高等数学向量代数与空间解析几何测试题库ABC

第八章向量代数与空间解析几何

自测题 A卷

一、填空题：（第 1 题 5 分，其余每题3分，共 17 分）

1. 已知三点 A ( 2,1, 1), B (1, 3, 4), C (3,1,1), 则

(1) 向量 AB的方向余弦为 __________, 单位向量为 ____________________.

(2)向量AB 在 AC 上的投影为 _______________, AB 与 AC的夹角为 ______________ .

(3)以三点为顶点的三角形的面积为 __________________.

(4)过 C 且垂直于 AB 的平面方程为 ________________________.

(5)过 C 且平行于 AB 的直线方程为 ________________________.

2.设 a{1,1,4},b{2,0, 2},

(1) (a b)(a b)_________________.

(2) (a b )(a b)_________________.

3.曲面x2y 2z2

1 的名称是 __________ __________ _____ . 12516

4.曲线y x21

绕 y 轴旋转一周得到的旋转曲面方程是 _________________________. z0

5.点(1,2,0)在平面 x 2y z 1 0上的投影点是 __________ __________ _____ .

二、选择题（每题 3 分，共15 分）

1. 点M(2,3,1) 关于坐标原点的对称点是

( A)( 2,3,1) ;(B )(2,3,1) ;(C )(2, 3, 1);(D ) (2,3,1) .

2. 设 a {1, 1,1}, b{ 2,1, 1} ,为非零常数，若 a b a , 则等于( ).

( A)3

(B)

3

(C)

22 ;;;(D). 2233

3. 设三向量 a , b , c 满足关系式 a b a c, 则

( A)必有 a0或 b c;(B)必有 a b c0 ;

(C)当 a0 时，必有 b c;(D)必有 a(b c ) .

4. 方程 ( z a) 2x 2y2表示

平面上曲线

(z a)2y2 绕x

轴旋转所得曲面

;

( A) yoz

平面上曲线

( z a)

2

x

2 绕

y

轴旋转所得曲面

;

(B ) xoz

(C ) xoz平面上直线z a x 绕 z 轴旋转所得曲面;

(D ) yoz平面上直线z a y 绕 y 轴旋转所得曲面。

5. 平面：x 2y z30 与空间直线

x 1 y1z 2

31

( ).

1

( A) 互相垂直 ;(B) 互相平行但直线不在平面上 ;

(C ) 既不平行也不垂直 ;( D) 直线在平面上。

三、计算题（第1，2 题每题 6 分，第 3－ 10 题每题 7 分，共 68 分）

1. 已知 A 2a 3b , B 3a b , a 2 , b3, (a, ^ b ),求A B , A B .

3

2. 求过两点(1,2, 1)和( 5,2,7)且平行于ox轴的平面方程。

3. 求过点( 2,

x 5 y160

3,1) 和直线

z6

的平面方程。

2 y0

0 / 8

4. 求点 (1,2, 1)到直线

x 1

y 1 z 2

的距离。

2

1

3

5. 求过直线

x 2

y 1 z 2

且垂直于平面 x 4 y 3z 7 0 的平面方程。

5

2

4

6. x ＋2 y z 0

求与直线

平行 且过点 (0, 1,1) 的直线方程。

x z

2

8. 讨论直线 L 1 ：

x 1 y 1 z 1 与 L 2 2 x y

1 0 ： z

2

是否平行？是否重合？ 是否垂直？

1 2 3 3x

2x 4 y z 0 : 4x y z 1 上的投影直线的方程 。

9.求直线 L :

y

2z

在平面

3x

9 0

10. 方程 z

a 2 x 2 y 2 及 x 2＋ y 2 a x (a 0) 分别表示什么曲面？求 其交线在 xoz 平面上的投影方程，

并指明是什么曲线？

7. 求过点 A (1,0,－2), 垂直于直线 L :

x 3

y 2

z

, 平行于平面 : 3x 4 y z 6 0 的直线方程 。

1

4

1

1 / 8

第八章向量代数与空间解析几何

自测题 B卷

一、选择题（每题 3 分，共 15 分）

1. 设 a , b , c 为非零向量，且 a b 0,a c0, 则

( A) a // b 且 b c ;( B) a b 且 b // c ;

(C) a // c 且 b c ;(D) a c 且 b // c .

2. 设 a , b为非零向量，且满足 a b a b ,则必有

( A) a b0;( B ) a b0;

(C ) a b0 ;(D ) a b 0 .

3. 平面：4x 2 y z20与直线 L：x

3 y2z 1 0，则( ). 2x y10 z30

(A) L 平行于;(B)L 在上 ;(C) L 垂直于;(D)L与斜交。

4. 直线 L1: x

1y5z

8

与L2:x y6的夹角是

2 y z 3

121

(A) ;( B);(C );(D) .

2346

5. 已知平面通过点 (k, k,0) 与 ( 2k,2 k,0),其中 k0,且垂直于 xoy 平面，则该平面的一般式方程

Ax By Cz D0的系数必满足().

(A) A B, C D0 ;(B) B C,A D0 ;

(C) A C,B D 0;(D) A C, B D 0

二、填空题（每题 4 分，共 20 分）

1.下列方程表示的曲面名称是

(1)2x2 2 y213z2表示 __________ __________ _____ .

(2)x2y28z0表示 __________ __________ _____ .

32

(3) x 2y 22x表示 __________ __________ _____ .

(4)z1x2y2表示 __________ __________ _____ .

2.设 a{ 3,2,1}, b{1, k,5},

(1) b 在 a 上的投影为 4时, k_________.

( 2)以

a,b

为边的平行四边形面积为

300

时，

k _________________.

3.准线为： x

2

y24z2

1

，母线平行于 z 轴的柱面方程是____________________.

C :

y2z2

x2

4. 设 a2, b3,则 (a b )2(a b )2_____________.

5. 过点 ( 2, 3,4)且与 y 轴垂直相交的直线方程为 __________ __________ _____ .

三、计算题（ 1－ 7 题每题8 分，第八题9 分，共 65分）

1. 设三非零向量 a , b, c , a b , (a, ^ c), (b, ^ c), a 1, b 2, c 3, 求 a b c .

36

2. 求过点

x＋2 y z10

:

x

y 1

z 1 平行的平面方程。

(1,2,1) 且与直线 L1:

z 10

和 L2

x y011

3. 一平面过平面 x 5y z 0 和 x z 4 0 的交线 , 且与平面 x 4 y 8z 120 成 45o角,

求其方程。

2 / 8

x y 2 z10确定使直线x1y 2 z 1垂直于平面 :36 3 25 0 , 并求该直线在平面

7.,L :x y z

4.设直线 L:,12

y z2

x0

： x y z20上的投影直线方。程

(1)过点 A (1,1,2) 作平行于 L 的直线 L1，求 L1的方程；

( 2)直线 L2为与直线 L1关于直线 L 对称的另一直线，求L2的方程。

5. 设两直线的方程 L1: x 1

y 2

z 3

和 L2 :

x

2y 1z,求过L1且平行于 L2

8. 过两平面1 : x y z 0 和2 : x 2y z 0 的交线求两个互相垂直的平面，并使其中一个平面

的平面方程。

1) .

101211过点 A (0,1

过点（）作一直线

L ,使其与

z

轴相交且与直线

L1 :

x y 3

z 2

垂直 , 求此直线方程。

6.1,2,3,432

3 / 8

第八章 向量代数与空间解析几何

自测题 C 卷

一、选择题（每题 7.5 分，共 15 分）

1. 设 a , b , c 满足 a

b c 0 , 则 a c

(A) c b ;

(B) b c;

(C) a

c ; (D) b a .

2. 空间两直线

L 1 : x y

2 0

与 L 2 :

x

1

y 1

z

1

相交于一点，则

( ).

x z 1 0

1 2

(A) 1;

(B) 0;

(C)

5 ; ( D)

5 . (C )

4

3

二、填空题（每题 4 分，共 20 分）

1. 设直线 L 与三坐标面 xoy, yoz, zox 的夹角分别为

, , , (0

, ,)

2

则 cos 2

cos 2

cos 2

_________________ .

2. 设向量 x 垂直于向量 a { 2,3,1}和 b {1, 1,3}, 与 c 的数量积为 10, 则 x ________________，

x 1 z

绕 z 轴旋转一周生成的旋转 曲面方程是

3.

曲线

y 2

(0

1)

_________________________.

z

4. 设 a, b, c 为单位向量，且 a b

c 0, 则 a b b c c a ______________.

x

1 t

x y 3z 2

5. 两直线 L 1 : y

1 2t 与 L

2 :

y

z 4

间的最短距离是 ___________ .

z

t

x

三、计算题（ 1－7 题每题 8 分，第八题 9 分，共 65 分）

1.已知向量 ＋

5b , 向量 a 4b 7a 2b ,

求

(a, ^ b ) .

a 3

b 7a

2. 设 (a

b) c 2, 求 [ (a b ) (b c)] ( c

a ) .

3. 设三向量 p, q , r 不共面，证明

2 p 3q, 3q 5r , 2 p 5r 必共面 。

4. 设一平面在三坐标轴上 的截点分别为 a, b, c （均为非零常数） , 求该平面到原点的距离 。

4 / 8

5. 确定, 使直线 L1: x 1y 1z 1

与

L2: x 1y 1

z

相交，并求出 L1 , L2所在平面的方程。

11121

8.设直线x y b0在平面上，而平面与曲面 z x 2y 2相切于点

(1, 2,5) ,求 a b 之值。

L:

a y z 30

x

6.求过点（）且垂直于直线x 2y 1z,又与直线x 1y 3z 相交的直线方程。

A1, 0,1 ,L :

41L :12

31

7. 在过直线 L: x 1

y 1

z 3 的所有平面中求与原点距离最远的平面的方程

。01

5 / 8

第八章自测题 A卷答案

部分答案：

一、341341

} .(2) 5 ; 45 o. (3) 15 .

1 (1) cos

52, cos2, cos2; {522

552

(4) 3x4y5z

x3y1z1 0; (5)

345.

2 (1) 10; { 4,12,4}. (4)y x2z2 1 .(5)(5,2,2) .

333

二、 1. (A) ; 2.(B) ; 3.(D) ; 4. (C) ; 5.(D)

三、 1. (1) 18; (2) 273; 2.y 2 ; 3. x3y z100; 4.242 ;

7

5. 22 x19 y18 z270 ;

6.x y1z1x z1

;

0或

2 y z 1

11x0

x 1y z 2

8.重合；9.4x y z 1 0

;

7.

12;

17 x31y37 z117

20

10. 上半球面；圆柱面；z2

a2

ax ，是抛物线

y0

第八章自测题 B卷答案

一、二、1. (C) ; 2.(C) ; 3.(C) ; 4. (B) ; 5.(A) .

2. (1) 4 214 ; (2)

16

,0; 3. .5x23y21; 4. 36; 5.x y 3z ;

5102

三、 1. 17＋6 3； 2. x y z 0 ; 3. x z 4 0或x 20 y 7 z 12 0 ;

4. L1 : x 1 y 1 z 2

, L2 :

x 5 y 3 z 2

， 5. x 3 y z 2 0 ;

311311

6. x

1y2z 3或2x y0;

1214x 3 y 2z 8 0

7.

x y z20

1;

20

;

x

8 . x 3 y3z0 ,9x8y11z0;

6 / 8

一、

二、

第八章

自测题 C 卷

答案

1. (B) ;

2.(C) ;

1. 2;

2. { 10,5,5} ;

3. z

x 2

y 2

1 (0

z 1) ; 4.

3 ; 5. 2 3 ;

2 3

三、

1.

; 2. 4 ; 4. d

a b c

; 5. x

y z

0 ;

(bc) 2 (ac)2

3

(ab)2

x

1 y

z 1 7. x y z 3 0 ;

8. a

5, b

2 .

6.

16

;

13

25

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