信息光学导论第三章

第三章

线性系统概论

◆引言

在信息光学系统中光学装置被看成收集、传递或变换信息的系统。一个光学系统的理想成像，就是将无空间的物体信息传递、变换物空间，在像面上形成不变的物体的像。这样的理想光学系统显然是一线性系统。虽然实际光学成像系统由于不可避免的存在相差，总会产生失真，是非线性的，但在把研究的问题看成线性的而不会引起明显误差，或只在某个小范围满足现行性质时，就可以将其当作现行未提来处理。所以线性系统理论与傅立叶分析方法一样，是研究信息光学中成像系统和信息处理系统的重要理论基础。本章主要介绍线性系统特别是空间不变线性系统的定义、特点和分析方法。 3.1线性系统的基本概念

◆系统及其分类 所谓系统，是指一组相互关联的事物构成的总体。这样的系统可分为物理系统和非物理系统。这里仅讨论物理系统。

如图所示一个物理系统，它是这样的装置，当对其作用一个激励时，他就产生一个响应。 从数学上着眼，很多现象都可抽象为使函数f(x)通过一定的变换，形成g(x)函数的运算过程．这种实现函数变换的运算过程称为系统．这种意义下的系统，既可以是特定功能的 元器件组合，例如电子线路、光学透镜组等，也可以是与实际元件无关的物理现象，如光学系统，通讯系统，管理系统和指挥系统等。

系统论的引入，使得我们在研究一个光学系统时，所关心的是系统对于给定的激励产生什么样的响应，而不去考虑系统内部的具体结构和具体工作原理。线性系统理论是从总体上研究系统输入输出之间的对应关系和他们的共同特性。

◆线性系统的定义及其算符表示

假设一个激励f1(x)作用于某系统产生的响应为g1(x)，而激励f2(x)作用于某系统产生的响应为g2(x)，用符号表示为

f1(x)?g1(x),f2(x)?g2(x)

如果系统满足可加性

f1(x)?f2(x)?g1(x)?g2(x)

和奇次性（均匀性）

c1f1(x)?c1g1(x),c2f2(x)?c2g2(x)

则这样的系统为线性系统。c1,c2为任意常数。

可加性表明，有几个激励函数相加产生的总响应是各个激励单独作用时产生的响应函数之和；奇次性（均匀性）表明，系统有保持比例因子不变的特性。可加性和奇次性是线性系统两个独立性质。只有同时满足这两个性质的系统才是线性系统，两者缺一不可。

描述输入输出之间的数学方程是把一个激励转换为系统的一个响应，这种转换可用一个

算子表示为

g(x)?L{f2(x)}

对于线性系统，则有

c1g1(x)?c2g2(x)?L{c1f1(x)?c2f2(x)}

◆线性不变系统

对于一个系统，一个输入函数f(x)在不同位置（空间域）或不同时间（时间域）作用于系统，他的响应函数g(x)不一定相同。也就是说，如果激励函数在x1,x2分别作用于系统，其响应为g1(x,x1),g(x,x2)，一般为x,x1,x2的函数，且函数的形式也不一定相同。

如果一个系统当输入函数的位置移动时，输出函数的形状不变，其输出函数的位置仅产生相应的移动，则这样的系统为位移不变系统。即若

g(x)?L{f2(x)}

则

g(x?x0)?L{f2(x?x0)}

x0为常数。

一个系统既是线性的，又是位移不变的，则这样的系统称为线性位移不变系统（空不变系统），用算符表示为

c1g1(x?x1)?c2g2(x?x2)?L{c1f1(x?x1)?c2f2(x?x2)}

x1,x2为常数。

3.2线性系统分析方法

线性系统的最基本特点就是它对同时作用的几个激励函数的相应等于每个激励函数单独作用时所产生的相应之和。根据这一原理，就可以把线性系统对任意复杂激励的响应用它的某种“基元”的响应表示出来。因此，对线性系统的研究就可以简化为系统对基元函数的响应，而系统对任意函数的响应可用基元函数相应的线性组合来表示。线性系统理论中常用的基元函数有?函数，阶跃函数，正、余弦函数以及复指数函数等。

(1)线性基元函数的响应 ◆脉冲响应

当系统输入一个用?函数表示的脉冲时，其对应的输出称为系统的脉冲响应。如果线性系统对位于x?x0出的输入脉冲?(x?x0)的响应用h(x,x0)表示，即

L{?(x?x0)}?h(x,x0)

那么，在原点的脉冲输入?(x)，其输出为

L{?(x)}?h(x,0)

一般来说，h(x,x0)和h(x,0)具有不同的函数形式。但对于线性不变系统，由于位移不变形，

它对x?x0出的输入脉冲?(x?x0)的响应用可以写成

L{?(x?x0)}?h(x,x0)?h(x,0)

可见，线性不变系统的脉冲响应仅由观察点x与输入点x0间的间隔决定，而与x、x0单独

无关。因此，线性不变系统得脉冲响应可以简化为

L{?(x?x0)}?h(x,?x0)

和

L{?(x)}?h(x)

对于不同的线性系统，脉冲响应的具体表达式不同，分析一个系统，就是求出具体的脉冲响应函数表达式。

◆复指数函数的响应

当线性不变系统输入为复指数函数e?2? f0x时，?(x?x0)

L{e?2? f0x}?g(x,f0)

式中f0为任意实参数。若输入为位移形式e?2? f0(x?x0)，则由线性性质可得

L{e?2? f0(x?x0)}?L{e?2? f0x}L{e2? f0x0}?e2? f0x0g(x,f0)

由位移不变性得到

L{e?2? f0(x?x0)}?g(x?x0,f0)

因此有

g(x?x0,f0)?e2? f0x0g(x,f0)

函数g(x?x0,f0)是g(x,f0)位移形式，它们一般是复函数。

把g(x,f0)表示成复数形式

g(x,f0)?H(x,f0)e?i? (f0,x)

其中H(x,f0)和?(x,f0)分别为g(x,f0)的振幅函数和相位函数。并由此得到

g(x?x0,f0)?H(x?x0,f0)e?i? (f0,x?x0)) g(x?x0,f0)H(x?x0,f0)e?i? (f0,x?x0)?i2? f0x0 ??e?i? (f0,x)g(x,f0)H(x,f0)e即

?H(x?x0,f0)?1 ? ?H(x,f0)???(x?x0,f0)??(x,f0)?2?f0x0 分析上式可见，复指数函数激励在不同点作用于线性不变系统所产生的响应函数振幅处处相等，因此振幅函数必然与x无关，仅与参量f0有关；而又不同点输出的相位函数的增

量为一常量，这说明相位函数是为之x的线性函数。因此，输出函数g(x,f0)应具有的形式为

g(x,f0)?H(f0)ei2? f0x

对线性不变系统有

L{ei2? f0x}?H(f0)ei2? f0x

显然，线性不变系统的输入为复指数函数时，输出也为复指数函数，输出函数的形式不变，只有振幅的变化。这种输出保持输入形式不变的函数称为系统的特征函数，线性不变系统的特征函数就是复指数函数。

一般来说，如果一个线性不变系统的特征函数为?(x,f0)，当系统的输入也是时，则对应的输出为

?(x,f0)L{?(x,f0)}?H(f0)?(x,f0)

H(f0)为一复比例稀疏，它表示系统特征函数所对应的输出与该特征函数之比，而与空间位置x无关，仅取决于参量f0的大小。它可用复数形式表示为

H(,f0)?A(f0)e?i? (f0)

式中A(f0)为复振幅，表示输出函数的衰减或增益；?(f0)为位相，表示输出函数沿轴x位移量的大小。这样

L{?(x,f0)}?A(f0)e?i?(f0)?(x,f0)

众所周知，复指数函数e?2? f0x是正、余弦函数sin2? f0x和cos2? f0x的一种表示形

式。显然，参量f0表示频率。由于f0取值的任意性，实际上它是频率变量。因此复比例常数表征系统对特征函数的传递特性。通常把H(f)称为线性不变系统的传递函数（频率响应），而把A(f)和?(f)称为振幅传递函数和相位传递函数。

◆余弦函数的响应

当线性不变系统的传递函数H(f)是厄米函数时，即H(f)?H(?f)时，系统对余弦函数的响应仍为余弦函数。设输入函数为cos2? fx，则输出为

?1L{cos2?fx}?L{(ei2? fx?e?i2? fx)}21 ?[H(f)ei2? fx?H(?f)e?i2? fx]211 ?[H(f)ei2? fx]?[H(f)ei2? fx]?

221 ?A(f)[ei?(f)ei2? fx?e?i?(f)e?i2? fx]2?(f) ?A(f)cos[2?f(x?)]2?f这表明，满足一定条件的线性不变系统，当输入为余弦函数时，其输出仍为同频率的余弦函数，只不过输出的振幅为A(f)，且产生一个相移?(f)/2?f。

（2）线性系统的空间域和频率域的分析方法

线性系统的分析方法一般分为空间域和频率与分析方法，他们都是建立在叠加原理基础上的。

◆空间域的分析方法

空间域分析方法的要点是用一个空间变量函数，即脉冲响应函数h(x)来表征系统的特性的。对任一复杂函数f(x)，用脉冲分割法将其分为基元函数的组合，这些基元函数可用

?(x)函数来表示。各基元相应的线性组合就是f(x)的响应g(x)。

对于一个实际的线性系统，脉冲响应函数h(x)应满足

????h(x)dx??这一条件对系统的要求是：当输入函数有界时，输出函数必须有界。

设一个复杂的输入函数f(x)可以近似表示为如图所示的n个窄脉冲之河。我们考虑第

i个窄脉冲，该脉冲坐标为xi，宽度为?xi，高度为f(xi)，该脉冲的面积为f(xi)?xi。当

?xi?0时，f(xi)就是强度等与脉冲面积的?函数，而该?函数位于x?xi处，即

fi(x)?f(xi)?xi?(x?xi)

这样输入函数就可以分解为?函数的组合

f(x)??fi(x)??f(xi)?xi?(x?xi)

ii当上式所示的输入作用于系统时，由线性系统的其次行可得其输出gi(x)为脉冲响应的

f(xi)?xi倍，即

gi(x)?f(xi)?xih(x,xi)

若系统为线性不变系统，则

gi(x)?f(xi)?xih(x?xi)

由叠加原理，f(x)对应输出g(x)分别为

?g(x)??gi(x)??f(xi)?xih(x,xi)?ii ??g(x)??gi(x)??f(xi)?xih(x?xi)ii?令?xi?0，n??，应用h(x)满足的条件，上两个和式的极限变为下列积分

???g(x)??f(xi)h(x,xi)dxi??? ??g(x)?f(xi)h(x?xi)dxi???以上讨论表明：对于线性系统，任何复杂激励的相应都是输入函数和脉冲响应函数乘积的计分；对于线性不变系统，任何复杂激励的相应都是输入函数和脉冲响应函数的卷积，即；

g(x)?f(x)?h(x)

◆频率域的分析方法

频率域的分析方法仅适用线性不变系统。频率域分析方法的要点是用一个频率变量函数，即系统传递函数H(f)来表征系统的特性的。用频谱的分析方法（傅里叶变换）将激励函数f(x)分解为各种频率余弦或复指数函数的线性组合，由于复指数函数的相应等于该函数与传递函数H(f)的乘积，把所有这些相应叠加，就得到f(x)的响应函数g(x)。

①输入为简单的简谐函数

一个单一频率的无限波列可表示为

f(x)?F(f)ei2? fx

式中F(f)为复振幅。系统对该输入所产生的输出为同频率的简谐波，即

g(x)?H(f)F(f)ei2? fx?G(f)ei2? fx

其中G(f)为输出简谐波的复振幅，且

H(f)?G(f) F(f)上式表明，线性不变系统的传递函数H(f)是输出与输入简谐波的复振幅之比，它反映了系统对输入信号的传递能力。

②输入为周期函数

设输入的周期函数f(x)满足狄里希利条件，则可展开为傅里叶级数

f(x)?i????cei?i2? nfx

式中f为函数f(x)的基频。对输入的n次谐波分量fn(x)?cnei2? n f x，对应的输出为

gn(x)?G(nf)ei2? n f x?cnH(nf)ei2? n f x

总输出为所有输出分量的叠加

g(x)?n????cH(nf)ei?i2? nfx

显然，对不同的谐波频率nf，线性不变系统的传递函数H(nf)有不同的值，它反映了系统对不同频率输入信号的传递能力不同。这是线性不变系统的响应特性。

②输入为非周期函数

设输入的非周期函数f(x)的傅里叶变换存在，则f(x)可表示为

?i2? f xf(x)????F(f)edf

即分解为频率f连续变化的谐波分量之和，相应与频率为f的谐波振幅为F(f)df。对应输入f(x)的输出为

??i2? f xg(x)????H(f)F(f)edf??G(f)ei2? f xdf

??式中G(f)为输出函数g(x)的频谱（傅里叶变换），且

H(f)?或

G(f) F(f)G(f)?F(f)H(f)

上式表明，线性不变系统输出的频谱等于系统的传递函数与输入频谱的乘积。这也给出了求具体线性不变系统传递函数的方法。

（3）线性不变系统传递函数与脉冲响应的关系

对线性不变系统，由空间域分析的结果有：当输入为?函数时，他输出就是脉冲响应

h(x)；其输入函数的频谱为

?F(f)???(x)e?i2? f xdx?1

??由频率域分析可知，输出函数的频谱为

G(f)?F(f)H(f)?H(f)

对上式进行傅里叶逆变换，得到输出函数

?g(x)?h(x)????H(f)ei2? f xdf

可见，对于线性不变系统，脉冲响应h(x)与传递函数H(f)构成了一个傅里叶变换对。

3.3复合系统的传递函数

实际工作中遇到的系统可能很复杂，但是我们可以把它看成是两个或两个以上的独立系统的组合，这样可以使问题的分析、解决大大简化。本节讨论这样的复合系统，并假设构成复杂系统的每一个独立系统都是线性不变系统。无论复合系统的连接多么复杂，其不外乎串联、并联和反馈三种形式。

◆串联系统

设有两个线性不变系统1和2，其脉冲响应分别为h1(x)和h2(x)，传递函数分别为

H1(f)和H2(f)，构成如图所示的串联系统。

H(f)

F(f)G(f)G1(f) H1(f)H2(f)

串联系统的特点是第一个系统的输出就是第二个系统的输入，第二个系统的输出则是复合系统的输出。因此，由空间域分析方法可知，第一个系统的输出为

?g1(x)?第二个系统的输出为

????f(?)h(x??)d?

1??g(x)?g2(x)????g(?)h(x??)d????f(?)h12????12(???)h2(x??)d?d?

对上式进行傅里叶变换，应用卷积定理得到串联系统输出的频谱

G(f)?F(f)H1(f)H2(f)?F(f)H(f)

因此，串联系统的传递函数等于两个独立系统传递函数的乘积。相应的调制传递函数和相位传递函数分别为

A(f)?A1(f)A2(f)?(f)??1(f)??2(f)

以上结论推广到n个线性不变系统组成的串联系统，其传递函数、调制传递函数和相位传递函数分别为

n??H(f)??Hi(f)i?1?n??A(f)??Ai(f)

i?1?N??i(f)??(f)??I?1?◆并联系统

如图所示为两个独立的线性不变系统并联，两独立系统的传递函数分别为

H(f)H1(f)F(f)G1(f)G(f)?H2(f)G2(f)H1(f)?G1(f)G(f) H2(f)?2 F(f)F(f)由于G(f)?G1(f)?G2(f)，因此并联复合系统的传递函数为

H(f)?G(f)G1(f)?G2(f)??H1(f)?H2(f) F(f)F(f)即并联系统的传递函数等于各独立系统传递函数的代数和。如果把并联地方出现的负号包含

在各独立系统的传递函数中，则n个独立系统并联后的传递函数为

H(f)??Hi(f)

i◆反馈系统

反馈系统的原理如图所示。其中?分别表示正、负反馈。显然，正向通路的传递函数

H1(f)和反馈通路的传递函数H2(f)分别为

H(f)

F(f)?F1(f)H1(f)G(f)G2(f)H2(f)H1(f)?

G(f)F1(f) H2(f)?G2(f)

G(f)而 F1(f)?F(f)?G2(f) 即 F(f)?F1(f)?G2(f) 因此反馈系统的传递函数为

H(f)?分子分母同除以F1(f)，经简化得

G(f)G(f) ?F(f)F1(f)?G2(f)H(f)?H1(f)

1?H1(f)H2(f)以上所讨论的几种复合系统在信息光学中有广泛的应用。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/l0xd.html