1.3算法案例（二）

基础教育课程改革实验学科教案 教学1.3.2 秦九韶算法 内容 教学目标 备课时间 年 月 日 体现知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观 〖知识与技能〗 1.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质； 2.在学习中国古代数学中的算法案例的同时，进一步体会算法的特点； 〖过程与方法〗 模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献. 〖情感态度与价值观〗 通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。 教学理解秦九韶算法的思想 重点 教学 准备 时间 教学过程 一、复习： 上节课我们学习了求两个正整数的最大公约数的两种算法：辗转相除法和更相减损术，请问：这两种算法有哪些共同点？有哪些不同点？ 二、新课引入 问题： 初中阶段我们已经学过了多项式的相关计算，下面我们计算一下多项5432式f(x)?2x?5x?4x?3x?6x?7当x?5时的值？ 学习难点 用循环结构表示秦九韶算法的步骤 设计意图 通过大家的动手操作，请问，你有什么感觉？若要解答出本题，数一数，你一共做了多少次乘法运算，多少次加法运算？在你们的解答中，有没有比这个解答更简单一点的算法？（即乘法运算、加法运算相对较少） 学生尝试表达，教师引导：计算时采用前面的运算结果可以减少计算量：53?(52).5；54?(53).5；55?(54).5可以将乘法运算减少为9次，加法 运算减少为5次（自然引出标题） 二、新课讲解 1、秦九韶计算多项式的方法： f(x)?2x5?5x4?4x3?3x2?6x?7?(2x4?5x3?4x2?3x?6)x?7?((2x3?5x2?4x?3)x?6)x?7 ?(((2x2?5x?4)x?3)x?6)x?7?((((2x?5)x?4)x?3)x?6)x?7教师引导学生发现： （1）从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有五个“一次式”？x的系数依次是2,2x-5,(2x-5)x-4, ((2x-5)x-4)x+3, (((2x-5)x-4)x+3)x-6.这样，我们就把一个五次多项式的求值问题，转化为求五个一次多项式的问题 时间 教学过程 （2）比如：在引例中的求f(x) 当x?5时的值的问题，可以很快得到答案。（用了5次乘法，5次加法） （3）将变形前x的系数乘以x的值，加上变形前的第2个系数，得到一个新的系数；将此系数继续乘以x的值，再，加上变形前的第3个系数，又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项式的值，这种算法即是“秦九韶算法”。 尝试练习： 已知一个5次多项式为 设计意图 f(x)?5x5?2x4?3.5x3?2.6x2?1.7x?0.8，请用秦九韶算法求这个多项式当x?2时的值。 解答要求：先根据秦九韶算法写出该多项式的变形形式，然后将这个五次多项式转化为5个一次多项式的求值. 2、用秦九韶算法求一般的多项式 f(x)?anxn?an?1xn?1?????a1x?a0之值 先变形为：（???（anx?an?1)x?an?2)x?????a1)x?a0 然后由内向外逐层计算一次多项式的值。 教师引导学生思考： (1)把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题， v1?anx?an?1v2?v1x?an?2即求：v3?v2x?an?3 ???vn?vn?1x?a0(2)观察秦九韶算法的数学模型发现，计算vk时要用到vk?1的值，若v0?an?v?a0n令，我们可以得到下面的递推公式? v?vx?a(k?1,2,???n)?kk?1n?k这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。 算法步骤、程序框图、程序见教材P39. 3、课堂小结：秦九韶算法的特点及其先进性 4、作业布置： 教材：P45、2 补充：设计利用秦九韶算法计算5次多项式 f(x)?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x?a0当x?x0时的值的程序框图。

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