特殊平行四边形中的常见辅助线

特殊平行四边形中的常见辅助线

一、连结法

1. (2014陕西,第9题3分)如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（ ） A． 4

B．

C．

D．5

2. （2015安徽, 第9题4分）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ） A．2

B．

3

C．

5

D．

6

3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．

（1）求证：∠PNM=2∠CBN； （2）求线段AP的长．

４.（2015山东德州,第20题8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，

（1）求证：四边形AEBD是菱形；

（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式． 考点： 分析：

反比例函数综合题．.

（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，即可证出四

边形AEBD是菱形；

（2）连接DE，交AB于F，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E坐标代入求出k的值即可． 解答：

（1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB，

∴四边形AEBD是平行四边形， ∵四边形OABC是矩形，

∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=2， ∴DA=DB，

∴四边形AEBD是菱形；

（2）解：连接DE，交AB于F，如图所示： ∵四边形AEBD是菱形， ∴AB与DE互相垂直平分，

∵OA=3，OC=2，

∴EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=， ∴点E坐标为：（，1），

．

设经过点E的反比例函数解析式为：y=， 把点E（，1）代入得：k=，

∴经过点E的反比例函数解析式为：y=

点评： 本题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性

质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果．

5.（2015江苏泰州，第25题12分）如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH． （1）求证：四边形EFGH是正方形；

（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由； （3）求四边形EFGH面积的最小值． 考点： 分析：

四边形综合题．

（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出

AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；

（2）连接AC、EG，交点为O；先证明△AOE≌△COG，得出OA=OC，证出O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；

（3）设四边形EFGH面积为S，BE=xcm，则BF=（8﹣x）cm，由勾股定理得出S=x2+（8﹣x）

2

=2（x﹣4）2+32，S是x的二次函数，容易得出四边形EFGH面积的最小值．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

解答：

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA， ∵AE=BF=CG=DH， ∴AH=BE=CF=DG，

在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）， ∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE， ∴四边形EFGH是菱形， ∵∠BEF+∠BFE=90°， ∴∠BEF+∠AEH=90°， ∴∠HEF=90°，

∴四边形EFGH是正方形；

（2）解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由如下： 连接AC、EG，交点为O；如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠OAE=∠OCG，

在△AOE和△COG中，， ∴△AOE≌△COG（AAS），

∴OA=OC，即O为AC的中点， ∵正方形的对角线互相平分，

∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；

（3）解：设四边形EFGH面积为S，设BE=xcm，则BF=（8﹣x）cm， 根据勾股定理得：EF2=BE2+BF2=x2+（8﹣x）2， ∴S=x2+（8﹣x）2=2（x﹣4）2+32， ∵2＞0， ∴S有最小值，

当x=4时，S的最小值=32，

∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2．

点评： 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、菱形的判定、全等三角形的

判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用二次函数才能得出结果．

6.（12分）（2015内蒙古赤峰25，12分）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．

（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；

（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；

（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？

考点： 分析：

几何变换综合题．

（1）如答图1，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明

△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；

（2）如答图2，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；

（3）根据（2）中的△ADF≌△BDE得到：S△ADF=S△BDE，AF=BE．所以△DEF的面积转化为：y=S△BEF+S△ABD．据此列出y关于x的二次函数，通过求二次函数的最值来求y的最小值． 解答：

解：（1）DF=DE．理由如下：

如答图1，连接BD． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB． 又∵∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形， ∴AD=BD，∠ADB=60°， ∴∠DBE=∠A=60° ∵∠EDF=60°，

∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，

∴△ADF≌△BDE（ASA）， ∴DF=DE；

（2）DF=DE．理由如下：

如答图2，连接BD．∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB． 又∵∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形， ∴AD=BD，∠ADB=60°， ∴∠DBE=∠A=60° ∵∠EDF=60°， ∴∠ADF=∠BDE．

∵在△ADF与△BDE中，，

∴△ADF≌△BDE（ASA）， ∴DF=DE；

．即y=

（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x． +×2×2sin60°=依题意得：y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60°

2

（x+1）

2

（x+1）+

+． ∵＞0，

．

∴该抛物线的开口方向向上，

∴当x=0即点E、B重合时，y最小值=

点评： 本题考查了几何变换综合题，解题过程中，利用了三角形全等的判定与性质，菱形

的性质以及等边三角形的判定与性质，对于促进角与角（边与边）相互转换，将未知角转化为已知角（未知边转化为已知边）是关键。

二、中心对称法（倍长法）

1.（2014山东临沂,第25题11分）【问题情境】

如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM． 【探究展示】

（1）证明：AM=AD+MC；

（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】

（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

考点： 四边形综合题；角平分线的定义；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质 专题： 综合题；探究型．

分析： （1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需证明AM=NM即可．

（2）作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM=FM，只需证明FB=DE即可；要证FB=DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．

（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM=DE+BM不成立． 解答： （1）证明：延长AE、BC交于点N，如图1（1），

∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE=∠ENC． ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE． ∴∠ENC=∠MAE． ∴MA=MN．

在△ADE和△NCE中，

∴△ADE≌△NCE（AAS）． ∴AD=NC． ∴MA=MN=NC+MC =AD+MC．

（2）AM=DE+BM成立．

证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示． ∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC． ∵AF⊥AE， ∴∠FAE=90°．

∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE． 在△ABF和△ADE中，

∴△ABF≌△ADE（ASA）． ∴BF=DE，∠F=∠AED． ∵AB∥DC， ∴∠AED=∠BAE． ∵∠FAB=∠EAD=∠EAM， ∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM =∠BAM+∠FAB =∠FAM． ∴∠F=∠FAM． ∴AM=FM．

∴AM=FB+BM=DE+BM．

（3）①结论AM=AD+MC仍然成立． 证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1）， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE=∠EPC． ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE． ∴∠EPC=∠MAE． ∴MA=MP．

在△ADE和△PCE中，

∴△ADE≌△PCE（AAS）． ∴AD=PC．

三、旋转法

1.（2014浙江绍兴,第23题6分）（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．

（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．

考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题： 证明题．

分析： （1）证△ADG≌△ABE，△FAE≌△GAF，根据全等三角形的性质求出即可； （2）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明

△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三

222222角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN=EC+NC即MN=BM+NC．

解答： （1）证明：在正方形ABCD中， ∴∠ABE=∠ADG，AD=AB， 在△ABE和△ADG中，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG， ∴∠EAG=90°， 在△FAE和△GAF中，

，

∴△FAE≌△GAF（SAS）， ∴EF=FG

（2）解：如图2，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°． ∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°． 在△ABM和△ACE中，

∴△ABM≌△ACE（SAS）． ∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．

∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°． 于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°． 在△MAN和△EAN中，

∴△MAN≌△EAN（SAS）． ∴MN=EN．

222在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN=EC+NC．

∴MN2=BM2+NC2． ∵BM=1，CN=3，

∴MN2=12+32， ∴MN=

点评： 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用．

2.（2015湖北十堰，第10题3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3 考点： 分析：

A．2

，且∠ECF=45°，则CF的长为（ ）

B．

3

C．

D．

全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．

首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，

CB=CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE=3，设AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF． 解答：

解：如图，延长FD到G，使DG=BE；

连接CG、EF；

∵四边形ABCD为正方形，

在△BCE与△DCG中，

，

∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，

∴∠GCF=45°，

在△GCF与△ECF中，

，

∴△GCF≌△ECF（SAS）， ∴GF=EF， ∵CE=3∴BE=∴AE=3，

=3，

，CB=6，

=

设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x， ∴EF=

=

，

∴（9﹣x）2=9+x2， ∴x=4，

即AF=4，

∴DF=2， =

=2

，

∴GF=5， ∴CF=故选A． 点评：

本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思

想是解答此题的关键．

四、构造法

1.（2015甘肃庆阳，第25题，10分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．

（1）当AB=2时，求△GEC的面积； （2）求证：AE=EF． 考点： 分析：

全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

（1）首先根据△ABE∽△ECG得到AB：EC=BE：GC，从而求得GC=即可求得

S△GEC；

（2）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE=EF； 解答：

解：（1）∵AB=BC=2，点E为BC的中点，

∴BE=EC=1， ∵AE⊥EF，

∴△ABE∽△ECG， ∴AB：EC=BE：GC， 即：2：1=1：GC， 解得：GC=，

∴S△GEC=ECCG=×1×=；

（2）证明：取AB的中点H，连接EH； ∵ABCD是正方形，

AE⊥EF；

∴∠1+∠AEB=90°， ∠2+∠AEB=90° ∴∠1=∠2，

∵BH=BE，∠BHE=45°， 且∠FCG=45°，

∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE， ∴△AHE≌△ECF， ∴AE=EF；

点评： 此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解（2）题的关键是取AB的

中点H，得出AH=EC，再根据全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF

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