机械能守恒定律功能关系

高中物理

机械能守恒定律 功能关系

（一）功、功率及动能定理的应用 【典型例题】

例1．如图2-2-3所示，小物体位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物体

沿斜面下滑的过程中，斜面对小物体的作用力（ ）

A、垂直于接触面，做功为零； B、垂直于接触面，做功不为零； C、不垂直于接触面，做功为零； D、不垂直于接触面，做功不为零。

解：由于斜面是光滑的，斜面对物体的作用力只有支持力N，方向一定垂直于斜面。若斜面固定不动，

物体沿斜面运动时，支持力N与物体位移方向垂直，不做功，但当斜面不固定时，物体沿斜面下滑的同时，在N的反作用力作用下，斜面要向后退，如图2-2-3所示，物体参与了两个分运动：沿斜面的下滑；随斜面的后移，物体的合位移l与支持力N的夹角α大于90°，故支持力N对物体做负功，做功不为零。选项D正确。 例2．质量为M的长木板放在光滑的水平面上(如图 2-2-4所示)，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了Lm，而木板前进Sm．若滑块与木板间动摩擦因数为μ，问：

(1)摩擦力对滑块所做功多大？

(2)摩擦力对木板所做功多大？

解：(1)滑块受力情况如图2-2-5(甲)所示，摩擦力对滑块

所做的功为： Wm＝－μmg(s＋L)

(2)木板受力情况如图2-2-5(乙)所示，摩擦力对木板

所做的功为： WM＝μmg·s

例3．如图所示，带有光滑斜面的物体B放在水平地面上，斜面底端有一重G=2 N的金属块A

，斜面高h ，倾角α＝600，用一水平推力F推A，在将A从底端推到顶端的过程中,A和B都做匀速运动，且B运动距离L=30 cm，求此过程中力F所做的功和金属块克服斜面支持力所做的功．

解：此题应先求出两个力的大小，再由公式W Fscos 求解，如图所示．

由物体平衡条件：

F Gtan 2tan60 ，

2-2-4

FN

600

4N

斜面的水平宽度l hcot 60 15cm 由勾股定理得金属块A的位移

s F与s的夹角设为α2

，则tan 2

，

h

，α2=300

l L

2

2

力

F

做功：W1 Fscos 2 10 cos60

10J

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或W1 Fscos 2 F

l L 10J

2

F1与s的夹角 1 90 2 90 60 30 120

故克服支持力N所做的功

W1 F1scos 1 Fscos120 4 10 cos60 10J

例4．物体静止在光滑水平面上，先对物体施一水平右的恒力Fl，经ts后撤去F1，立即再对它施一水平向左的恒力F2，又经ts后物体回到原出发点，在这一点过程中，Fl、F2分别对物体做的功W1、W2间的关系是（）

A. W1 = W2 ；B. W2＝2 W1； C. W2＝3W1；D. W2=5 W1 ；

解：认为F1和F2使物体在两段物理过程中经过的位移、时间都相等，故认为W1 = W2而误选A;

而认为后一段过程中多运动了一段距离而误选B。这都反映了学生缺乏一种物理思想：那就是如何架起两段物理过程的桥梁？很显然，这两段物理过程的联系点是“第一段过程的末速度正是第二段过程的初速度”。由于本题虽可求出返回时的速度，但如果不注意加速度定义式中ΔV的矢量性，必然会出现错误，错误得到其结果v2＝0，而误选A,其原因就是物体的运动有折返。 B 解法1：如图,A到B作用力为F1，BCD作用力为F2,由牛顿

第二定律F ma，及匀减速直线运动的位移公式

2

2

1

s v0t at2,匀加速直线运动的速度公式v0 a1t，设向右为正，AB s，可得：

211111

s v0t a2t2 a1t t a2t2，又s a1t2；∴ a1t2 a1t2 a2t2；

22222

即

1 F1 2 F1 21 F2 2

t t t； 2 m 2 m m

∴F2 3F1

A到B过程F1做正功，BCB过程F2的功抵消，B到D过程F2做正功，即W1 F1s,W2 F2s，

/

/

∴W2 3W1。

解法2：设F2的方向为正方向，F1作用过程位移为s，F1对物体做正功，由动能定理：F1s

12

mv1。

2

在F2作用的过程中，F2的位移为一s，与F2同向，物体回到出发点时速度为v2，由动能定理

2

Fv111212

2

得：F2s mv2 mv1。∴，由牛顿第二定律得

F2v2 v1222

v

F1 m1

t

v2 v1

F m2；

t

v12v1

；∴2．∴v2 2v1，∴W2 3W1。

v2 v12v1 v2

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拓展：若该物体回到出发点时的动能为32J，则Fl、F2分别对物体做的功W1、W2是多少？

由动能定理得： Ek W1 W2 32J，

W1F1

，∴W1=8J；W2=24J。

W2F2

例5．如图所示，质量M=0.2kg的长木板静止在水平面上，长木板与水平面间的动摩擦因数 2=0.1，现有一质量为m 0.2kg的滑块，以v0=1.2m/s的速度滑

m

M

上长板的左端，小滑块与长木板间的动摩擦因数 1=0.4，滑块最终没有滑离长

木板，求滑块从开始滑上长木板到最后相对于地面静止下来的过程中，滑块滑行的距离是多少（以地球为参考系，g=10m/s2）

解：滑块滑上长木板后，作匀减速运动，长木板作匀加速运动直到速度相同为止，以后整体再作匀减速运动至速度为零。

滑块的加速度大小为a1

1mg

m

mg 2(m M)g

2m/s2， 长木板的加速度大小为a2 1

M

设经过时间t达到共同速度v，则有v0 a1t a2t，故t 0.2s，v 0.4m/s，

1

滑块的位移为s1 v0 at2 0.16m；整体作匀减速运动的位移为s2，由动能定理得

21

2(m M)gs2 (m M)v2，有s2 0.8m，滑块滑行的距离为s s1 s2 0.24m。

2

例6．面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体木块，木块边长为a，

a 4m/s2，

1

密度为水密度的，质量为m。开始时，木块静止，如图所示，现用力F将木块

2

缓慢地压到水池底，不计摩擦，求：

(1）从木块刚好完全没人水中到停止在池底的过程中，池水势能的改变量． (2) 从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力F所做的功．

解：(1)木块刚好没入水中到到达池底的过程中,相当于有相同体积的水从池底到达水面,因木块的密度为

水的密度的

(2)因水池面积很大，可忽略因木块压入而引起的水深的变化，木块刚好完全没入水中时，图中原来划线区域的水被排开，相当于这部分水平铺于水面，这部分水的质量为m，其势能的改变量为：

1

，故相同体积的水的质量为2m，故池水势能的改变量为 Ep 2mg H a ； 2

a 3

E水 mgH mg H mga

2 4

木块势能的改变量为：

a 1

E木 mg H mgH mga

2 2

根据动能定理，力F做的功为：W E水 E木

1

mga 4

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(2)又解：从开始到木块完全没入水中的过程，力F所做的功为变力功．也可画出Fs图象，做功在数值上等于Fs图线与位移S轴所围图形的面积的数值，在压下木块过程中，力F与位移s成正比，从开始到完全没入水中，力F的位移为

1

a，作出F-s图象如图,,据图象可求得做功 2

111

W mga mga。

224

例7．长为L的细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，开始时，细线被拉直，并处于水平位置，球处在0点等高的A位置，如图所示，现将球由静止释放，它由A

运动到最低点B的过程中，重力的瞬时功率变化的情况是

（ ）

A.一直在增大 B.一直在减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大

解：小球在A位置时速度为零，重力的瞬时功率为零，到达B位置时，速度达到最大vB

，

方向水平向左，与重力夹角为90，PB 0，由于两个极端位置瞬时功率均为0，故可判断C正确． 点评:物体在恒力作用下的变速运动或在变力作用下的运动，力做功的瞬时功率一般都随时间变化，因此，在求某力在某时的瞬时功率或讨论某力做功的瞬时功率随时间的变化时，都应根据公式P=Ftcosα来进行分析和计算．

例8．随着生活水平的提高，伴随着心血管病也比以前增加了．为了提高生活质量，延长人的寿命，掌握心血管健康活动的常识就显得十分重要，心脏在人的一生之中之所以能够 不停地跳动而不疲倦，其原因之一在于它的活 动具有节律性，图中是心脏每跳动一次，心房和心室的舒张、收缩情况：

（1）从图分析，心脏在人的一生中不停地跳动，为什么不会疲倦？

（2）如果有人心率为75次／min，则每搏的输出量为70ml，每分钟输出量为 ，一般情况下，长跑运动员与正常人相比，心率较慢，但 较多，所以能满足运动时的供血．

（3）如果有人的心率为 75次／min，则心脏每跳动一次所需的时间是 ，心房、心室共同处于 期，所占的时间约为

（4）若某人的心脏每分钟跳动75次，心脏收缩压为135mmHg（lmmHg＝133．322Pa）收缩一次输出血量平均为70ml，那么心脏收缩时的平均功率有多大？

解：（1）从图中可以看出，如果心率是75次／min，其中心房只工作（收缩）了0．1s，休息（舒张）了0．7s，心室工作了0．3s，休息了0．5s，可见心脏每跳动一次，心房、心室的舒张期比收缩期长，心脏有充分休息的时间，因此人的一生，心脏不停地跳动而不知疲倦．

（2）5250ml（每搏输出量是指心脏跳动一次，心脏收缩时向动脉输出的血量，每收缩一次输出70ml，每分输出量为70×75=5250ml）

经常参加体育锻炼的人，心肌发达，搏动有力，每搏输出量比一般人要大． （3）0．8s 舒张0．4s（心脏每分钟跳动的次数叫心率） （4）心脏收缩一次做功：W=P·ΔV

4－53

∵P=135mmHg＝1．8×10Pa ΔV＝70ml＝7×10m

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∴W＝1．8×10Pa×7×10m＝1．26J ∴每分钟，心脏做功W=75×1．26=94．5J

∴心脏收缩时平均功率为P=94．5/60=1．6W

例9．质量为m = 4000kg的卡车，额定输出功率为P=60 kW。当它从静止出发沿坡路前进时，每行驶100 m，升高5m，所受阻力大小为车重的0.1倍，取g=10 m/s2 . 试求：(1)卡车能否保持牵引力为8000 N不变在坡路上行驶？

(2)卡车在坡路上行驶时能达到的最大速度为多大？这时牵引力为多大？ (3)如果卡车用4000 N牵引力以12m/s的初速度上坡，到达坡顶时，速度为4 m/s,那么卡车在这一段路程中的最大功率为多少？平均功率是多少？

分析：汽车能否保持牵引力为8000 N上坡要考虑两点：第一，牵引力是否大于阻力？第二，汽车若一直加速，其功率是否将超过额定功率，依P=Fv解。本题考查了汽车牵引力恒定时功率的计算。不少同学在得到F > f + mgsinθ后，立即做出结论：汽车可以保持牵引力8000 N不变上坡；而没有考虑到汽车由于加速，速度不断增大，其功率不断增大，如果坡路足够长，这种运动方式是不允许的。

解：分析汽车上坡过程中受力情况如图所示：牵引力F,重力mg 4 10N，

4

4－53/

f kmg 4 103N，支持力N，依题意sin

（

1

）

汽

车

上

坡

时

，

5

。 100

若

F

＝

8000N,

而

f mgsin 4 103 4 104

1

6 103N， 20

即F＞f mgsin ，汽车将加速上坡，速度不断增大，其输出功率P Fv也不断增大，长时间后，将超出其额定输出功率，所以，汽车不能保持牵引力为8000N不变上坡。

(2)汽车上坡时，速度越来越大，必须不断减小牵引力以保证输出功率不超过额定输出功率，当牵引力F f mgsin 6 10N时，汽车加速度为零，速度增大到最大，设为vm，则

3

P60 103

10m/s； P Fv f mgsin vm；vm

f mgsin 6000

牵引力：F f mgsin 6 10N

（3）若牵引力F=4000N，汽车上坡时，速度不断减小，所以最初的功率即为最大，

3

Pm Fv 4000 12W 48 103W。

整个过程中平均功率为： 4000

12 4

W 32 103W2

例10．右图为推行节水灌溉工程中使用的转动式喷水龙头的示意图。“龙头”离地面高h m，将水水平喷

出，其喷灌半径为10h m，每分钟可喷水m kg，所用的水从地面以下H m深的井里抽取。设所用水泵（含电动机）的效率为η，不计空气阻力。求：

⑴水从龙头中喷出时的速度v0 ⑵水泵每分钟对水做的功W

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⑶带动该水泵的电动机消耗的电功率P。

解：(1)平抛所用时间为

t

① 水平初速度为

v

10h

② t

③

(2)1min内喷出水的动能为

Ek

12

mv 25mgh 2

水泵提水，1min内水所获得的重力势能为

EP mg H h

④

1min内水泵对水所做功为

W EK EP mg H 26h ⑤

(3)带动水泵的电动机的最小输出功率等于水泵输入功率P

mg(H 26h)

60

例11．总质量为M的列车沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶了L的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，设阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的，当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？

解：此题用动能定理求解比用运动学结合牛顿第二定律求解简

单．先画出草图如图所示，标明各部分运动位移（要重视

画草图）；对车头，脱钩前后的全过程，根据动能定理便可解得.

FL M m gS1

1

M m v02 2

12mv0 2

对末节车厢，根据动能定理有 mgS2 而 S S1 S2

由于原来列车匀速运动，所以F Mg． 以上方程联立解得 S

ML

．

M m

说明:对有关两个或两个以上的有相互作用、有相对运动的物体的动力学问题,应用动能定理求解会很方便．最基本方法是对每个物体分别应用动能定理列方程，再寻找两物体在受力、运动上的联系，列出方程解方程组．

例12．质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg,此后小球继续做圆周运动，经

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过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（）

A.

mgRmgRmgR

B. C. D.mgR 432

mv12

解析:小球在圆周运动最低点时,设速度为v1,则7mg mg ①

R

2mv2

设小球恰能过最高点的速度为v2,则mg ②

R

设过半个圆周的过程中小球克服空气阻力所做的功为W,由动能定理得:

1212

2mgR W mv2 mv1 ③

22

mgR

由以上三式解得W . 答案：C

2

说明：该题中空气阻力一般是变化的，又不知其大小关系，故只能根据动能定理求功，而应用动能

定理时初、末两个状态的动能又要根据圆周运动求得，不能直接套用。这往往是该类题目的特点．

（二）机械能守恒及功能关系的综合运用

例13．如图所示，在光滑的水平面上放一质量为M＝96．4kg的木箱，用细绳跨过定

滑轮O与一质量为m=10kg的重物相连，已知木箱到定滑轮的绳长AO＝8m，OA绳与水平

方向成30角，重物距地面高度h=3m，开始时让它们处于静止状态．不计绳的质量及一

2

切摩擦，g取10 m／s，将重物无初速度释放，当它落地的瞬间木箱的速度多大？

解：本题中重物m和水箱M动能均来源于重物的重力势能，只是m和M的速率不等．

根据题意，m，M和地球组成的系统机械能守恒，选取水平面为零势能

面，有mgh

1212

mvm MvM

22

h 4

OA h5

从题中可知，O距M之间的距离为 h OAsin30 4m 当m落地瞬间，OA绳与水平方向夹角为 ，则cos

而m的速度vm等于vM沿绳的分速度，如图5—55所示，则有 vm vMcos

所以，得vM

/s。

例14．如图,斜面与半径R=2.5m的竖直半圆组成光滑轨道,一个小球从A点斜向上抛,并在半圆最高点D水平进入轨道,然后沿斜面向上,最大高度达到h=10m,求小球抛出的速度和位置.

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解:小球从A到D的逆运动为平抛运动,由机械能守恒,平抛初速度vD为mgh mg2R

12

mvD；

2

vD 10m/s

所以A到D的水平距离为

s

vDt 10m

由机械能守恒得A点的速度v0为

mgh

12

mv0；v0 /s 2

由于平抛运动的水平速度不变,则vD v0cos

,所以,仰角为

vD arccos 45 ，

v

0即cos

，∴ 45 。 2

例15．如图5—69所示，长为l不可伸长的细绳一端系于O点，一端系一质量为m的物体，

物体自与水平夹角30（绳拉直）由静止释放，问物体到达O点正下方处的动能是多少？

错解：由机械能守恒定律：mg

33

l Ek， 所以最低点动能为mgl 22

分析：小球运动过程是：先由A点自由下落至B，自B点做圆周运动，就在B处绳使其速度改变的瞬间

小球的动能减少，下面我们通过运算来说明这个问题． 正确解法：vB

，其方向竖直向下，将该速度分解

如图5一70所示

v2 vBcos30

由B至C的过程中机械能守恒 由此得EkC

12112

mv2 mgl mvC

222

125mgl mvC

24

例16．如图，长为L的细绳一端拴一质量为m的小球，另一端固定在O点，在O点的正下方某处P点有一钉子，把线拉成水平，由静止释放小球，使线碰到钉子后恰能在竖直面内做圆周运动，求P

点的位置

解：设绳碰到钉子后恰能绕P点做圆周运动的半径为r，运动到最高点的速率为v，由机械能守恒定

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12

mgl 2r mv 律得：

2

23v2

r lOP l mg m在最高点，由向心力公式有：,,

55r

例17．如图所示，在一根长为L的轻杆上的B点和末端C各固定一个质量为m的小球，杆可以在竖直面上绕定点A转动，BC=L/3,现将杆拉到水平位置从静止释放，求末端小球C摆到最低点时速度的大小和这一过程中BC端对C球所做的功。（杆的质量和摩擦不计）

解：B、C两球系统在下摆的过程中只有重力做功，系统机械能守恒。

212112

v vC

mgL mgL mvB mg L mvC; 由于B、C角速度相同，B

3232

解得：vC

对于C球,由动能定理得WBC mgL

122

mvc 0，解得杆BC段对C球做功WBC mgL

132

例18．如图所示，在竖直放置的铅屏A的右表面上贴着 射线放射源P，已知 射线实质为高速电子流，放射源放出 粒子的速度v0＝1.0×107m/s。足够大的荧光屏M与铅屏A平

－

行放置，相距d ＝2.0×102m，其间有水平向左的匀强电场，电场强度大小E＝2.5×104N/C。已知电子电量e＝1.6 10-19C，电子质量取m＝9.0 10-31kg。求

（1）电子到达荧光屏M上的动能； （2）荧光屏上的发光面积。

解：（1）由动能定理 eEd = EK－ EK＝

12

mv0

2

21

9 10 31 1.0 107＋1.6 10 19 2.5 104 2 2 2

＝1.25 10-16J

(2) 射线在A、B间电场中被加速，除平行于电场线的电子流外，其余均在电场中偏转，其中和铅屏A平行的电子流在纵向偏移距离最大(相当于平抛运动水平射程)。 d

r = v0t=1.0 107 3 10-9=3 10-2m

—2

在荧光屏上观察到的范围是半径为3.125×10米的圆 圆面积 S =πr2=2.83 10-3m2

1eE2 t t = 3 10 9s 2m

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/l07j.html