现代控制理论习题解答（第二章）

第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解

第二章 状态空间表达式的解

3-2-1 试求下列矩阵A对应的状态转移矩阵φ（t）。 （1） A?0???01???2??0???4?1??0?（2） A

0??1?4??（3）

?0A????11???2?（4）

?0?A?0???210?5

（5）

?0?0A???0??0100001000??0?1??0?（6）

???0A???0??0001?00?00??0?1????

【解】： （1）

?1?s]?L{??0?(t)?L[(sI?A)?1?1?1??s?2??1?1??1s}?L??0????s(s?2)?1?(s?2)??1

?1??1s?L??0??0.50.5???1s(s?2)???1???0?(s?2)??0.5?0.5ee?2t?2t????

（2）

?1?s]?L{???4?(t)?L[(sI?A)?1?11??s??1?s?2?1}?L?s?4?42??s?4???2s?4???cos2t?s??2sin2t2s?4??1?0.5sin2t??cos2t?

（3）

?1?s]?L{??1?(t)?L[(sI?A)?1?1?1??s?2??1?s?2?2(s?1)?1}?L?1???(s?1)2??2?(s?1)?s?2(s?1)??1

?te?t?e?t?(t)???t???tetee?t?t?t?te????

（4）

特征值为：?1??2?1,?3?2。

由习题3-1-7(3)得将A阵化成约当标准型的变换阵P为

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第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解

?1?P?1???10121??2?4???0???2???123?2?1???1?1??，P?1

线性变换后的系统矩阵为：

?1~??1A?PAP?0???0?et???0?0?012tt1100??0?2??

e~Attee00??0?2te??2t

?(t)?eAt?Pe~AtP?1?1??1???11??e??2?0??4???02t2t2t0et00??0t??te??2?t?e?1??ttt23?2?1???1?1??t

2tt?e?2te?2ttt?(t)??2e?2te?2e?4e2t?2tet?4et??2e?4e?8e?3te?2e?3te?5e?3te?8ettte2e4e2t2t2t?tt??te?2e?tt?te?3e???te?et

（5）

为结构四重根的约旦标准型。

?1??2??3??4?0

??1??0??0??0t10012!t2?(t)?eAt?e?tt10?3?t??13!12??t???02!??t??0??1??01t10012tt1023?t?612?t? 2?t??1?1（6）

?1??2??3??4??

虽然特征值相同，但对应着两个约当块。

?(t)?eAt?eA1t????00?At?e2??

A1?????eA1t?e??

?t 20

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??t?e???0?0??0tee?t?t???A2?0???01?00??1????tee?t?t12tetee?t?t2?t?eA2t0???????

?(t)?eAt?e?t??0???0?0?0e?t000?12?t?te?2??tte??t?e?000?1s??0

?s??1?1?1?或?(t)?L[(sI?A)]?L{?????000s??000??0??1??s????1}

??????1??L???????1s??000?e?t??0???0?0?0?1?s??0001(?s??)?1?s??02????1?3(?s??)??1?2(?s??)???1??s???0

0e?t0tee?t?t000?12?t?te?2??tte??t?e?0

3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件

?1???0x???00110??0x,?2???1???x(0)?0????1??

（1）用laplace法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。

【解】： （1）

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?s?100??1?(t)?L?1?(sI?A)?1??L?1{??0s?10??}

??0?1s?2???1?00???(s?1)??et0

?L?1?1?00?????0et?(s?1)?111??0?et?e2t???0?(s?1)(s?2)(s?2)??（2）

特征方程为：

??100?I?A?0??10?(??1)2(??2)?0

0?1??2特征值为：

?1??2?1,?3?2。

?000?rank(?A)?rank?1I??000???n1?1

??0?1?1???000?rank(?1I?A)2?rank??000???n2?1 ??011??由于n2?n1?1，所以?1对应的广义特征向量的阶数为1。

求满足(?1I?A)P1?0的解P1，得：

?000??P?11??1??000????P?21??0，P??1??0?

??0?1?1????P31????0??再根据(?2I?A)P2?0，且保证P1、P2线性无关，解得：

P2??01?1?T

对于当?3?2的特征向量，由(?3I?A)P3?0容易求得：

P3??001?T

所以变换阵为：

22

0?0??

e2t??第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解

?1?P3??0???001?10??0?1???1??0???00110??0?1??P??P1P2，P?1

线性变换后的系统矩阵为：

（3）

特征值为：即

~?100?A?P?1AP???010??

??002???~et00?eAt???0et0??

??00e2t???et00??et0?(t)?eAt?P??0et0??1??P??0et??00e2t????0?et?e2t?1??2?1,?3?2。

e?1t?a20?a1?1?a2?1

te?1t?a1?2a2?1

e?3t?a20?a1?3?a2?3

?a?0??1?1t??1?2??11??e?a?1????012??1?te?t??1?

??a2????1??233???e?3t????111??1?et??????012???tet?

??124???e2t????0?21??et? ???23?2??t???te?

???1?11???2t?e??23

0?0??e2t??

第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解

??2tet?e2t? ??2et?3tet?2e2t??et?tet?e2t??????2

eAt?a0I?a1A?a2A?et???0?0?0ett2t

?e?e0??0?2te??

(4)

?et?x(t)??(t)x(0)??0?0?0ett2tt0??1??e????0?0??0??2t??1??e2te?????e?e?????

3-2-3 试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵A。

?10（1）?(t)?????00sint?cost0??cost?sint???1（2）?(t)???0?0.5(1?ee?2t?2t)????

?2e?t?e?2t（3）?(t)???t?2t??e?e?2e?e?t?2e?2e?2t?t?2t?????0.5e?t?0.5e3t（4）?(t)???t3t???e?e?0.25e0.5e?t?0.25e?0.5e3t3t?t????

【解】： （1）

?1???(0)?0???00sint?cost0??cost?sint???1??0???000?10??1?I?0??

t?0∴不满足状态转移矩阵的条件。

（2）

?1??(0)????00.5(1?ee?2t?2t?1)??????0?t?00???I1?

∴满足状态转移矩阵的条件。

?(t)?由??(0)?A?(0)?AA?(t)，得?。

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??(t)?0∴????0?,?2t??2e??e?2t???(0)?0A?????0??0????2t?2e??0?t?0e?2t1???2?

（3）

?2e?t?e?2t??(0)???t?2t?e?e??2e?e?t?2e?2e?2t?t?2t??I??t?0?

∴满足状态转移矩阵的条件。

??2e?t?2e?2t?A??(0)???t?2t???e?2e2ee?t?4e?4e?2t?t?2t??0?????1?t?0?2???3?

（4）

?0.5e?t?0.5e3t??(0)???t3t???e?e?0.25e0.5e?t?0.25e?0.5e3t3t?t??I???t?0

∴满足状态转移矩阵的条件。

??0.5e?t?1.5e3t?A??(0)???t3te?3e??0.25e?t?0.75e?1.5e3t?0.5e?t3t??1????t?0?4?1??1?

?3-2-4 已知线性时变系统为x??2t???11??x?2t?，试求系统的状态转移矩阵。

【解】：

取A(t1)??2t1???1t1??,?2t1???2t2A(t2)???1??,?2t2?1得：A(t1)*A(t2)?A(t2)*A(t1)

?(t,t0)?e?t0A(?)d??I??tt0??2???11?1?d???2??2!?tt0??2???11??d????2??22

231?2231?(t?t)?(t?t)?(t?t0)??00?32?(t,t0)??22?t?t0?t0?t???t?t0?t0?t1?(t0?t)?2223(t3???13?t0)?(t?t0)???2?2??

?3-2-5 已知线性定常系统的状态方程为x?0????21??0??x???u?3??1?，初始条件为x(0)?1??????1?试

求输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。 【解】：

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?(t)?L[(sI?A)s?3??(s?1)(s?2)?1?(t)?L?2????(s?1)(s?2)1?1?1]

???2e?t?e?2t(s?1)(s?2)????t?2ts????2e?2e(s?1)(s?2)???1e?e?t?t?e?2t?2t?2e????

x(t)??(t)x(0)?A?0.5?0.5e?2t[I??(t)]B???2t?e???0????5????

?3-2-6 已知线性定常系统的状态空间表达式为x1??2??x???u,?6??0?y??12?x，已知

状态的初始条件为x(0)【解】：

?0?????1?，输入量为u(t)?e?t(t?0)，试求系统的输出响应。

1?5t?5?te?e?4?1?14?(t)?L[(sI?A)]??55??e?t?e?5t4?4t1?41e?t?4e?t??45?5t???e4?e?5t1

y(t)?c?(t)x(0)??c?(t??)Bu(?)d?

0??11?5t?5?t?4e?4e2??55??e?t?e?5t4?41?1?41e?t?4e?t???0?45?5t??1?????e4?e?5t1

t???101?5(t??)?5?(t??)e?e?442??55??e?(t??)?e?5(t??)4?441e?(t??)?4e?(t??)???2???4ed?5?5(t??)??0?????e4?e?5(t??)19?5t??1?t???e?e??44??t??10?5?(t??)1?5(t??)??e?2e???22??ed?5?(t??)5?5(t??)???e??e2?2?

?1?t9?5t????e?e??4?4?t?0(?52e?t?92e?5t?4?)d???52te?t?78e?t?98e?5t(t?0)

??Ax(t)，已知当x(0)3-2-7线性定常系统的齐次方程为x?1??????2?时，状态方程的解为

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第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解

?e?2t?x(t)???2t??2e????；而当

?1?x(0)?????1??e?t?时，状态方程的解为x(t)???t????e??，试求：

(1)系统的状态转移矩阵?(t)； (2)系统的系数矩阵A。 【解】：

x(t)??(t)x(0)

?????x1(t)???11????x(t)?2???21?12??x1(0)??22??x2(0)??e?t??t???e

??e?2t??2t???2e???11???????21?12??1??22???;?2??????11???????21?12??1??22???1????

?11?2?12?e?2t，?21?2?22??2e?2t ，?21??22??e?t

e?e?t?t?11??12?e??11?(t)????21?t?12??22?2e?t?e?2t????t?2t??2e?2e???0????2?e?2t?2t?2e????

?(t)A???3-2-8 已知线性时变系统为x?0???01??x,t?t?01???3?

?1?x(0)?????1?，试求系统状态方程的解。

【解】：

对任意时间t1和t2有A(t1)??0??01??,t1??0A(t2)???01??t2?

得：A(t1)*A(t2)?A(t2)*A(t1) 所以有

tt1?12?(t,0)?I??A(?)d???A(?)?A(?000)d?2d?1??

?1???00??0???1??0?t??0??2?0.5t??0?12?t?2??13?t?6?

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第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解

?t??0??2?0.5t??0?12?t?2??)?13?t?6??1x(t)??(t,0)x(0)?(??00??0???1??0?1?????1?

??1x(t)???0???2?13?21?0.5t?t??6?t?t?2112??1?t?t???1??2?????1??1???(1?0.5t2?t3?)?6??

3-2-9 已知线性定常离散系统的状态空间表达式为

?1?x1[(k?1)T]??2????1x[(k?1)T]?2???8y(kT)??11?8??x1(kT)???11??x(kT)]??0????22?0??u1(kT)????1??u2(kT)]? ?x1(kT)?1???,x(kT)]?2??x1(0)???1??????x(0)?2??3?若u1(kT)与u2(kT)为同步采样时，且u1(kT)是来自斜坡函数t的采样，即u1(t)?t，u2(kT)是来自指数函数u2(t)?e?t的采样。试求系统的输出响应y（KT）。 【解】：

方法一：

利用Z变换的方法求解：

?1?G??21??8Z[u1(t)]?Z(t)?1?8?,1??2?Tz(z?1)2?1H???00??,1?C??11?

,Z[u2(t)]?Z(e?t)?z(z?e?T)

Tz???2?(z?1)?U(z)??z???(z?e?T)???

X(z)?(zI?G)?1zx(0)?(zI?G)?1HU(z)

?1?z?0.5X(z)????0.125?0.125??z?0.5??1??1??z?0.5z?????3???0.125?0.125??z?0.5?HU(z) 28

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32(2z?1)??2X(z)??64z?64z?158?2??64z?64z?1532(2z?1)????2264z?64z?15z??1??64z?64z?15????32(2z?1)8??3??22?64z?64z?15???64z?64z?158??264z?64z?15?1??32(2z?1)??0264z?64z?15??80??U(z)1?

?32z(2z?1)?2??64z?64z?158z?2??64z?64z?1532(2z?1)????2264z?64z?15??1??64z?64z?15????32z(2z?1)8??3??22?64z?64z?15???64z?64z?158zTz???2???264z?64z?15?(z?1)??32(2z?1)z???2?T??64z?64z?15???(z?e)?8???)?????)???

1?z??(z?0.5)Tzz??2z8????35??35(z?1)235(z?e?T?z?z??(z?)(z?)(z?)(z?)88???8888???2zz1?????(z?0.5)Tzz35?8?z????z?35(z?1)235(z?e?T88???(z?)(z?)(z?)(z?)?8888?

=第一部分+第二部分

第二部分为：

32Tz32Tz1088Tz?32Tz???????3515(z?1)2259225z?1??z?z?88????0.5z0.5zz?????335535?T?T?T?T?T?(z?)(?e)(z?)(?e)8(z?e)(?e)(?e)???888888?32Tz?32Tz8Tz512Tz???????3515(z?1)2259225z?1??z?z???88???T(0.5?e)z0.5z0.5z???????335535?T?T?T?T?T(z?)(?e)(z?)(?e)(z?e)(?e)(?e)??888888??

x(kT)?Z[X(z)]

所以第一部分的Z反变换为：

3k?5k()?2()?88x1(kT)??53?()k?2()k8?8?????

所以第二部分的Z反变换为：

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????????32?0.5?3k?320.5?5k32???T?()?T?()?kT????352589815?T??T??????e?e??????88???????kT1088e??T????35225?T?T??8(?e)(?e)88??x2(kT)?????????32????0.53k320.55k8T?T?kT??????()???()?359815?T?8?T??25????e?e??????88???????T?kT(0.5?e)e?512??T??225?35?T?T(?e)(?e)??88??

x(kT)?x1(kT)?x2(kT)

y(kT)?Cx(kT)??11?x(kT)??1y(kT)????3?e?T??8???3?641k()?T???5?T?8?9?e??8????T?kT?5(0.625?e)e401600kkT?T??()?35815225?T?T?(?e)(?e)?88?

方法二：

利用递推算法求解差分方程组：

k?0

?1?x1[T]??2????1x[T]?2???81??8?x1(0)???11??x2(0)??0????2??10??u1(0)??2?????1??u2(0)]??1?81??8??1???11??3??0????2??1?0??0???8???????1??1??19??8?

y(0)??1?x1(0)???1?1?????11????2;?3??x2(0)]?y（T）??1?1????9?x1(T)?81?????11??19???x2(T)]???4?8?

特征方程为:

zI?A?(z?0.375)(z?0.625)?0

特征值为:

z1?0.375,z2?0.625??1P???11??1?。

0.5??0.5?，P?1??0.5???0.5

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第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解

?0.375?(k)?P???0k00.625k??1?P ??k?0.5?0.375k?0.5?0.625k?(k)??kk??0.5?0.375?0.5?0.625??0.5?0.3750.5?0.375k-1?0.5?0.625?0.5?0.625kkk????

利用x(k)?得：

?(k)x(0)???(k-j-1)Hu(j)j?0

?-0.1250?x(T)????2.3750??15/64+Tx(2T)??-T?75/64+e

?? ?

-T??135/512+5/2*T+1/8*ex(3T)??-T-2T??315/512+1/8*T+1/2*e+e???

-T-2T??855/4096+273/64*T+1/8*e+1/8*ex(4T)??-T-2T-3T?+e?1395/4096+3/8*T+17/64*e+1/2*e???

x(5T)?? ?x1(kT)?y(kT)??11????x2(kT)]?

y(T)?2.25

-Ty(2T)?90/64+T+e

-Ty(3T)?450/512+2.625T+0.625e-T+e-2T

-2Ty(4T)?2250/4096+4.6406T+0.3906e+0.625e?e-3T

y(5T)??

3-2-10 已知连续系统的状态方程为：

?x1[(k?1)T]??1???x[(k?1)T]?0?2????x3[(k?1)T]?????10210??x1(kT)??1?????2?x2(kT)??0u(kT) ?????x(kT)?0??3??????1??

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第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解

?x1(0)??1?系统的初始状态为?x2(0)???0?????x(0)???3??2? 试求当控制序列为u(kT)?2kT(T?1秒)时离散系统的状态x(kT)。

【解】：

利用递推算法求解差分方程组：

?1??0????10210???2?0??k?(k)?Gk

?(1)?G1?1??0????10210???2?0??，?(2)?G2?1??2????10220???4??2??

?(3)?G3?1??6???10020??1??4?4，?(4)?G?10????4???50?400??0??4??

?1???x(1)??(1)x(0)??(0)Hu(0)??4?????1??

?3???x(2)??(2)x(0)??(1)Hu(0)??(0)Hu(1)??6?????7??

?7???x(3)??(3)x(0)??(2)Hu(0)??(1)Hu(1)??(0)Hu(2)?2?????13??

?13???x(4)??(4)x(0)??(3)Hu(0)??(2)Hu(1)??(1)Hu(2)??(0)Hu(3)?30?????11??

x(5)??

3-2-11 已知离散系统的结构图如题3-2-11图所示，

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第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解

r(t)T1?es?Ts1(s?1)(s?2)c(t)

题3-2-11图

(1)求系统离散化的状态空间表达式；

(2)当采样周期T?0.1秒时，输入为单位阶跃函数，且初始条件为零时离散系统的输出y(kT)。 【解】：

方法一：

①依据方框图求闭环脉冲传递函数：

1???1G开(z)?（1?z）Z???s（s?1）（s?2）?10.5??0.5?1G开(z)?（1?z）Z???s?1s?2??s?

)G开(z)?（1?z）(G开(z)?（z?1）(?10.5zz?1?zz?e1z?e?T?T?0.5zz?e0.5z?e?2T?2T

0.5z?1??)

?T2?T?T2G开(z)0.5(1?e)z?0.5e(1?e)C（z）??2?T?2T?T?T?2TR（z）1?G开(z)z?0.5(1?4e?e)z?0.5e(1?2e?3e)

0?x1[(k?1)T]???????T?T?2T?3e)?x2[(k?1)T]???0.5e(1?2e1?0.5(1?4e?T?e?2T??x1(kT)??0?????r(kT)??)??x2(kT)??1?y(kT)?0.5e??T(1?e?T)20.5(1?e?T)2x???x)???2(kT)?1(kT

当采样周期T?0.1秒时

G开(z)C（z）0.0046z?0.0041??2R（z）1?G开(z)z?1.7190z?0.7448

②依据闭环脉冲传递函数写出状态空间表达式：

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第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解

0?x1[(k?1)T]???????x2[(k?1)T]???0.7448y(kT)??0.0041??x1(kT)??0?????r(kT)??1.7190??x2(kT)]??1?1?x1(kT)?0.0046???,x(kT)]?2?

③求零初始条件下单位阶跃输入的输出y(kT)。

?(k)?Gk0?????0.74480?????0.7448??0.7448????1.2803??1.2803????1.6461??1.6461????1.8761k?1??1.7190?11k

?(1)?G1?? 1.7190?1.7190??2.2102?2.2102??2.5190?2.5190??2.6840??(2)?G2

?(3)?G3?(4)?G4x(k)??(k)x(0)???(k?j?0j?1)Hu(j)

又因为输入为单位阶跃函数，且初始条件为零，所以

k?1x(k)???(k?j?0j?1)H

?0??0?x(1)??(0)??????1??1?

?1?x(2)??(1)H??(0)H????2.7190??2.7190?x(3)??(2)H??(1)H??(0)H????4.9292??4.9292?x(4)??(3)H??(2)H??(1)H??(0)H????7.4482?x(5)??y(k)?Cx(k)??0.0041y(1)?Cx(1)??0.0041y(2)?Cx(2)??0.0041y(3)?Cx(3)??0.0041y(4)?Cx(4)??0.0041

0.0046?x(k)y(k)?Cx(k)?Du(k)

0.0046?x(1)?0.00460.0046?x(2)?0.01660.0046?x(3)?0.0388

0.0046?x(4)?0.0545

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第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解

方法二：

系统中连续时间被控对象的传递函数为：

111 G(s)???（s?1）（s?2）（s?1）（s?2）系统中连续时间被控对象的状态空间表达式为：

??1???x?0y??10??1?x????u?2??1??1?x

状态转移矩阵为：

??1?1?1??s?1?(t)?L[(sI?A)]?L???0??0??s?2??1?1???(s?1)????0???????1?(s?2)??0

?e?t????00??2t?e??(对角标准型也可直接写)

G(T)?eAT?e?T???0?0? ?2T?e??TTAtH(T)??e0Bdt??0?e?t??0??1?e?T?0??1?dt???2t????2T?e??1?????0.5?0.5e?

故被控对象的离散化状态方程为：

x[(k?1)T]?G(T)x(kT)?H(T)u(kT)

?x1[(k?1)T]??e?T????x[(k?1)T]?2???0?T0??x1(kT)??1?e????2T???2Tx(kT)]e??2????0.5?0.5e??u(kT) ??根据系统结构图，系统输入量为r(t)，输出为y(t)，而被控对象的输入

u(t)?r(t)?y(t)?r(t)?x1(t)?x2(t)，所以系统的离散化方程为：

?x1[(k?1)T]??e?T????x[(k?1)T]?2???0?T0??x1(kT)??1?e????2T???2Tx(kT)]e?????2?0.5?0.5e???r(kT)?x1(kT)?x2(kT)? ????x1(kT)??????x2(kT)]???T?x1[(k?1)T]??2e?1?????2T??0.5?0.5e?x2[(k?1)T]??1?e?T?2T0.5?0.5e?1?e?T???2T??0.5?0.5e??r(kT)??

系统输出方程为：

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第三部分 现代控制理论习题详解 第二章 状态空间表达式的解

y(kT)??1?x1(kT)??1????x2(kT)]?

令T?0.1秒，离散化状态方程为：

?x1[(k?1)T]??0.8097????x[(k?1)T]?2???0.0906?0.0952???0.0906??r(kT)?0.0952??x1(kT)????0.9094??x2(kT)]?

y(kT)??1?x1(kT)??1????x2(kT)]?

当输入为单位阶跃函数，初始条件为零时离散系统的输出为：

y(k)?CZ?1[(zI?G)?1Hu(z)]?Du(k)

y(k)?CZ?1[(zI?G)?1Hu(z)]可得。

k?1或与方法一一样，利用x(k)?一步一步地求。 3-2-12

?(k)x(0)???(k?j?0j?1)Hu(j)?0???线性时变系统的状态方程为x??05(1?e5e?5t?5t?5?)??x???u??0??，求采样周期T=0.2秒时，

系统的离散化方程。

【解】：

由于采样周期较小，可以采用近似离散化的方法。

?0G(kT)?TA(kT)?I?0.2???05(1?e5e?k?k)??1??????00??1???1???01?e1?e?k?k????

?5??1?H(kT)?TB(kT)?0.2??????0??0?

x((k?1)T))?x(0.2(k?1))?G(0.2k)x(0.2k)?H(0.2k)u(0.2k)?1x((k?1)0.2))????01?e1?e?k?k??1??x(0.2k)???u(0.2k)??0??

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