著名的数学公式总结

一些著名的数学公式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 塞尔伯格迹公式 泰勒公式 乘法公式 二倍角公式 全期望公式 全概率公式 和差平方 和平方 和立方 外尔特征标公式 婆罗摩笈多公式 差平方 差立方 拉普拉斯展开 斯托克斯公式 斯特灵公式 斯科伦范式 柯西-阿达马公式 柯西积分公式 格林公式 格林第一公式 格林第二公式 欧拉-笛卡尔公式 欧拉公式 海伦公式 牛顿-寇次公式 立方和差 素数公式 蔡勒公式 角平分线长公式 诱导公式 默比乌斯反演公式

基本乘法公式及恒等式 （因式分解） 分配律 基本 和平方 三数 差平方 平方差 和立方 差立方 立方和 立方差 其他公式 立方和是数学公式的一种，它属于因式分解、乘法公式及恒等式，被普遍使用。立方和是指一个立方数，加上另一个立方数，即是它们的总和。公式如下：

同时

立方和被因式分解后，答案分别包含二项式及三项式，与立方差相同。此公式对几何学及工程学等有很大作用。 主验证

验证此公式，可透过因式分解，首先运用环的原理，设以下公式：

然后代入：

透过因式分解，可得：

这样便可验证：

和立方验证

透过和立方可验证立方和的原理：

那即是只要减去

及

便可得到立方和，可设：

右边的方程

运用因式分解的方法：

这样便可验证出：

几何验证

图象化

透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

要得到部分：

，可使用的空白位置。该空白位置可分割为3个

? ? ?

把三个部分加在一起，便得：

之后，把

减去它，便得：

上公式发现

两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：

可透过和平方公式，得到：

这样便可证明

反验证

透过

也可反验证立方和。

以上计算方法亦可简化为一个表格：

x) 这样便可证明

例题讲解 1. 把

?

因式分解

把两个数项都转为立方：

? 运用立方和可得：

2. 把

?

因式分解

把两个数项都转为立方：

? 运用立方和便可得：

? 但这个并非答案，因为答案仍可被因式分解：

? 亦可使用另一个方法来减省步骤。首先把公因子抽出：

? 直接使用立方和，并得：

立方差

立方差也可以使用立方和来验证，例如：

把两个数项都转为立方数：

运用负正得负，可得：

然后运用立方和，可得：

这个方法更可验证到立方差的公式是

平方差

平方差公式是数学公式的一种，它属于乘法公式、因式分解及恒等式，被普遍使用。平方差指一个平方数或正方形，减去另一个平方数或正方形得来的乘法公式：

及

的排列并不重要，可随意排放。

主验证 平方差可利用因式分解及分配律来验证。先设及。

那即是，同时运用了环的原理。把这公式代入：

若上列公式是

的话，就得到以下公式：

以上运用了

，也即是两方是相等，就得到：

? 注：

塞尔伯格迹公式

在数学中，塞尔伯格迹公式是非交换调和分析的重要定理之一。此公式表达了齐性空间 的函数空间上某类算子的迹数，其中 是李群而 是其离散子群。 塞尔伯格在1956年处理了紧黎曼曲面上的拉普拉斯算子的情形。借由拉普拉斯算子及其幂次，塞尔伯格定义了塞尔伯格δ函数。此时的公式相似于解析数论关注的―明确公式‖：黎曼曲面上的测地线在公式中扮演素数在明确公式里的角色。 一般而言，塞尔伯格迹公式联系了负常数曲率紧曲面上的拉普拉斯算子的谱，以及该曲面上的周期测地线长度。对于环面，塞尔伯格迹公式化为泊松求和公式。 定义 设

为紧致、负常曲率曲面，这类曲面可以表为上半平面

对

的某

离散子群 的商。

考虑

上的拉普拉斯算子

由于 值 为紧曲面，该算子有离散谱；换言之，下式定义的特征 至多可数

事实上，更可将其由小至大排列：

对应的特征函数 件：

，并满足以下周期条

行变元代换 于是特征值可依

排列。

迹公式 塞尔伯格迹公式写作

和式中的 取遍所有双曲共轭类。所取函数 须满足下述性质：

? ? ?

在带状区域 偶性：满足估计：

。

上为解析函数，在此 为某常数。

，在此 为某常数。

函数 是 的傅里叶变换： 。

后续发展

为了计算赫克算子作用于尖点形式上的迹，出现了 Eichler-塞尔伯格迹公式。志村五郎后来采取的方法省去了迹公式中的分析技巧。抛物上同调也为非紧黎曼曲面与模曲线的尖点问题提供了纯粹的代数框架。最后， 为紧的情形可藉阿蒂亚-辛格指标定理处理，然而，一旦取 为算术子群，便不免要处理非紧的情形。 在1960年代，塞尔伯格迹公式由苏联的盖尔芳特学派、普林斯顿大学的???? ??????、罗伯特·郎兰兹与日本的洼田富男接手推动。非紧情形的连续谱是郎兰兹发展艾森斯坦级数理论的动机之一。拉普拉斯算子与赫克算子的迹公式表明了赋值向量环之妙用。 亚瑟-塞尔伯格迹公式适用于一般的半单群（或约化群）。此公式的一侧称为谱侧，与群的表示相关；另一侧称为几何侧，与函数之轨道积分相关。群表示通常带有重要的数论信息，而轨道积分则较容易操作。亚瑟-塞尔伯格迹公式是证明郎兰兹函子性猜想的重要进路之一。 泰勒公式

在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例[1]。 泰勒公式 泰勒公式的初衷是用多项式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数ex 在x = 0 的附近可以用以下多项式来近似地表示：

称为指数函数在0处的n 阶泰勒展开公式。这个公式只对0附近的x 有用，x 离0 越远，这个公式就越不准确。实际函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。

对于一般的函数，泰勒公式的系数的选择依赖于函数在一点的各阶导数值。

这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是函数在一点附近的最佳线性近似：

，其中也就是说

。

注意到

和

在a 处的零阶导数和一阶导数，或

是h 的高阶无穷小。 都相同。对足够光滑的函数，如果一个多项式在a 处的前n 次导数值都

与函数在a 处的前n 次导数值重合，那么这个多项式应该能很好地近似描述函数在a 附近的情况。以下定理说明这是正确的：

定理：

设n 是一个正整数。如果函数f 是区间[a, b] 上的n 阶连续可微函数，并且在区间[a, b) 上n+1 次可导，那么对于[a, b) 上的任意x，都有：

[2]

是泰勒公式的余项，

其中的多项式称为函数在a 处的泰勒展开式，剩余的是

的高阶无穷小。

的表达形式有若干种，分别以不同的数学家命名。

带有皮亚诺型余项的泰勒公式说明了多项式和函数的接近程度：

也就是说，当x 无限趋近a 时，余项穷小，或者说多项式和函数的误差将远小于由下面更强的结论推出。

将会是

[3] 的高阶无。这个结论可以

带有拉格朗日型余项的泰勒公式可以视为拉格朗日微分中值定理的推广：

即，其中

[4]。

带有积分型余项的泰勒公式可以看做微积分基本定理的推广[5]：

余项估计

拉格朗日型余项或积分型余项可以帮助估计泰勒展开式和函数在一定区间之内的误差。设函数在区间[a ? r, a + r]上n 次连续可微并且在区间(a ? r, a + r) 上n + 1 次可导。如果存在正实数Mn 使得区间(a ? r, a + r) 里的任意x 都有

，那么：

其中

立，是一个一致估计。

。这个上界估计对区间(a ? r, a + r) 里的任意x 都成

如果当n 趋向于无穷大时，还有，那么可以推出 ，

f 是区间(a ? r, a + r) 上解析函数。f 在区间(a ? r, a + r) 上任一点的值都等于在这一

点的泰勒展开式的极限。

多元泰勒公式 对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设B(a, r ) 是欧几里得空间RN 中的开球，? 是定义在B(a, r ) 的闭包上的实值函数，并在每一点都存在所有的n+1 次偏导数。这时的泰勒公式为： 对所有

，

其中的 α 是多重指标。 其中的余项也满足不等式：

对所有满足 |α| = n + 1 的 α，

π的莱布尼茨公式

在数学领域，π的莱布尼茨公式说明

左边的展式是一个无穷级数，被称为莱布尼茨级数，这个级数收敛到π ? 4。它通常也被称为格雷戈里-莱布尼茨级数用以纪念莱布尼茨同时代的天文学家兼数学家詹姆斯·格雷戈里。使用求和符号可记作：

证明

考虑下面的幂级数

对等式两边积分可得到反正切的幂级数：

将x = 1 代入，便得莱布尼兹公式(1的反正切是π ? 4)。这种推理产生的一个问题是1不在幂级数的收敛半径以内。因此，需要额外论证当x = 1时级数收敛到tan?1(1)。一种方法是利用交替级数判别法，然后使用阿贝尔定理证明级数收敛到tan?1(1)。然而，也可以用一个完全初等的证明。 初等证明

考虑如下分解

对于|x| < 1，右侧的分式是余下的几何级数的和。然而，上面的方程并没有包含无穷级数，并且对任何实数x成立。上式两端从0到1积分可得：

当

到0：

时，除积分项以外的项收敛到莱布尼茨级数。同时，积分项收敛

当

这便证明了莱布尼茨公式。

乘法公式

乘法公式 1. 分配律：2. 和平方：? 。 。 三数和平方： 3. 差平方：4. 平方差：5. 和立方：6. 差立方：7. 立方和：8. 立方差：9. 。 10. 。 。 。 。 。 。 。 二倍角公式

二倍角公式是数学三角函数中常用的一组公式，通过角的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角的三角函数值，二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。二倍角公式均可通过和角公式推出。

正弦二倍角公式 此式就是正弦二倍角公式：

余弦二倍角公式

余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价：

正切二倍角公式

此式就是正切二倍角公式：

全概率公式

假设{ Bn : n = 1, 2, 3, ... } 是一个概率空间的有限或者可数无限的分割，且每个集合Bn是一个可测集合，则对任意事件A有全概率公式：

又因为

此处Pr(A | B)是B发生后A的条件概率，所以全概率公式又可写作：

条件概率的期望值

在离散情况下，上述公式等于下面这个公式。但后者在连续情况下仍然成立：

此处N是任意随机变量。 这个公式还可以表达为：

\A的先验概率等于A的后验概率的先验期望值。

全期望公式

全期望公式，即设X,Y,Z为随机变量，g(·)和h(·)为连续函数，下列期望和条件期望均存在，则 1.

三数和平方 三数和平方，指三个（或可多个）数目的总和的平方，得来的公式是：

验证

验证方法与两数和平方差不多，可透过多项式乘法验证：

透过几何验证也同样，根据右图将所有部分加在一起：

因式分解

因式分解，在数学中一般理解为把一个多项式分解为两个或多个的因式的过程。在这个过后会得出一堆较原式简单的多项式的积。

两个平方之和或两个平方之差

（请参见平方差）

根据以上两条恒等式，如原式符合以上条件，即可运用代用法直接分解。

两个n次方数之和与差

两个立方数之和

可分解为

两个立方数之差

可分解为

两个n次方数之差

两个奇数次方数之和

一次因式检验法

一个整系数的一元多项式因式

? ?

，假如它有整系数

，且p,q互质，则以下两条必成立：（逆叙述并不真）

和

都成立时，整系数多项式

的因式

也不一定是整

不过反过来说，即使当系数多项式另外一个看法是： 一个整系数的ｎ次多项式

，若是f(x)

之因式，且p,q互质，则：（逆叙述并不真）

? ?

因式定理

在代数，因式定理(factor theorem)是关于一个多项式的因式和零点的定理。这是一个余式定理的特殊案件。 因式定理指出，一个多项式有一个因式当且仅当。 多项式的因式分解 因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。从定理的推论结果，这些问题基本上是等价的。

若多项式已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部份，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。方法如下：

1. 先设法找出多项式的一个零点。

2. 利用因式定理确认3. 利用长除法计算多项式4.

中，所有满足的多项式阶数较单。

是多项式的因式。

。

条件的根都是方程式的根。因为

要小。因此要找出多项式的零点可能会比较简

另外欲使A=BQ+R成立,就令除式BQ=0,则被除式A=R,能使此方程式成立,被除式=(商式)(除式)+余式or被除式/除式=商式+余式/除式

外尔特征标公式

外尔特征标公式（Weyl's character formula) 描述紧李群不可约表示的特征标。其名来自证明者赫尔曼·外尔。 定义：群G的表示r的特征标为一函数

，

，其中

Tr 为线性算子之迹。 （由彼得-外尔定理 可知紧李群的任何不可约表示都是有限维的；故迹之定义为线性代数中之定义。）

特征标 χ 记住了表示 r 本身的重要讯息。 外尔特征标公式用群G的其他资料来表达 χ 。 本文考虑复表示，不失一般亦设其为酉表示，因而―不可约‖亦等价于―不可分解‖（即非二子表示之直和）。

公式 紧李群G 之不可约表示之特征标符合下式：

其中

? ρ 为群G 之外尔向量，即各正根之和之半； ? W 为 外尔群； ? λ 为不可约表示之 最高权； ? α 遍历G之每一正根。 外尔分母公式 在 1 维表示的特例中，特征标为 1, 而外尔特征标公式简化成 外尔分母公式：

若G为特殊么正群，则简化成范德蒙行列式的等式： 。

外尔维度公式

若只考虑单位元1之迹，则外尔特征标公式 特殊化成 外尔维数公式

,

其中

? VΛ为有限维表示，其最高权为Λ； ? ρ为外尔向量， ? α 遍历所有正根。

由于式中分子与分母俱为高阶零，故必须取G中之元素渐近单位元1时之极限。

Freudenthal 公式 Hans Freudenthal发现了权重数[1]符合之一递归公式。此公式等价于外尔特征标公式，而在某些情况下更简便。式曰： ； 其中

? Λ 为一最高权， ? λ 为另一权，

? dim Vλ 为权λ 之重数， ? ρ 为外尔向量，

? 外和中之 α 历遍所有正根。

外尔-Kac 特征标公式

外尔特征标公式 亦适用于卡茨-穆迪代数之可积最高权表示 ——外尔-Kac 特特征标公式。同样地，分母恒等式亦可推广至卡茨-穆迪代数，其在仿射李代数之特例成为Macdonald 恒等式。其在 A1 仿射李代数之例成为经典的 雅可比三重乘积恒等式：

此特征公式可推广至广义卡茨-穆迪代数之可积最高权表示：

其中 S 为一修正项：

其中 I历遍虚简单根集内 所有与最高权 正交、且互相正交之有限子集；|I| 集 I 之基数，而 ΣI为集 I 内元素之和。 而Monster 李代数之 分母公式 则为椭圆模函数[2]j之积公式： 。

Peterson 发现了（广义）可对称化[3]卡茨-穆迪代数之根重数 mult(β) 递归公式。此公式等价于外尔-卡茨分母公式，但更便于计算：

,

其中γ 与 δ 遍历所有正根，而

。

婆罗摩笈多公式

欧氏平面几何中，婆罗摩笈多公式是用以计算四边形的面积。它最常用于计算圆内接四边形面积 基本形式 婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算。若圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，则其面积为：

其中p为半周长：

证明

圆内接四边形的面积 = 的面积 + 的面积

但由于

是圆内接四边形，因此。所以：

。故

对

和

利用余弦定理，我们有：

代入

（这是由于

和是互补角），并整理，得：

把这个等式代入面积的公式中，得：

它是

的形式，因此可以写成

的形式：

引入，

两边开平方，得：

证毕。

更特殊情况

若圆O的圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，且外切于圆C，则其面积为：

证明

由于四边形内接于圆O，所以：

其中p为半周长：

又因为四边形外切圆C，所以：

则：

同理:

，

综上：

证毕。

，

一般情况 对一般四边形的面积，扩展的婆罗摩笈多公式用到了四边形的对角和：

其中是四边形一对角和的一半。（选取另一对角也不会影响答案，因其和的一半是

。而

，所以

。)

因为圆内接四边形的对角和为，为零，给出公式的基本形式。

，而，所以项

差分

差分，又名差分函数或差分运算，是数学中的一个概念。它将原函数 到 概念。

映射。差分运算，相应于微分运算，是微积分中重要的一个差分的定义

差分的定义分为前向差分和逆向差分两种。

前向差分

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数

，

，如果：

则称为的一阶前向差分。在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当是多项式时，前向差分为Delta算子，一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低1。 逆向差分

对于函数

，如果：

则称

为

的一阶逆向差分。

差分的阶 称

为

的阶差分，即前向阶差分 ，如果

根据数学归纳法，有

其中，为二项式系数。

特别的，有

前向差分有时候也称作数列的二项式变换 差分的性质 对比解析函数中的微分的属性，差分的性质有： ? 如果C为常数，则有

? 线性：如果 和 为常数，则有

?

乘法定则：

? 除法定则：

或

? 级数：

牛顿数列

牛顿数列（级数），也称作牛顿前向差分方程是一个以数学与物理学家牛顿命名的函数关系。具体为：

要注意的是，上式对所有的多项式都成立，但只对部分解析函数成立。其中

为二项式系数，

为 的 阶下降阶乘幂。牛顿数列与泰勒级数的相似性是哑微积分的一个典型。 卡尔森定理（Carlson's theorem）指出，如果一个函数的牛顿数列存在，则该函数存在的牛顿数列是唯一的。然而牛顿数列并不总存在。 牛顿数列是差分多项式（差分级数）的特例。 差立方

差立方是数学公式的一种，它属于因式分解、乘法公式及恒等式，被普遍使用。差立方是指一个数项，减去另一个数项后，得出来的差的立方：

主验证

差立方可直接计算验证：

以上计算方式便可证明 :

布巴克尔多项式

布巴克尔多项式 在数学中，布巴克尔 多项式 [1]有两种常见定义。第一种是 :

有时也会使用另一种定义,可以通过递归的方式进行定义。首先，规定前三 个布巴克尔多项式为：

然后运用下面的递推关系得到更高阶的多项式。

布巴克尔 多项式也可以用母函数表示 :

产生了许多整数序列在On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)[2] e PlanetMath. 生成解

布巴克尔 多项式的通解为 :

微分操作代表

布巴克尔 多项式亦可记为 :

布雷特施奈德公式

在几何学当中, 布雷特施奈德公式 是一条任意 四边形 的 面积 公式:

在公式当中, a, b, c, d 均是四边形的边长, s 则是半周界,亦即是a+ b+c+ d再除以2, 而 and 则是其中两个对角。 半周界

Bretschneider's 公式可运用于任何四边形,不论是否为圆内接四边形 公式是由一位德国的数学家 Carl Anton Bretschneider 所发现

一个四边形

在几何学当中, 布雷特施奈德公式 是一条任意 四边形 的 面积 公式:

布雷特施奈德公式的证明 设四边形的面积为 A。由此得到

因此

由 余弦定理 所指出

这亦可改写为

接着在

中代入

这亦可改写为

刚才半周界的公式

因此上式成为

得证。

弗莱纳公式

在向量微积分中，弗莱纳公式(Frenet–Serret 公式)用来描述欧几里得空间R3中的粒子在连续可微曲线上的运动。更具体的说，弗莱纳公式描述了曲线的切向，法向，副法方向之间的关系。

单位切向量 T，单位法向量 N，单位副法向量 B，被称作 弗莱纳标架，他们的具体定义如下：

? ? ? T 是单位切向量，方向指向粒子运动的方向。 N 是切向量 T 对弧长参数的微分单位化得到的向量。 B 是 T 和 N 的外积。 弗莱纳公式如下：

其中d/ds 是对弧长的微分， κ 为曲线的曲率，η 为曲线的挠率。弗莱纳公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律。 弗莱纳公式 平面曲线上的亮点的切向量和法向量，以及标架在运动过程中的旋转。 记r(t) 为欧式空间R3中的曲线，表示粒子在时间 t 时刻的位置向量。 弗莱纳公式只适用于正则曲线，即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不为零的曲线。 记 s(t) 为 t时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长：

由于假设r′ ≠ 0，因此可以将 t 表示为 s 的函数，因此可将曲线表示为弧长 s 的函数 r(s) = r(t(s))。 s 通常也被称为曲线的弧长参数。

对于由弧长参数定义的正则曲线 r(s)，弗莱纳标架 (或弗莱纳基底)定义如下：

? 单位切向量 T：

?

主法向量 N：

?

副法向量 B 定义为 T 和 N 的外积：

螺旋线上弗莱纳标架的运动。蓝色的箭头表示切向量，红色的箭头表示法向量，黑丝的箭头表示副法向量。

由于 所以 N 与 T 垂直。

方程 (3) 说明 B 垂直于 T 和 N，因此向量 T，N，B 互相垂直。 弗莱纳公式如下：

其中 κ 为曲线的曲率，η 为曲线的挠率。 弗莱纳公式有时也被称作弗莱纳定理，并且可以写做矩阵的形式：[1]

其中的矩阵是反对称矩阵。

对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。

拉普拉斯展开

在数学中，拉普拉斯展开（或称拉普拉斯公式）是一个关于行列式的展开式。将一个n×n矩阵B的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵B的某一行（或某一列）的 n 个元素的(n-1) × (n-1)余子式的和。行列式的拉普拉斯展开一般被简称为行列式按某一行（或按某一列）的展开。由于矩阵B有 n 行 n 列，它的拉普拉斯展开一共有 2n 种。拉普拉斯展开的推广称为拉普拉斯定理，是将一行的元素推广为关于k行的一切子式。它们的每一项和对应的代数余子式的乘积之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展开可以减少对于矩阵B之行列式的计算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推导中。

公式

设B = (bij)是一个n × n矩阵。B关于第i行第j列的余子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n?1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为B的（i，j）余子式。B的（i，j）代数余子式：Cij 是指B的（i，j）余子式Mij与(?1)i + j的乘积：Cij = (?1)i + j Mij 拉普拉斯展开最初由范德蒙德给出，为如下公式：对于任意i,j ∈ {1, 2, ...,n}：

例子

考虑以下的矩阵：

这个矩阵的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展开式来计算：

也可以用沿着第二列的拉普拉斯展开式来计算：

很容易看到这个结果是正确的：这个矩阵是奇异的，因为它的第一列和第三列的和与第二列成比例，因此它的行列式是零。

证明 设B是一个n × n的矩阵，i、j ∈ {1, 2, ..., n}。为了明确起见，将

，其中1 ≤ s,t ≤ n ? 1. 考虑B的行列式|B|中的每个含有

的项，它的形式为：

的系数记为

其中的置换 η ∈ Sn使得η(i) = j，而ζ ∈ Sn-1 是唯一的将除了 i 以外的其他元素都映射到与 η 相同的像上去的置换。显然，每个 η 都对应着唯一的 ζ，每一个 ζ 也对应着唯一的 η。因此我们创建了Sn ? 1与{η ∈ Sn : η(i) = j}之间的一个双射。 置换 η 可以经过如下方式从 ζ 得到： 定义 ζ' ∈ Sn 使得对于 1 ≤ k ≤ n ? 1，ζ'(k) = ζ(k) 并且 ζ'(n) = n，于是 sgn ζ' = sgn ζ 。然后

由于两个轮换分别可以被写成 n ? i 和 n ? j 个对换，因此

因此映射 ζ ? η 是双射。由此，

从而拉普拉斯展开成立。

拉普拉斯定理 拉普拉斯在1772年的论文中给出了行列式展开的一般形式，现在称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基础上，说明了如果将B关于某k行的每一个子式和对应的代数余子式的乘积加起来，那么得到的仍然是B的行列式。定理的证明与按一行（一列）展开的情况一样，都是通过建立置换间的双射来证明两者相等。

斯托克斯公式

斯托克斯定理（英文：Stokes theorem）是微分几何中，关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了几个向量微积分的定理。它以斯托克斯爵士命名 ?3?上的斯托克斯公式 设?Γ?为分段光滑的空间有向闭曲线，S?是以为边界的分片光滑的有向曲面，Γ?的正向与?S?的侧符合右手规则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在曲面?S（连同边界?Γ）上具有一阶连续偏导数，则有

旋度定理可以用来计算穿过具有边界的曲面，例如，任何右边的曲面；旋度定理不可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何左边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。

这个公式叫做??3?上的斯托克斯公式或开尔文－斯托克斯定理、旋度定理。这和函数的旋度有关，用梯度算符可写成：

它在欧氏3维空间上的向量场的旋度的曲面积分和向量场在曲面边界上的线积分之间建立了联系，这是一般的斯托克斯公式（在?n=2?时）的特例，我们只需用欧氏3维空间上的度量把向量场看作等价的1形式。 该定理的第一个已知的书面形式由威廉·汤姆森 (开尔文勋爵)给出，出现在他给斯托克斯的信中。 类似的，高斯散度定理

也是一般的斯托克斯公式的一个特例，如果我们把向量场看成是等价的n-1形式，可以通过和体积形式的内积实现。

微积分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。 使用微分形式的一般化斯托克斯定理当然比其特例更强，虽然后者更直观而且经常被使用它的科学工作者或工程师认为更方便。

另一种形式

通过以下公式可以在对坐标的曲线积分和对面积的面积积分之间相互转换：

流形上的斯托克斯公式

令?M?为一个可定向分段光滑?n?维流形，令?ω?为?M?上的?n?1?阶?C1?类紧支撑微分形式。如果??M?表示?M?的边界，并以?M?的方向诱导的方向为边界的方向，则

这里?dω?是?ω?的外微分, 只用流形的结构定义。这个公式被称为一般的斯托克斯公式（generalized Stokes' formula），它被认为是微积分基本定理、格林公式、高－奥公式、?3?上的斯托克斯公式的推广；后者实际上是前者的简单推论。 该定理经常用于?M?是嵌入到某个定义了?ω?的更大的流形中的子流形的情形。 定理可以简单的推广到分段光滑的子流形的线性组合上。斯托克斯定理表明相差一个恰当形式的闭形式在相差一个边界的链上的积分相同。这就是同调群和德拉姆上同调可以配对的基础。 斯特灵公式

斯特灵公式是一条用来取n阶乘近似值的数学公式。一般来说，当n很大的时候，n阶乘的计算量十分大，所以斯特灵公式十分好用，而且，即使在n很小的时候，斯特灵公式的取值已经十分准确。 公式为：

这就是说，对于足够大的整数n，这两个数互为近似值。更加精确地：

或

历史

这个公式是亚伯拉罕·棣莫弗首先发现的，形式为： 常数 ×

。更加精确的形式是雅克·比内发现的。

斯特灵证明了公式中的常数为

推导 这个公式，以及误差的估计，可以推导如下。我们不直接估计n!，而是考虑它的自然对数：

这个方程的右面是积分法则），而它的误差由欧拉-麦克劳林公式给出： 的近似值（利用梯形其中Bk是伯努利数，Rm,n是欧拉-麦克劳林公式中的余项。取极限，可得：

我们把这个极限记为y。由于欧拉-麦克劳林公式中的余项Rm,n满足：

其中我们用到了大O符号，与以上的方程结合，便得出对数形式的近似公式：

两边取指数，并选择任何正整数m，我们便得到了一个含有未知数ey的公式。当m=1时，公式为：

将上述表达式代入沃利斯乘积公式，并令n趋于无穷，便可以得出ey（

）。因此，我们便得出斯特灵公式：

这个公式也可以反复使用分部积分法来得出，首项可以通过最速下降法得到。把以下的和

用积分近似代替，可以得出不含应用中无关）：

的因子的斯特灵公式（这个因子通常在实际

收敛速率和误差估计

y轴表示截断的斯特灵级数的相对误差，x轴表示所使用的项数。

更加精确的近似公式为：

其中：

斯特灵公式实际上是以下级数（现在称为斯特灵级数）的第一个近似值：

当时，截断级数的误差等于第一个省略掉的项。这是渐近展开式的一个

例子。它不是一个收敛级数；对于任何特殊值n，级数的准确性只在取有限个项时达到最大，如果再取更多的项，则准确性将变得越来越差。

阶乘的对数的渐近展开式也称为斯特灵级数：

在这种情况下，级数的误差总是与第一个省略掉的项同号，且最多同大小。

伽玛函数的斯特灵公式

对于所有正整数，有：

然而，伽玛函数与阶乘不一样，它对于所有复数都有定义。尽管如此，斯特灵公式仍然适用。如果

，那么：

反复使用分部积分法，可得以下渐近展开式：

其中Bn是第n个伯努利数。当

，其中ε是正数时，这

个公式对于绝对值足够大的z是适用的，当使用了最初m个项时，误差项为

。对应的近似值可以写为：

斯特灵公式的收敛形式

欲得出斯特灵公式的一个收敛形式，我们必须计算：

一种方法是利用含有上升阶乘幂的级数。如果

，那么：

其中：

从中可以得出斯特灵级数的一个收敛形式：

它在时收敛。

适用于计算器的形式 以下的近似值

或

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