂去实习，每厂接受的名额不限，总的分配方案数是（ ） A.3+4 B.3×4 C.34 D.43

6.已知集合A={a,b,c,d},B={x,y,z}，则从集合A到集合B的不同映射个数最多有（ ） A.3+4 B.3×4 C.34 D.43

7．有不同的中文书9本，不同的英文书7本，不同的日文书5本，从中取出不是同一国文字的书2本，共有同的取法. 8．集合

A {1,2, 3}，B { 1, 2,3,4}，从A,B中各取一个元素作为点P(x,y)的坐标，

（1）可以得到 个不同的点.（2）这些点中，位于第一象限的有 个.

9．有三个车队分别有5辆、6辆、7辆车，现欲从其中两个车队各抽调一辆车外出执行任务，共有方案.

10．某巡洋舰上有一排四根信号旗杆，每根旗杆上可以挂红色、绿色、黄色三种信号旗中的一面（每根旗杆必须挂一面），则这种信号旗杆上共可发出 种不同的信号.

11．四名学生争夺三项比赛的冠军，获得冠军的可能性有种. 12．用0，1，2，3，4，5可组成个无重复数字的三位偶数. 13.72所有不同的正约数的个数有 个。

14. 现要排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？

15.现有一袋，袋中装有有一角纸币4张，一元纸币3张，五元纸币3张，50元纸币4张，从袋中任意取纸币，至少取一张，共可取多少种不同的币值结果？

16．某座四层大楼共有三个大门，楼内有两个楼梯，那么由楼外到这座楼内的第四层的不同走法种数有多少？

1.从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有三个班车，则从甲地到乙地，不同的乘车法有（ ）

A.12种 B.19种 C.32种 D.60种A.2个 B.6个 C.9个 D.3个

3.有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有（ ）

A.34

2.若x∈｛1，2，3｝，ｙ∈｛5，7，9｝，则x·y的不同值有（ ）

B.43 C.4×3×2 D.44 B.45 C.5×4×3×2 D.5×4

4. 5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是（ ）

A.54 5.集合M=

1,2,3 的子集共有（ ）个

B.7

C.6

D.5

A.8 6.设集合A=

1,2,3,4 ，B= 5,6,7 ，则从A集到B集所有不同映射的个数是（ ）

C.12

D.以上都不正确

A.81 B.64

7.某班三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一名学生去领奖，共有________种不同的选派方法；从中选一名男生一名女生去领奖，则共有_________种不同的选派方法

.

8.从1到10的所有自然数中任取两个相加，所得的和为奇数的不同情形有___种. 9. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有. 10. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有. 11. 乘积（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有 项.

12．某校信息中心大楼共5层，一楼和二楼都有4条通道上楼，三楼有3条通道上楼，四楼有2条通道上楼，那么一人从

一楼去五楼，共有 种不同的走法.

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