高三数学巩固与练习：三角函数的图象与性质

巩固

1．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调增区间为( )

A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈Z

B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z

C ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈Z

D ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z

解析：选C.由k π－π2

得单调增区间为? ??

??k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z . 2．(2009年高考四川卷)已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结

论错误的是( )

A ．函数f (x )的最小正周期为2π

B ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数

C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称

D ．函数f (x )是奇函数

解析：选D.∵y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，∴T ＝2π，A 正确；

y ＝cos x 在[0，π2]上是减函数，y ＝－cos x 在[0，π2]上是增函数，

B 正确；

由图象知y ＝－cos x 关于直线x ＝0对称，C 正确． y ＝－cos x 是偶函数，D 错误．

3．若函数y ＝2cos(2x ＋φ)是偶函数，且在(0，π4)上是增函数，

则实数φ可能是( )

A ．－π2

B ．0

C.π2 D ．π

解析：选D.依次代入检验知，当φ＝π时，函数y ＝2cos(2x ＋π)

＝－2cos2x ，此时函数是偶函数且在(0，π4)上是增函数．

4．函数y ＝12sin(π4－23x )的单调递增区间为________．

解析：由y ＝12sin(π4－23x )得y ＝－12sin(23x －π4)，

由π2＋2k π≤23x －π4≤32π＋2k π，k ∈Z ，得

98π＋3k π≤x ≤21π8＋3k π，k ∈Z ，

故函数的单调增区间为[98π＋3k π，21π8＋3k π](k ∈Z )．

答案：[98π＋3k π，21π8＋3k π](k ∈Z )

5．(原创题)若f (x )是以5为周期的函数，f (3)＝4，且cos α＝12，

则f (4cos2α)＝________.

解析：4cos2α＝4(2cos 2α－1)＝－2.

∴f (4cos2α)＝f (－2)＝f (－2＋5)＝f (3)＝4.

答案：4

6．已知函数f (x )＝sin2x －2cos 2x (x ∈R )．

(1)求函数f (x )的最小正周期；

(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及相应的x 值．

解：(1)f (x )＝sin2x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1，

则f (x )＝2sin(2x －π4)－1，

所以，函数f (x )的最小正周期为π.

(2)由x ∈[0，π2]，得3x －π4∈[－π4，3π4]，

当2x －π4＝π2，即x ＝38π时，f (x )有最大值2－1.

练习

1.函数y ＝|sin x |－2sin x 的值域是( )

A ．[－3，－1]

B ．[－1,3]

C ．[0,3]

D ．[－3,0]

解析：选B.当0≤sin x ≤1时，y ＝sin x －2sin x ＝－sin x ，此时y ∈[－1,0]；当－1≤sin x <0时，y ＝－sin x －2sin x ＝－3sin x ，此时y ∈(0,3]，求其并集得y ∈[－1,3]．

2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段

长为π4，则f (π4)的值是( )

A ．0

B ．1

C ．－1 D.π4

解析：选A.由题意知T ＝π4 ，由πω＝π4得ω＝4，

∴f (x )＝tan4x ，∴f (π4)＝tanπ＝0.

3．(2009年高考重庆卷)下列关系式中正确的是( )

A ．sin11°

B ．sin168°

C ．sin11°

D ．sin168°

cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°.

又∵g (x )＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数，

∴sin11°

4．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P

到图象C 的对称轴的距离的最小值是π8，则f (x )的最小正周期是( )

A.π2 B ．π

C ．2π D.π4

解析：选A.依题意得T 4＝π8，所以最小正周期为T ＝π2.

5．已知函数y ＝2sin 2(x ＋π4)－cos2x ，则它的周期T 和图象的一

条对称轴方程是( )

A ．T ＝2π，x ＝π8

B ．T ＝2π，x ＝3π8

C ．T ＝π，x ＝π8

D ．T ＝π，x ＝3π8

解析：选D.∵y ＝2sin 2(x ＋π4)－cos2x ＝1－cos(2x ＋π2)－cos2x ＝1

＋sin2x －cos2x ＝1＋2sin(2x －π4)，所以其周期T ＝π，对称轴方程的

表达式可由2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，故当k ＝0时

的一条对称轴方程为x ＝3π8，故答案为D.

6．(2008年高考天津卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，

且在区间[0，＋∞)上是增函数．令a ＝f (sin 2π7)，b ＝f (cos 5π7)，c ＝

f (tan 5π7)，则( )

A ．b ＜a ＜c

B ．c ＜b ＜a

C ．b ＜c ＜a

D ．a ＜b ＜c

解析：选A.sin 27π＝sin(π－57π)＝sin 57π. 又π2＜57π＜34π.

由三角函数线tan 57π＜cos 57π＜sin 57π

且cos 57π＜0， sin 57π＞0.如图．

∴?

?????cos 57π＜??????sin 57π＜??????tan 57π. 又f (x )在[0，＋∞)上递增且为偶函

数，

∴f (??????cos 57π)＜f (????

??sin 57π)＜f (????

??tan 57π)， 即b ＜a ＜c ，故选A.

7．函数y ＝lgsin x ＋ cos x －12的定义域为________．

解析：(1)要使函数有意义必须有???

sin x >0cos x －12≥0， 即??? sin x >0cos x ≥12，

解得??? 2k π

－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π

(k ∈Z )， ∴2k π

∴函数的定义域为{x |2k π

π3＋2k π，k ∈Z }．

答案：{x |2k π

8．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，

则ω的最小值等于________．

解析：由题意知T 4≤π3，T ＝2πω，∴2ω≥3，ω≥32，

∴ω的最小值等于32.

答案：32

9．对于函数f (x )＝?????

sin x ，sin x ≤cos x cos x ，sin x >cos x

，给出下列四个命题： ①该函数是以π为最小正周期的周期函数；

②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1；

③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；

④当且仅当2k π

0

其中正确命题的序号是________．(请将

所有正确命题的序号都填上)

解析：画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图

象． 答案：③④

10.已知函数f (x )＝log 2[2sin(2x －π3)]．

(1)求函数的定义域；

(2)求满足f (x )＝0的x 的取值范围．

解：(1)令2sin(2x －π3)>0?sin(2x －π3)>0?2k π<2x －π3<2k π＋π，

k ∈Z ?k π＋π6

k ∈Z .

(2)∵f (x )＝0，∴sin(2x －π3)＝22?2x －π3＝2k π＋π4或2k π＋34π，

k ∈Z ?x ＝k π＋724π或x ＝k π＋1324π，k ∈Z ，故x 的取值范围是{x |x ＝k π＋724π或x ＝k π＋1324π，k ∈Z }．

11．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)(ω>0)的最小正周

期为π.

(1)求ω的值；

(2)求函数f (x )在区间[0，2π3]上的取值范围．

解：(1)f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12

＝sin(2ωx －π6)＋12.

因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，

所以2π2ω＝π，解得ω＝1.

(2)由(1)得f (x )＝sin(2x －π6)＋12.

因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6， 所以－12≤sin(2x －π6)≤1，

所以0≤sin(2x －π6)＋12≤32，

即f (x )的取值范围为[0，32]．

12．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]

时，－5≤f (x )≤1.

(1)求常数a ，b 的值；

(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解：(1)∵x ∈[0，π2]，

∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，

∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，

∴－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，

∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又－5≤f (x )≤1. ∴????? b ＝－53a ＋b ＝1，解得?????

a ＝2

b ＝－5

. (2)f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，

g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1

＝4sin(2x ＋π6)－1，

又由lg g (x )>0，得g (x )>1，

∴4sin(2x ＋π6)－1>1，

∴sin(2x ＋π6)>12，

∴π6＋2k π<2x ＋π6<56π＋2k π，k ∈Z ， 由π6＋2k π<2x ＋π6≤2k π＋π2，得

k π

由π2＋2k π≤2x ＋π6<56π＋2k π得 π6＋k π≤x <π3＋k π，k ∈Z .

∴函数g (x )的单调递增区间为(k π，π6＋k π](k ∈Z )，

π6＋kπ，

π

3

＋kπ)(k∈Z)

单调递减区间为[

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/l0ie.html