昆明理工 高等数学 下 试题 及 答案

昆明理工大学2001级高等数学[下]期末试卷

一、填空（每小题4分，共24分）

1．函数z ln(1 x y)的定义域是，函数在. 2．设函数z sin(x y)，则

2

2

2

2

z z

， y x

4．设 :x y z a，则曲面积分

2

2

2

2

(x

2

y2 z2)dS.

2

5．设D: 1 x 1,0 y 2，则二重积分

x

D

yd .

6．如果微分方程的通解的所有任意常数的值确定后，所得到的微分方程的解称之

为 解. 二、解答下列各题（每小题6分，共18分） 1．求函数z e

2

ax2

by2

（a,b为常数）的全微分.

2

2．求曲面x 2y z 0在点处的切平面方程和法线方程. 3．求微分方程(1 e)yy e的通解. 三、解答下列各题（每小题6分，共18分） 1．设z xy xF(u),而u 2．计算三重积分域.

3．计算曲面积分

x

x

z zy

y. ,F(u)为可导函数，试计算x x yx

22

z z x y其中是由曲面所围成的闭区zdxdydz,.

xyzdydz，其中 是柱面x

2

y2 a2(x 0)介于平面y 0及

y h(h 0)之间部分的前侧。

四、（12分）求微分方程y'' 3y' 2y cosx的通解.

五、（12分）求曲线积分

ydx (x 1)dy

L

(x 1)2 y2

,其中：

（1）（8分）L为圆周x2

y2

2y 0的正向. （2）（4分）L为椭圆4x2

y2

8x 0的正向 六、（10分）求表面积为36，而体积为最大的长方体的体积.

x2y2

七、（7分）讨论函数f(x,y) x2 y2 0(x2 y2)

0

x2 y2 0

在（0，0）处的连续性.

昆明理工大学2002级高等数学（下）期末试卷

一．填空题（每小题4分，共40分）

1．设函数z xy yx，则全微分dz 2．设函数u f(x y,xy),f具有一阶连续偏导数，则3．二重积分I

3

3

u

x

1

dy

2y

f(x,y)dx，改变积分次序后I= .

4

．直角坐标系下的三次积分I 的三次积分I=

1

1

dx0

fdz化为球坐标系下

5．若区域 :x y z R，则三重积分6．当 时，(x 2y)dx (

2222

xyzdxdydz

2

的全微分. x y)为某二元函数dyu(x,y)

7．曲线积分I (x y)dx，其中L是抛物线y x上从点A(0,0)到B(2,4)的一段弧，

L

22

则I= .

8．当 为xoy面内的一个闭区域D时，曲面积分与二重积分的关系为

f(x,y,z)dS

9．二阶常系数齐次线性微分方程y'' 2y' y 0的通解为y 10. 二阶常系数非齐次线性微分方程y'' 2y' y 2e

x

的特解形式为y

二．（10分） (u,v)具有连续偏导数，证明由方程 (cx az,cy bz) 0 所确定

的函数z f(x,y)满足a

z z

b c x y

三．（10

分）由锥面z

z x2 y2所围立体体积

四．（10分）求螺旋线x acos ,y asin ,z b 在(a,0,0)处的切线方程及法平面方程.

五、（10分）利用高斯公式计算曲面积分I

1x1x

f()dydz f()dzdx zdxdy， yyxy

z 0所围成空间闭区

其中f(u)具有二阶连续导数，

为上半球面z 域 的整个边界曲面的外侧. 六．（10分）设曲线积分

yf(x)dx [2xf(x) x2]dy在右半平面(x 0)内与路径无关，其

L

中f(x)可导且f(1) 1，求f(x).

七．（10分）二阶常系数非齐次线性微分方程y'' 2y' 3y 3x，求其通解.

昆明理工大学2003级高等数学[下]期末试卷

一．填空题（每小题4分，共32分）

y2 z z

1．设函数z tg()，则，x y x

2．曲线x t,y t,z t3．交换二次积分次序，

2

3

2

3在

M(1,1,1)处的切线方程为

.

2

dy

2yy2

f(x,y)dx .

22

4．设L为右半圆周：x y 1(x 0)，则曲线积分I

L

yds5．设∑为平面

xyzxyz

1在第一卦限中的部分，则曲面积分 ( )dS .

234234

d2ydy

9 20y 0的通解为8．求微分方程2

dxdx

二．解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．设e xyz 0,求dz.

2．讨论函数z (x 1) 2y是否有极值. 3．求幂级数

2

2

z

nx

n 1

n 1

在收敛区间( 1,1)内的和函数.

dy

y sinx x

4．求微分方程 dx的特解.

y( ) 1

5．求微分方程y y 1的通解.

三．（11分）利用格林公式计算曲线积分I

L

ex(1 cosy)dx (exsiny 2x)dy，其中L为

从原点O(0,0)到A的正弦曲线y sinx. （ ，0）四．（11分）利用高斯公式计算曲面积分I

ydydz x2dzdx z3dxdy，其中 是球面

x2 y2 z2 a2的内侧.

五．（11

分）求由锥面z

及旋转抛物面z x2 y2所围成的立体的体积.

昆明理工大学2004级高等数学[下]期末试卷

一．填空题（每小题4分，共32分） 1．设函数z f(),f可微，则x

23

yx z z y . x y

2．曲线x t,y t,z t在t=1处的法平面方程为：3．设区域D由y x,x 2及y

23

1

所围，则化二重积分I f(x,y)d 为先x后y的二次xD

积分后的结果为 .

22

4．设L为圆弧：x y 2,y 0，则曲线积分I

L

(x2 y2)ds .

5

．设 :z

z 1)，则曲面积分I 2ds.

3

x2

8．二阶常系数非齐次线性微分方程4y'' 12y' 9y e

要求计算）

二．解答下列各题（每小题7分，共28分）

的特解形式为y.（不

1．求函数z=

F(

yx

,) 0，其中F具有一阶连续偏导数，求dz. zz

2

2

2．讨论z 4(x y) xy的极值. 4．求微分方程

dy1 的通解. dxxcosy sin2y

三．（10分）设L为x y a(a 0)沿顺时针方向的上半圆，计算曲线积分

222

I xy2dy x2ydx.

L

四．（10分）求由球面x y (z a) a及z x y所围成的立体的体积. 五．（10分）利用高斯公式计算曲面积分I

2222222

4xzdydz ydzdx 2yzdxdy，其中 是球面

2

x2 y2 z2 1外侧的上半部分.

六、（10分）求f(x)，使曲线积分I

2

[y(2 xy) f(x)y]dx [xy f (x)]dy与路径无 L

关，其中f(x)具有二阶连续导数，且f(0) 0, f (0) 1.

昆明理工大学2005级高等数学[下]期末试卷

一．填空题（每小题4分，共32分）

2z

1．设函数z x y 4xy,则

x y

4

4

2

2

2．设z e，则dz .

3．曲线x 1 2t,y 2 t,z t在t=1处的法平面方程为4．交换二次积分次序，则

2

12

xy

2

dy

2yy2

f(x,y)dx .

222

5．设L为圆周：x y a，则曲线积分I

L

(x2 y2)nds6．当∑为xoy平面内的一个闭区域D时，则曲面积分

dS

7．微分方程xy' ylny 0的通解为. 8．微分方程y'' 6y' 13y 0的的通解为. 二．解答下列各题（每小题7分，共28分）

1．z z(x,y)由方程 cx az,cy bz 0所确定，其中 具有连续的偏导数，求2．计算二重积分

z z,. x y

(x y)d ,其中D是由y 1,y x

D

2

所围成的闭区域.

3．利用高斯公式计算曲面积分I 面x y z a的外侧. 4．求微分方程2y

2

2

2

2

xzdydz (x

22

y 3)dzdx (2 y2z)dxdy，其中 是球

dx

6x y2的通解. dy

3

三．（10分）某厂要用铁板做成一个体积为4m的无盖长方形水箱，问长、宽、高各取多少时，

才能使用料最省.

四．（10分）求由曲面z x y及z 8 x y所围成的立体的体积.

2

2

2

2

五．（10分）微分方程2y'' y' y 2e的通解. 六．（10分）曲线积分

x

L

xy2dx y (x)dy与路径无关，其中 (x)具有连续的导数，且

(0) 0，计算

(1,1)

(0,0)

xy2dx y (x)dy.

昆明理工大学2006级高等数学[下]期末试卷

一、填空题（每小题3分，共30分）

2z

（1）设z x y 3xy，则2 ___________.

x

3

3

2

2

（2）设z xy yx，则全微分dz ________________.

（3）曲线x 2t,y 3t,z t在M(2,3,1)处的切线方程为 . （4）交换二次积分次序，则

2

3

23

33

dy

12y

f(x,y)dx .

（5）设有曲线：y x的起点为（0，0），终点为（1，1）则曲线积分：yds .

L

（6）设曲面

是锥面z a

面积分I

(a 0)在柱面x2 y2 a2内部那一部分上侧，则曲

(z dS .

2 2 2

（7）设f(x,y)具有连续偏导数，且f(x,x) 1,f1(x,x) x,则f2(x,x) （8）当 时，(x 2y)dx ( x y)dy为某二元函数u(x,y)的全微分. (9) 微分方程yedx edy 0的通解为x

x

d2ydy

6 9y 0的通解为 (10) 微分方程dx2dx z 2z

;2.. 二．（7分）设x 2y z 3z 0,求

x x

2

2

三．（7分）利用拉格朗日乘数法求解问题：从斜边之长为l 的一切直 角三角形中，求有最大周长的直角三角形. 四 （7分）利用适当的坐标计算积分所围城的闭区域.

五 （10分）利用高斯公式计算曲面积分： I 其中

是曲面z

333

xdydz ydzdx zdxdy,

D

x2

, 其中D 是由直线： x 2,y x及曲线xy 1 y2

.

六．(10分) 利用格林公式，计算曲线积分：

(2x y 4)dx (5y 3x 6)dy,其中L

L

为三顶点分别为（0，0）、（3，0）和（3，2）的三角形正向边界. 七．(10分) 求由抛物面z

12

(x y2)与平面z 1 所围成空间闭区域内的立体的质 2

量，已知此立体的体密度为: (x,y,z) z.

八．(10分) 二阶常系数非齐次线性微分方程 y y 6y 5x，求其通解.

九．（9分）设曲线积分

3212

y (x)dx [ (x) x]ydy与路径无关, 其中 (x)具有连续的 22L

一阶导数,且当其为起点在O（0，0）终点为B（1，1）的有向曲线时，该曲线积分值等于求函数 (x).

1

,4

昆明理工大学2007级高等数学[下]期末试卷

一、填空题（每小题3分，共30分）

（1）设u f(x,y,z),y sinx，z x,f具有一阶连续偏导数，则

x2sin2y

2

du

dx

（2）设z e，则全微分dz （3）曲面z e 2xy 3在点(1,2,0)处的切平面方程为（4）交换二次积分次序，则（5）计算二重积分的值

z

2

1

dx f(x,y)dy

1

x

4xydxdy ，其中D: 0 x 1, 0 y 1

D2

2

2

2

（6）曲线L为球面x y z a与平面x y相交的圆周，其中a

0，则曲线积分

L

2

2

2

（7）设曲面 是在柱面x y a (a 0)上介于z h;z h(h 0)的部分，则曲面积

分I

ds

（8）当a 时，曲线积分(axy ycosx)dx (1 2ysinx 3xy)dy 与路

L

3222

径无关. （9）微分方程

dy

2y be x（b为常数）的通解为 dx

d2y

9y 0的通解为（10）微分方程dx2

二、（8分）已知三个正数x,y,z之和为12，求u xyz的最大值. 三、（8分）计算二重积分

区域.

四、（10分）求旋转抛物面z 2 x

y与锥面z

2

2

3

2

sinx

的值，其中D是由直线y x及曲线y x2所围成的闭 xD

所围立体的体积.

五、（10分）求(2x y 4)dx (5y 3x 6)dy，其中L为顶点坐标分别是(0,0)，(3,0)，

L

(3,2)的三角形的正向边界.

六、（10分）利用高斯公式计算曲面积分：

(x

3

az2)dydz (y3 ax2)dxdz (z3 ay2)dxdy，其中

是曲面z 的上侧(a 0).

ax七、（10分）求二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 4y e的通解（其中a为常数）.

八、（10分）设f(x)具有一阶连续导数，且f( ) 1，又

y

[sinx f(x)]dx f(x)dy 0 x

(x 0)是全微分方程，求f(x).

九、（6分）已知z z(u)，且u (u)

xy

p(t)dt，其中z z(u)可微， (u)连续，且

(u) 1，p(t)连续，求p(y)

z z

p(x). x y

昆明理工大学2008级高等数学[下]期末试卷

一．填空题（每小题4分，共40分） 1.由曲线y

1

与直线y x及x 2围成的图形的面积为A,若以x为积分变量,面积A可x

用定积分表示为A . 2.设f(x,y)为连续函数，则交换二次积分次序后

0dx 0f(x,y)dy .

2222

3.I (x y)ds 其中L是圆弧x y 1,y 0.

L

4.I

1

x2

1在第一卦限中的部分. x y z dS ，其中 为平面x y z

5.设

为

xoy

面上的闭区域,取下侧, D表示

在

xoy

面的投影,将

I P(x,y,z)dydz Q(x,y,z)dxdz R(x,y,z)dxdy化为D上的二重积分,则

I .

2

2

9.全微分方程2xydx (1 3xy)dy 0的通解为. 10.一阶线性非齐次方程:y P(x)y Q(x)的通解为二、计算下列各题(每小题5分，共10分) 1.求曲线

3

y .

y x2与x y所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.

2

2.I |y x|dxdy,D:|x| 1,0 y 1.

D

三、（7分）计算三重积分

I ，其中 是由球面x2 y2 z2 2z

所围成的

闭区域。

四、（7分）计算I 逆时针方向绕行） 五、(8分)计算I 个边界曲面.

六、(8分)利用高斯公式计算曲面积分 I

(x y)dx (x y)dy，其中L为圆周x2 y2 a2(a 0)（按

L x y y2dS，其中

是锥面z z 1所围成的区域的整

x

2

axdydz (z a)dxdy

.其中 是曲

面x y z

z .(a 0为常数）.

（2）和函数S(x).

八、计算下列各题（每题6分 共12分） 1.如果可微函数f(x)满足关系式2.求微分方程y y 2y 2e

2x

f(x) f(t)dt，求f(x).

x

的通解.

各年期末试卷参考解答

2001级高等数学[下]期末试卷参考解答

一．填空（每小题4分，共24分）

1. x y 0,x y 0; 2.

2

2

2

2

z z

2xcos(x2 y2), 2ycos(x2 y2)， x y

3．; 4. 4 a; 5.

4

4

; 3

二．解答下列各题（每小题6分，共18分） 1. [解]：dz 2axeax2 by2

dx 2byeax

2

by2

dy;

ex

dx,积分得: 3. [解]：分离变量得: ydy

1 ex

lny ln(1 ex) c.

三．解答下列各题（每小题6分，共18分） 1. [解]：

ex

ydy dx,即微分方程的通解为

1 ex

zyyy zy1 y F() xF () ( 2), x xF () (),故 xxxx yxx

x

z zy y 2xy xF(). x y

x

z

x2 y2 1 z 2. [解]：由 ，由柱面坐标 交线

22z 1 z x y

zdxdydz d r2

r

2 1

7

. 12

3. [解]：由于 关于xoz面对称,而被积函数xyz关于y为奇函数,故四. [解]：对应齐次方程通解为 c1e

1x

xyzdydz 0.

c2e2x.由于0 i不是特征方程的根，可设特解：

y* acosx bsinx,代入原方程得:(a 3b)cosx (3a b)sinx cosx,故：

1 a

a 3b 1 13 10

,故所求通解为：y c1ex c2e2x y* cosx sinx.

1010 3a b 0 b 3

10

五. [解]：(1)由于L不包含奇点(1,0),由格林公式并注意到

Q P

得：

x y

L

ydx (x 1)dy

0;

(x 1)2 y2

Q P

，故由连续变形

x y

(2) 由于L包含奇点(1,0),不能直接使用格林公式，由于

原理可以将L压缩为小圆l:(x 1) y r（r较小），积分

222

L

ydx (x 1)dy

的值不变，

(x 1)2 y2

即：

L

ydx (x 1)dyydx (x 1)dy1

2

2222 l(x 1) y(x 1) yr

ydx (x 1)dy，此时，

l

则可以使用格林公式得

1

r2

L

ydx (x 1)dy1

2

(x 1)2 y2r

2dxdy

D

2

r2 2 . 2r

六. [解]：设长、宽、高分别为x,y,z，则体积V(x,y,z) xyz,且2xy 2xz 2yz 36由拉格朗日乘数法作辅助函数F x,y,z xyz (xy xz yz 18)，其中 为参 数，解方程组

x,y,z yz (y z)令 Fx 0

F令 y x,y,z xz (x xz)0，

xy xz yz 18

由对称性x y z, x y z

时，才能使体积为最大,

最大体积为

七．略.

2002级高等数学[下]期末试题参考解答

一．填空：1.(3x2y y3)dx (x3 3y2

x)dy 2.f1 f21

2y 3. 0

dx xf(x,y)dy

2

4.

20

d 2 d 1

f(r)r2sin dr； 5.0； 6. 2； 7.

560

o

15

; 8.

f(x,y,0)dxdy； 9.(c1 c2x)ex ； 10. Bx2e x

D

二.解:由隐函数求导公式得

zc x 1a ， z c 1 b ， 1 b 2 ya 12

左边 a

z zac 1 bc 1

x b y

a b c 右边. 12三.解法一:（用三重积分）V

dv，由 z 交线 z x2 y2 1

z x2 y

2

z 1由柱面坐标 V

2

1

rdr r

d0

r

2dz

6

解法二:

（用二重积分）V

(x2 y2)dxdy 2 d 1

r(r r2

)dr

D

0

0

6

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